2025年九年级中考数学二轮压轴题型突破课件：常见几何问题-与正方形有关的问题

常见几何问题-与正方形有关的问题 如图，点 E 为正方形 ABCD 边 BC 上的一点，点 M 为 AE 的中点， GH⊥AE，分别交AB，CD，BD于点G，H，N，求证：MN＝MG＋NH. 【思路】 要证 MN＝MG＋NH，即证 MN＝________GH. ＝ 由 GH⊥AE，容易证明 GH_____AE，说明 MN＝_____AE. 则只需证明△ANE 为________三角形. 第一步：过点 G 作 GF⊥CD 于点 F， ↓ 证明△ABE________△GFH(________). 直角 ≌ AAS ↓ 第二步：连接 CN，则 AN________CN. ↓ ∠BAN＋∠BEN＝∠BCN＋∠BEN＝∠________＋∠BEN＝ ________°， ↓ ∠ANE＝________°. ＝ CEN 180 90 证明：如图，过点 G 作 GF⊥CD 于点 F，连接 CN， ∴∠GFH＝90°. 在正方形 ABCD 中， AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AB∥CD， ∴GF＝BC＝AB，∠GHF＝∠AGH. ∵GH⊥AE， ∴∠AGH＋∠BAE＝90°， ∴∠AEB＝90°－∠BAE＝∠AGH＝∠GHF， ∴△ABE≌△GFH(AAS)， ∴AE＝GH. ∵BN＝BN， ∴△ABN≌△CBN(SAS)， ∴∠BAN＝∠BCN，AN＝CN. ∵点 M 为 AE 的中点， ∴EN＝AN＝CN， ∴∠CEN＝∠BCN＝∠BAN， ∴∠BAN＋∠BEN＝∠CEN＋∠BEN＝180°， ∴∠ANE＝360°－∠BAN－∠ABC－∠BEN＝90°， ∴MN＝MG＋NH. 【思考】还有其他做法吗？请画图说明. 提示：过点 N 作 AD 的垂线，构造三垂直全等. 【拓展】 从本题图中你还发现了什么？你能提出其他的问题吗？ 示例： ①延长 AN 交 CD 于点 I，连接 EI，则 BE＋DI＝EI，△CEI 的周 长为 AB 的 2 倍； ②设AE与BD交于点J，则BJ2＋DN2＝NJ2，△BJE∽△AJN； ③过点 E 作 EK⊥AE，并与 AN 的延长线交于点K，连接CK，则 ∠DCK＝45°，连接 GE 和 HK，可以得到四边形GEKH为平行四边形. 1.(2023·呼和浩特)如图，正方形 ABCD 的边长为2 ，点E是CD 的中点，BE 与 AC 交于点 M，点 F是 AD上一点，连接 BF分别交AC， AE 于点 G，H，且 BF⊥AE，连接 MH，则 AH＝___，MH＝_______. 2 2.(2023·菏泽)(1)如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E，F分别在边 DC， BC上，AE⊥DF，垂足为G.求证：△ADE∽△DCF. 【问题解决】 (2)如图 2，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 DC，BC 上， AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H. 【类比迁移】 (3)如图 3，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 DC，BC 上， AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求 CF 的长. (1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠C＝∠ADE＝90°， ∴∠CDF＋∠DFC＝90°. ∵AE⊥DF， ∴∠DGE＝90°， ∴∠CDF＋∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠DFC， ∴△ADE∽△DCF. (2)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°. ∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF. ∵CH＝DE，∴CF＝CH. ∵点 H 在 BC 的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°. 又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)， ∴∠DFC＝∠H. ∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∴∠ADF＝∠H. (3)解：如图，延长 BC 至点 G，使 CG＝DE＝8，连接 DG. ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)， ∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形， ∴FG＝DF＝11. ∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即 CF 的长为 3. 1.(2024·黑龙江)如图，在正方形 ABCD 中，点 H 在 AD边上(不与点A，D重合)，∠BHF＝90°，HF交正方形 外角的平分线 DF 于点 F，连接 AC 交 BH 于点 M，连接 BF 交 AC 于点 G，交 CD 于点 N，连接 BD.有下列结论： ①∠HBF＝45°；②点 G 是 BF 的中点；③若点 H 是 AD 的中点， 其中正确的结论是( ) A.①②③④ B.①③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤ A 2.(2024·牡丹江)如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 延长线上 一点，AE 分别交 BD，CD于点 F，M，过点 F作 NP⊥AE，分别交AD， ①②③⑤ 3.(2023·衡阳)[问题探究] (1)如图 1，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O.在线 段 AO 上任取一点 P(端点除外)，连接 PD，PB. ①求证：PD＝PB； ②将线段 DP 绕点 P 逆时针旋转，使点 D 落在 BA 的延长线上的 点 Q 处.当点 P 在线段 AO 上的位置发生变化时，∠DPQ 的大小是否发 生变化？请说明理由； ③探究 AQ 与 OP 的数量关系，并说明理由. ①证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°. ∵CP＝CP， ∴△DCP≌△BCP(SAS)， ∴PD＝PB. ②解：∠DPQ 的大小不发生变化，∠DPQ＝90°. 理由：作 PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为 M，N，如图. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°， ∴四边形 AMPN 是正方形， ∴PM＝PN，∠MPN＝90°. ∵PD＝PQ，PM＝PN， ∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)， ∴∠DPN＝∠QPM. ∵∠QPN＋∠QPM＝90°， ∴∠QPN＋∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°. ③解：AQ＝ OP. 理由：作 PE⊥AO 交 AB 于点 E，作 EF⊥OB 于点 F，如图. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°， ∴∠AEP＝45°，四边形 OPEF 是矩形， ∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP， ∴PA ＝PE. ∵PD＝PB，PD＝PQ，∴PQ＝PB. 作 PM⊥AE 于点 M，则 QM＝BM，AM＝EM，∴AQ＝BE. ∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°， [迁移探究] (2)如图 2，将正方形 ABCD 换成菱形 ABCD，且∠ABC＝60°， 其他条件不变.试探究 AQ 与 CP 的数量关系，并说明理由. 解：AQ＝CP. 理由：∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO. ∴△ABC 是等边三角形，AC 垂直平分 BD， ∴∠BAC＝60°，PD＝PB. ∵PD＝PQ， ∴PQ＝PB. 作 PE∥BC 交 AB 于点 E，EG∥AC 交 BC 于点 G，如图， 则四边形 PEGC 是平行四边形， ∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°， ∴EG＝PC，△APE，△BEG 都是等边三角形， ∴BE＝EG＝PC. 作 PM⊥AB 于点 M，则 QM＝MB，AM＝EM， ∴AQ＝BE，∴AQ＝CP. $$