2025年九年级中考数学二轮压轴题型突破课件：常见几何问题-与折叠有关的问题

常见几何问题-与折叠有关的问题 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点 E 边 BC 上一点， 将△ABE沿着AE折叠得到△AB′E. (1)尺规作图：当点 B′落在对角线 BD 上时，在图 2 中作出折叠后 的△AB′E；(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，求此时 BE 的长. 【思路】 ≌ AB′ B′AE (1)折叠→对称→△ABE________△AB′E→AB＝______，∠BAE ＝∠________. 如何确定点 B′和 E 的位置？ (2)根据轴对称的性质得 AE________BB′， ↓ 则△ABE________△DAB， ↓ ________＝________. ⊥ ∽ 解：(1)如图所示，△AB′E即为所求. (2)∵△ABE沿着AE折叠得到△AB′E， ∴AE⊥BB′，∴∠BAE＋∠ABD＝90°. ∵矩形 ABCD， ∴∠BAD＝∠ABE＝90°， ∴∠ADB＋∠ABD＝90°， ∴∠BAE＝∠ADB， 【拓展】 你还能提出哪些问题呢？ ①延长 EB′与 AD 交于点 F，判断△AEF 为什么特殊的三角形？提 示：等腰三角形. ②点 B′的运动轨迹是什么图形？提示：点 B′ 在以 A 为圆心，AB 为半径的圆上运动. ③CB′和 DB′的最小值是多少？提示：当点 B′分别落在 AC 和 AD 上时，CB′和 DB′取最小值. ④当△CB′E为等腰三角形时，求CE的长.提示：共两种情况. ⑤当△CB′E为直角三角形时，求CE的长.提示：共两种情况. ⑥当∠ADB′最大时，求 CE 的长.提示：当 DE 与⊙A 相切时， ∠ADB′最大. 25°或 115° 1.(2023·辽宁)如图，在三角形纸片 ABC 中，AB＝AC，∠B＝20°， 点 D 是边 BC 上的动点，将三角形纸片沿 AD 对折，使点 B 落在点 B′ 处，当 B′D⊥BC 时，∠BAD 的度数为___________. 　　2.(2024·南充)如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，∠ABE＝30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF，DF.若CF平分∠BCD，AB＝2，则DF的长为________. 3.(2023·南沙区一模)如图，矩形 ABCD 中，点 E 是边 AB 的中点， 将△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，延长 EF 交 BC 于点 G，连接 BF， DG. (1)若∠EDF＝α，则∠EBF 的度数是________；(用含α的代数式 表示) 90°－α (2)若 AB∶AD＝2∶3，则∠GEB 的正切值是________. 1.(2023·黄石)如图，有一张矩形纸片 ABCD.先对折矩形ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平.再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN， MN.观察所得的线段.若 AE＝1，则 MN＝( ) C 2.(2024·常州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝ 4，点 D 是边 AC 的中点，点 E 是边 BC 上一点，连接 BD，DE 将.CDE 沿 DE 翻折，点 C 落在 BD 上的点 F 处，则 CE＝________. 3.(2024·黄埔区一模)如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E 为AB的中点，点F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF 折叠得△HEF.则 DH 的取值范围是________________. 4.(2023·天河区二模)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝6， 点 E，F 分别为边 AB，CD 上动点，且 AE＝CF，连接DE，BF，分别 将△DAE 和△BCF 沿 DE，BF 翻折，点 A 的对应点为点 A′，点 C 的 对应点为点 C′，连接 A′C′，当点 A′，C′均落在矩形 ABCD 的同一条对 角线上时，AE 的长为_________. 5.(2023·大连)综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片 ABC 探究折叠的性质. 已知 AB＝AC，∠A＞90°，点 E 为 AC 上一动点，将△ABE 以BE 为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探究. 独立思考： 小明：“当点 D 落在 BC 上时，∠EDC＝2∠ACB.” 小红：“若点 E 为 AC 中点，给出 AC 与 DC 的长，就可求出 BE 的长.” 实践探究： 同学们经过探究后提出问题 1，请你回答. 问题1：在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，△BDE由△BAE 翻折得到. (1)如图 1，当点 D 落在 BC 上时，求证：∠EDC＝2∠C； (2)如图 2，若点 E 为 AC 中点，AC＝4，CD＝3，求 BE 的长. 问题解决： 小明经过探究发现：若将问题 1 中的等腰三角形换成∠A＜90°的 等腰三角形，可以将问题进一步拓展. 问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC＝BD＝4， 2∠D＝∠ABD.若 CD＝1，求 BC 的长. 问题 1：(1)证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C. ∵△BDE 由△BAE 翻折得到， ∴∠A＝∠BDE＝180°－2∠C， ∵∠EDC＋∠BDE＝180°， ∴∠EDC＝2∠C. (2)解：如图，连接 AD，交 BE 于点 F. ∵△BDE 由△BAE 翻折得到， ∴AE＝DE，AF＝DF， ∴CD＝2EF＝3， 问题 2：解：如图，连接AD，过点 B 作 BM⊥AD 于点 M，过点C 作 CG⊥BM 于点 G. ∵2∠BDC＝∠ABD，∴∠BDC＝∠DBM，∴BM∥CD，∴CD⊥AD. 又∵CG⊥BM，∴四边形 CGMD 是矩形，∴CD＝GM. $$