2025年九年级中考数学二轮压轴题型突破课件：常见几何问题-与圆有关的问题

常见几何问题-与圆有关的问题 如图，以 AB 为直径的⊙O 是△ABC 的外接圆，延长 BC 到点 D， 使得∠BAC＝∠BDA，点 E 在 DA 的延长线上，点 M 在线段 AC 上， CE 交 BM 于点 N，CE 交 AB 于点 G. (1)求证：ED 是⊙O 的切线； (2)若 DE·AM＝AC·AD，求证：BM⊥CE. 【思路】 90 BDA 90 (1)已知 AB 为⊙O 的直径，则∠ACB＝________°， ↓ ∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠_________＋∠CAD＝∠ACB＝ _______°， ↓ 所以 ED 是⊙O 的切线. ，即 DE·AM＝AB·DC， (2)要证 BM⊥CE，需证∠BNG＝90°， ↑ 因为∠BAE＝90°，所以只需证∠ABM＝∠________即可， ↑ 发现△DEC________△ABM， ↑ 已知∠BAC＝∠BDA，只需证明 ↑ 已知 DE·AM＝AC·AD，只需证________＝________， ↑ 即证△________∽△________. ∽ E AC·AD AB·DC ABC DAC 证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°. ∵∠BAC＝∠BDA，∴∠BAD＝∠BDA＋∠ABC＝90°， ∴ED 是⊙O 的切线. (2)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝∠DCA＝90°. ∵∠BAC＝∠BDA，∴△ABC∽△DAC， ∵∠BAM＋∠CAD＝∠CDE＋∠CAD＝90°， ∴∠BAM＝∠CDE， ∴△AMB∽△DCE， ∴∠E＝∠ABM. ∵∠EGA＝∠BGN， ∴∠EGA＋∠E＝∠ABM＋∠BGN＝90°， ∴∠BNG＝90°， ∴BM⊥CE. 1.如图，AB 是半圆的直径，∠ABC 的平分线分别交弦 AC 和半圆 于点 E 和 D.若 BE＝2DE，AB＝4，则 AE 长为( ) D 2.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 BC 上一点，且 BE ＝3，以点 A 为圆心，3 为半径的圆分别交 AB，AD 于点 F，G，DF 与 AE 交于点 H，并与⊙A 交于点 K，连接 HG，CH.给出下列四个结论. 其中正确的结论有________.(填写所有正确结论的序号) ①点 H 是 FK 的中点；②△HGD≌△HEC； ①③④ 3.(2023·广东)综合探究 如图 1，在矩形 ABCD 中(AB＞AD)，对角线 AC，BD 相交于点O， 点 A 关于 BD 的对称点为点 A′.连接 AA′交 BD 于点 E，连接 CA′. (1)求证：AA′⊥CA′. (2)以点 O 为圆心，OE 为半径作圆. ①如图 2，⊙O 与 CD 相切，求证：AA′＝ CA′； ②如图 3，⊙O 与 CA′相切，AD＝1，求⊙O 的面积. (1)证明：∵点 A 关于 BD 的对称点为 A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA＝OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′. (2)①证明：如图，设⊙O 与 CD 切于点 F，连接 OF，并延长交 AB 于点 G， ∴OF⊥CD，OF＝OE. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OG⊥AB，∠FDO＝∠OBG，OA＝OB，∴∠GAO＝∠GBO. ∵∠DOF＝∠BOG， ∴△DOF≌△BOG(ASA)，∴OG＝OF，∴OG＝OE. 由(1)知 AA′⊥BD，∴∠EAO＝∠GAO. ∵∠EAB＋∠GBO＝90°，∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°， ∴3∠EAO＝90°，∴∠EAO＝30°. ②解：如图，设⊙O 切 CA′于点 H，连接 OH，∴OH⊥CA′. 由(1)知 AA′⊥CA′，OA＝OC， ∴OH∥AA′，OE∥CA′， ∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′， ∴AA′＝2OH，CA′＝2OE， 1.(2023·花都区二模)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 为⊙O 的直径，∠ACD ＋∠BCD ＝180° ，连接 OD ，过点 D 作 DE⊥AC ， DF⊥BC，垂足分别为 E，F，则下列结论正确的是________. ①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF 与⊙O 相切； ④若 AE＝4，EC＝1，则 BC＝3. ①③④ 2.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，⊙O 经过点 C，CM 为⊙O的 直径，且CM＝1.过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H.BD 与 CG，CH 分别交于点 E，F，⊙O 绕点 C 在平面内旋转(始终保持圆 心 O 在正方形 ABCD 内部).给出下列四个结论： 其中正确的结论有__________.(填写所有正确结论的序号) ②③④ (2)求证：△AEB∽△BEC； (3)求证：AD与EF互相平分. (1)解：∵AB＝AC，且 AB 是⊙O 的直径， ∴AC＝2AO. ∵∠BAC＝90°， (2)证明：过点 B 作 BM∥AE，交 EO 延长线于点 M，如图. ∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°. ∵AO＝BO，∴△AOE≌△BOM(AAS)， ∴AE＝BM，OE＝OM. ∴∠MEB＝∠MBE＝45°，∠AEB＝∠AEO＋∠MEB＝135°， ∠BEC ＝180°－∠MEB＝135°，∴∠AEB＝∠BEC. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°， ∴∠ABM＝∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE， ∴△AEB∽△BEC. (3)连接 DE，DF，如图. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴BC＝2BD，∠DAB＝45°， ∴△AOE∽△BDE，∴∠BED＝∠AEO＝90°， ∴∠DEF＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴AF∥DE. 由(2)知∠AEB＝135°，∴∠AEF＝180°－∠AEB＝45°. ∵∠DFB＝∠DAB＝45°， ∴∠DFB＝∠AEF， ∴AE∥FD， ∴四边形 AEDF 是平行四边形， ∴AD 与 EF 互相平分. $$