2025年九年级中考数学二轮压轴题型突破课件：常见几何问题-线段关系问题

常见几何问题-线段关系问题 类型 位置关系 【例1】如图，⊙O 经过 B，C 两点，且与 AC 交于点 D，∠ABD ＝∠C，求证：AB 为⊙O 的切线. 【思路】 OB ABO ABO OBD OBD 要证 AB 为⊙O 的切线. ↑ 第一步：需连接________，并证∠________＝90°， ↑ 第二步：即证∠_______＝∠ABD＋∠_______＝∠C＋∠_______ ＝90°， BOD OBD OBD BOD ↑ 第三步：再连接 OD，得∠_______＝2∠C，∠ODB＝∠_______， ↑ 第四步：由三角形内角和定理得∠ODB＋∠_____＋∠______＝180°. 证明：如图，连接 OB，OD. ∵OB＝OD，∠BOD＝2∠C， ∴∠OBD＝∠ODB. ∵∠OBD＋∠ODB＋∠BOD＝180°， ∴∠OBD＋∠C＝90°. ∵∠ABD＝∠C， ∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝∠OBD＋∠C＝90°， ∴AB 为⊙O 的切线. 1.如图，⊙O 是△ABC 的内接圆，AB＝AC，在 BC 边上任取一点 D(不与点 B，C 重合)，连接 AD，然后将△ABD 绕点 A 逆时针旋转得 到△ACE，判断 CE 与⊙O 的位置关系，并说明理由. 解：CE 与⊙O 相切，理由如下： 如图，连接 CO 并延长交⊙O 于点 M，连接 AM. ∵MC 是⊙O 直径，∴∠MAC＝90°，∴∠AMC＋∠ACM＝90°. 由旋转的性质得∠B＝∠ACE， ∵∠B＝∠AMC，∴∠ACE＝∠AMC， ∴∠OCE＝∠ACM＋∠ACE＝∠ACM＋∠AMC＝90°. ∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 与⊙O 相切. 2.如图，△ABC 为等边三角形，点 D 为 BA 延长线上一点，连接 CD，以 CD 为一边作等边三角形 CDE，连接 AE. (1)求证：BD＝AE； (2)判断 AE 与 BC 的位置关系，并说明理由. (1)证明：∵△ABC，△CDE 都为等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BAC＋∠ACD＝∠DCE＝＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE， ∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD＝AE. (2)解：AE∥BC.理由如下： ∵△BCD≌△ACE，∴∠B＝∠CAE＝60°. ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠EAD＝180°－∠BAC－∠CAE＝60°， ∴∠B＝∠EAD＝60°，∴AE∥BC. 类型 和差关系 【例 2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的 中点，点 D 在直线 AB 上(不与点 A，B 重合)，连接 CD，线段 CD 绕 点 C 逆时针旋转 90°得到线段 CE，过点 B 作直线 l⊥BC，过点 E 作 EF⊥l，垂足为 F，直线 EF 交直线 OC 于点 G. (1)如图 1，当点 D 与点 O 重合时，请直接 写出线段 AD 与线段 EF 的数量关系：_______ ________________； (2)如图 2，当点 D 在线段 AB 上时，求证： CG＋BD＝ 　 BC. 【思路】 ACD AD CBE 45 等腰直角 (1)猜测：AD＝________EF. 连接 BE，根据旋转，先证△BCE≌△________， ↓ 得 BE＝________，∠A＝∠________＝________°. ↓ 可证△BEF是__________三角形. ↓ 则 AD＝BE＝______EF. (2)由已知条件得________＝ 　BC， 要证 CG＋BD＝ 　BC， ↓ 只需证 CG＋BD＝________， ↓ 即证 CG＝________， ↓ 只需证△________≌△________(________)即可. AB AB AD ACD GEC AAS (2023·营口)在▱ABCD 中，∠ADB＝90°，点 E 在 CD 上，点 G 在AB 上，点 F 在 BD 的延长线上，连接 EF，DG，∠FED＝∠ADG， 关系：___________； (1)如图 1，当 k＝1 时，请用等式表示线段 AG 与线段 DF 的数量 AG＝DF (2)如图 2，当 k＝ 　时，写出线段 AD，DE 和 DF 之间的数量关 系，并说明理由. ∴∠FDE＝∠DMG. ∵∠FED＝∠ADG， ∴△DMG∽△EDF， 类型 平方关系 【例3】如图，过正方形 ABCD 的顶点 D 作直线 DP，点 C 关于 直线 DP 的对称点为点 E，连接 AE，直线 AE 交直线 DP 于点 F. (1)若∠CDP＝25°，则∠DAF＝________________°； (2)请探究线段 CD，EF，AF 之间的数量关系，并证明你的结论. 【思路】 20 45 45 90 (1)∠DAF＝________°. (2) 第 一 步 ： 由 (1) 的 结 论 得 ∠DAF ＋ ∠CDP ＝ ______° ， 则 ∠AFD ＝________°， ↓ 第二步：连接 CF，则∠AFC＝________°， ↓ 第三步：AF，CF 和 AC 满足的数量关系为____________________， ↓ 第四步：EF＝________，AC＝________CD， ↓ 则线段 CD，EF，AF 之间的数量关系为__________________. AC2＝AF2＋CF2 CF (1)20 如图，连接 DE，CE，AC，CF. 由轴对称的性质得 CF＝EF，CD＝DE＝AD，∠DEF＝∠DCF， ∴∠DEF＝∠DAF， ∴∠DAF＝∠DCF. ∵∠FAC＋∠FCA＝∠FAC＋∠DAF＋∠DCA＝90°， ∴∠AFC＝180°－(∠FAC＋∠FCA)＝90°. 在Rt△ACF中，AC2＝AF2＋CF2＝AF2＋EF2， 在Rt△ACD中，AD2＋CD2＝AC2，　 ∴2CD2＝AF2＋EF2， 1.如图，点 D 为△BAC 的外角平分线上一点并且 DG 垂直平分BC 交 BC 于点 G，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，DF⊥AB 交 BA 的延长线于 点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②AC－AF＝BF；③BD2＋CD2 的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 D 2.如图，正方形 ABCD 的面积为 16，对角线 AC，BD相交于点O， 点 E，F 分别在边 AB，BC 上运动，∠EOF＝90°，OG 平分∠EOF， 与边 BC 交于点 G.则下列结论： ①OE＝OF；②四边形 OEBF 的面积保持 4 不变；③BG2＋CF2＝ GF2；④EF 的最小值为 2 　 . 其中正确说法的序号是___________. ①②③④ 类型 比例乘积关系 【例4】如图，在矩形 ABCD中，点 E 为边 CD上一点，且AE⊥BD. 求证：AD2＝DE·DC. 【思路】 ↑ ， 因为 DC＝________，所以只需证________＝ DE AD AB ↑ 即证△________∽△________. ADE BAD 证明：在矩形 ABCD 中，∠BAD＝∠ADE＝90°，AB＝DC， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°. ∵AE⊥BD， ∴∠DAE＋∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠DAE. ∵∠BAD＝∠ADE＝90°， ∴△ADE∽△BAD， ∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC. 1.(2024·赤峰)如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°.将△ABC 绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是 对应点.若点 C′恰好落在 BC 边上，下列结论：①点 B 在旋转过程中 结论是( ) A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②④ A 2.(2024·东营)如图，在正方形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，点 H 为 AB 延长线上的一点，且 BH＝BD，连接 DH，分别交 AC，BC于 点 E，F，连接 BE，则下列结论： 其中正确结论的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B 1.如图，一副三角板如图 1 放置，AB＝CD，顶点 E 重合，将 △DEC绕其顶点 E 旋转，如图 2，在旋转过程中，当∠AED＝75°， 连接 AD， BC，AC，下列四个结论中说法正确的有________. ①四边形 ABCD 是平行四边形；②CE 垂直平分AB；③若 AB2＝6， ①②③ 2. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.∠MPN 是直角，其直角顶点 P 与点 O 重合，直角边 PM，PN 分别 与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)， PM，PN 分别交 AB，BC 于 E，F 两点，连接 EF 交 OB 于点 G，则下 列结论中正确的是__________. ①②③⑤ 3.(2024·大庆)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直 径，将△ABC 沿直线 AB 翻折到△ABD，点 D 在⊙O 上.连接 CD，交 AB 于点 E，延长 BD，CA，两线相交于点 P，过点 A 作⊙O 的切线交 BP 于点 G. (1)求证：AG∥CD； (2)求证：PA2＝PG·PB； (1)证明：∵将△ABC 沿直线 AB 翻折到△ABD，∴AB⊥CD. ∵AB 为⊙O 的直径，AG 是切线，∴AG⊥AB，∴AG∥CD. (2)证明：∵AG 是切线，∴AG⊥AB. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DAB＝∠GAD. 由折叠可得∠ABD＝∠ABC，∴∠CBD＝2∠ABD. ∵四边形 ADBC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠PAD ＝180°－∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD， ∴∠PAG ＝∠PAD－∠GAD＝2∠ABD－∠ABD＝∠ABD. 又∵∠APG＝∠BPA， 4.(2024·宁夏)综合与实践 如图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交外 角∠CAM 的平分线于点 E. 【发现结论】 结论 1：∠AEB＝________∠ACB； 结论 2：当图 1 中∠ACB＝90°时，如图 2 所示，延长 BC交AE于 点 F，过点 E 作 AF 的垂线交 BF 于点 G，交 AC 的延长线于点 H，则 AE 与 EG 的数量关系是____________. 【应用结论】 (1)求证：AH＝GF； (2)在图 2 中连接 FH，AG，延长 AG 交 FH 于点 N，补全图形， 求证：FN＝NH＋ AE. AE＝EG (2)补全图形如图所示. 5.(2023·滨州)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC 相交于点F，与△ABC的外接圆交于点D. (1)求证：S△ABF∶S△ACF＝AB∶AC； (2)求证：AB∶AC＝BF∶CF； (3)求证：AF2＝AB·AC－BF·CF； (4)猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系.(直接写出，不需证明) (1)证明：如图，过点 F 作 FH⊥AC，FG⊥AB，垂足分别为H，G. ∵点 E 是△ABC 的内心，∴AD 是∠BAC 的平分线. ∵FH⊥AC，FG⊥AB，∴FG＝FH. (2)证明：如图，过点 A 作 AM⊥BC 于点 M. ∴S△ABF∶S△ACF＝BF∶FC， 由(1)可得S△ABF∶S△ACF＝AB∶AC， ∴AB∶AC＝BF∶FC. (3)证明：连接 DB，DC，如图. 又∵∠BAD＝∠DAC， ∴△ABF∽△ADC， ∴AB·AC＝AD·AF， ∴AB·AC＝(AF＋DF)·AF＝AF2＋AF·DF， ∴AF2＝AB·AC－BF·CF. (4)解：DE2＝DA·DF $$