5.2二次函数的图像和性质预习检测卷-2024-2025学年苏科版数学九年级下册

5.2二次函数的图像和性质预习检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．规定：若两个函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．下列四个函数中，与二次函数互为“兄弟函数”的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，的图象经过点和点，且，则a的取值范围是（） A． B．或 C．或 D．或 5．图中抛物线的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数（a、b、c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②对称轴是直线；③关于x的方程的负实数根在和0之间；④．其中正确的结论是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②③④ 二、填空题 7．写一个对称轴是直线的二次函数解析式 ． 8．二次函数图象的开口方向是 （填写“向上”或“向下”）． 9．在平面直角坐标系中，以为圆心的圆的半径为2，若抛物线的图象与有且只有一个公共点，则 ． 10．若抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为 ． 11．已知，是抛物线上任意两点． （1）若当，时，，则 ．； （2）若对于任意，，都有，则的取值范围是 ． 12．二次函数的自变量与函数值的对应关系列表如下，则关于的方程的解为 ． 13．已知二次函数，的解集为，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 ． 14．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且则． 其中正确的有 ． 三、解答题 15．已知二次函数． (1)该函数的图象的开口（填“向上”或“向下”）； (2)将二次函数的解析式化为的形式，并求当时，的取值范围． 16．如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 17．已知：二次函数． (1)当时， ①求这个二次函数的解析式及其对称轴； ②已知点与分别在该拋物线对称轴两侧的图象上，且，求m的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数图象在的范围内有最大值为，求k的值． 18．与是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，、分别是直角边、的中点．位置固定，按如图叠放，使斜边在直线上，顶点与点M重合．等腰直角以1厘米/秒的速度沿直线向右平移，直到点与点N重合．设x秒时，与重叠部分面积为y平方厘米． (1)求y与x的函数关系式； (2)当与重叠部分面积为平方厘米时，求移动的时间． 19．已知抛物线 (1)设P为抛物线上任意一点，，过P作直线的垂线，垂足为Q，求证：； (2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，且的中点为，求直线l的解析式； (3)求函数的最小值． 20．定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.2二次函数的图像和性质预习检测卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D C D A D 1．A 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移，利用二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”的原则进行解答即可，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴平移后的函数关系式是， 故选：． 2．D 【分析】本题主要考查二次函数的性质．将各点代入函数解析式得出函数值比较即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∴． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了在新定义下的一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．画出函数图象，由函数图象及“兄弟点”的定义即可得到答案． 【详解】解：如图： ， 由图可知，与二次函数有3个交点的是， 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查二次函数的性质及不等式的求解。求出二次函数在给定两点处的函数值表达式，再根据 建立不等式求解以及要是二次函数有意义，求解即可。 【详解】∵二次函数的图象经过点和点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴a的取值范围是或， 故选：D. 5．A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与与轴交点，对称轴位置进行分析即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∴B不符合题意；C不符合题意； ∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∴A符合题意，D不符合题意； 故选：A 6．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格数据可知：当时，；由时，；时，可得对称轴是直线，即可判断②；根据时，；当时，对应的函数值．可得当时，，随的增大而减小，推出抛物线开口向下，即可判断①；结合①②推出关于x的方程的正实数根在和之间；即可判断③；根据当时，对应的函数值，可得：；结合，即可判断④； 【详解】接：由表格数据可知：当时，； ∵时，；时，; ∴对称轴是直线，故②正确； ∵时，；当时，对应的函数值． ∴当时，，随的增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴； ∵， ∴， ∴，故①错误； 由以上分析可知：关于x的方程的正实数根在和之间； ∵对称轴是直线； ∴关于x的方程的负实数根在和0之间；故③正确； ∵当时，对应的函数值， 又，， 可得：； ∵， ∴，故④正确； 故选：D 7．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：符合题意的二次函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 8．向上 【分析】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：二次函数中， ∴二次函数图象的开口向上， 故答案为：向上． 9．或 【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的基本性质．根据题意顶点和圆心都在直线上，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， ∵的圆心为， ∴顶点坐标与的圆心都在直线上， ∵抛物线的图象与有且只有一个公共点， ∴当时，抛物线开口向上， ∴， 当时，抛物线开口向下， ∴， 故答案为：或． 10． 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握关于原点对称的抛物线开口方向改变，开口大小不变，是解题的关键． 根据关于原点对称的抛物线开口方向改变，大小不变，顶点坐标关于原点对称求出关于原点对称的解析式即可求解． 【详解】解：抛物线与抛物线关于原点对称，则横纵坐标互为相反数， ∵抛物线关于原点对称的抛物线解析式为， ， ， ， 故答案为：． 11． 或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得点M、N关于对称轴对称，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （2）根据题意可知点，需满足在对称轴的左侧或者右侧，然后分类进行求解即可． 【详解】解：（1）∵当，时，，且，是抛物线上任意两点， ∴点M、N关于对称轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． （2）由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，由“对于任意，，都有”可知：点，需满足在对称轴的左侧或者右侧，则有： ①当点，在对称轴的左侧时，需满足，即； ②当点，在对称轴的右侧时，需满足，即； 综上所述：b的取值范围为或． 故答案为：或． 12．， 【分析】本题考查了二次函数的性质，由当时，对应的的值为，则二次函数的对称轴为直线，又当时，，根据二次函数的对称性可得：时，，所以或，然后解方程即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可知：当时，对应的的值为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，， ∴根据二次函数的对称性可得：时，， ∴关于的方程的解为或， ∴，， 故答案为：，． 13．/ 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键． 根据题意可以根据a的正负得到关于a的方程，从而可以求得a的值即可． 【详解】 解：∵，的解集为， ∴，方程的解集为，， ∴该函数的对称轴是直线，即， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当时，有最小值， ∵函数最大值与最小值的差为2， ∴，解得：． 故答案为：． 14．②③⑤ 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键． 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ，，， ，， ，；故①错误，故②正确； ∴当时，y有最大值，即为， 当时，，即为，故③正确； 对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ，故④错误； ， ， ， ， ， ， ，， ，故⑤正确； 故正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 15．(1)向下 (2)， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据的正负即可求解； （2）根据二次函数的图像与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的图象的开口向下； （2）解： ， 由题意知，对称轴为直线， ∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∴当时，的取值范围为． 16．(1)抛物线的顶点坐标为； (2)当时，y的最小值是． 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，函数最值问题，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式是解题的关键． （1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）二次函数的顶点式得抛物线开口向下，分别计算端点值和对称轴出的值，然后比较即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 当时，， ∵当时，， 当时，， ∵， ∴当时，y的最小值是． 17．(1)（1）①； ② (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数顶点式的特点，最值的计算方法，对称性是解题的关键． （1）①把代入得到二次函数解析式，再配方得到顶点式，由此即可求解；②把点点与代入抛物线得到，，根据题意可得，解得，再根据点在该抛物线对称轴两侧的图象上，得到，解得，由不等式解集的取值方法即可求解； （2）根据二次函数平移的规律可得平移后的二次函数的解析式为， 分类讨论：若，①当时，由对称性可得，当时，y有最大值；②当时，由对称性可得，当时，y有最大值；若，当时，在的范围内y的最大值是，而不是；由二次函数最值的计算即可求解． 【详解】（1）解：①当时， 二次函数的解析式为， 配方可得：， 对称轴是直线； ②点与分别在该抛物线的图象上， ，， ， ， 解得：， 点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， ， ， ． （2）解：二次函数的解析式为，配方可得：， 将二次函数图象向右平移个单位长度， 平移后的二次函数的解析式为， 若， ①当时， 由对称性可得，当时，y有最大值， 把代入，得， 解得：，， ， ； ②当时， 由对称性可得，当时，y有最大值， 把代入，得， 解得：，， ， ； 若， 当时，在的范围内y的最大值是，而不是， 不符合题意，舍去． 综上，k的值为或． 18．(1) (2)或秒 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的应用，等腰直角三角形的性质等知识点， （1）可分三种情况进行讨论：①当在内部时，②当都在△外部时，③当在内部时，根据上述三种情况可得出三个不同的函数解析式； （2）根据函数式即可求出当为时，的值，即可求解； 本题的关键是求出重合部分的面积与的函数关系式． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形的直角边都为4， ∴， ∵且分别是直角边、的中点， ∴当在上时，， 当等于与截的部分时，， 当在上时，， ①如图1，当时， ②如图2，当时，如图，、、是等腰直角三角形， ∴， ∴， ③如图3，当时， ∴， ∴； 综上所述，； （2）根据题意，重叠部分面积先变大后变小， ∴只有当在内时，当在内时，重叠部分的面积等于， ①如图1，在内时，，重叠部分是平行四边形， 由题意得：， 解得：， ②如图3，当在内时，，重叠部分是平行四边形， 由题意得：， 解得：， 综上所述，当与重叠部分面积为平方厘米时， 移动的时间为或秒． 19．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，根据两点间距离公式表示，以及，即可证明； （2）设直线：，则联立直线和抛物线表达式得到 ，则，由的中点为得到，将点代入即可求解； （3）取点，设，则，而，故． 【详解】（1）证明：设， 则，而， ∴； （2）解：设直线：， 则联立直线和抛物线表达式：， ∴， 则， ∵的中点为 ∴， 将点代入得：， ∴， 解得：， ∴直线：； （3）解：取点，设， 则， 由（1）可知， ∴ 由（1）可知， ∴， 当点共线时，取得最小值，如图： ∴函数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及两点间距离公式，三角形的三边关系求最值，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与抛物线的交点问题，难度较大，解题的关键在于转化． 20．(1)； (2)详见解析；最大值为． 【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； （）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证； 设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； （2）证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$