2025年九年级中考数学二轮压轴题型突破课件：常见几何模型-对角互补模型

常见几何模型-对角互补模型 如图，∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)，像这样对角互补 的四边形俗称对角互补模型.可以用反证法证明 A，B，C，D 四点共圆. 其中∠B＋∠D＝180°，BC＝CD 与 AC 平分∠BAD 三个条件知 二得一. 【条件】如图，在四边形 ABCD 中，连接 AC，BC＝CD，∠B＋ ∠D＝180°. 【结论】求证：AC 平分∠BAD. 证明：如图，过点 C 分别作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E， CF⊥AD于点 F，则∠E＝∠CFD＝90°. ∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠CBE＝180°， ∴∠CBE＝∠D. ∵BC＝CD， ∴△BCE≌△DCF(AAS)， ∴CE＝CF，∴AC 平分∠BAD. ①如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°， 探索 BC，CD 和 AC 之间的数量关系. ②如图，在四边形 ABCD 中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD＝ 120°，探索 BC，CD 和 AC 之间的数量关系. BC＋CD＝AC. 【例 1】(2024·扬州)在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种 常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情 况，证明结论. 如图，已知△ABC，CA＝CB，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 D 在 ⊙O 上(AD＞BD)，连接 AD，BD，CD. 【特殊化感知】 (1)如图 1，若∠ACB＝60°，点 D 在 AO 延长线上，则 AD－BD 与CD 的数量关系为________________； 【一般化探究】 (2)如图 2，若∠ACB＝60°，点 C，D 在 AB 同侧，判断 AD－BD 与 CD 的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 (3)若∠ACB＝α，直接写出 AD，BD，CD 满足的数量关系.(用含α 的式子表示) 【思路】 (1)猜想 AD－BD________CD. ＝ ＝ 截长补短 等边 (2)由(1)的结论猜想：AD－BD________CD. 第一步：要证结论成立，则应该如何添加辅助线？___________. CA＝CB，∠ACB＝60°， ↓ △ABC 为________三角形， BD BE ∠ADB＝∠ACB＝60°. 第二步：在 AD 上取一点 E，使得 DE＝_____，并连接______， ↓ △BDE 为________三角形， 等边 BAE ↓ △BCD≌△________(SAS). (3)先画出△ABC，点 D 的位置可以在哪里？结论会变化吗？ 猜想：________________________. 在备用图中，画出图形，参考(2)的思路解决. 解：(1)AD－BD＝CD (2)若∠ACB＝60°，点 C，D 在 AB 同侧，AD－BD 与 CD 的数量 关系为 AD－BD＝CD，理由如下： 如图，在 AD 上取一点 E，使得 DE＝BD，并连接 BE. ∵CA＝CB，∠ACB＝60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°， ∴∠ADB＝∠ABC＝60°，∠CDB＝180°－∠BAC＝120°， ∴△BDE 为等边三角形， ∴BE＝BD，∠DBE＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝∠DBE－∠CBE＝∠CBD， ∴△AEB≌△CDB(SAS)， ∴AE＝CD， ∴AD－BD＝AD－DE＝AE＝CD. (3)①当点 C，D 在 AB 同侧时， 延长 BD 至点 E，连接 CE，使 CE＝CD，过点 C 作 CF⊥DE 于点 F，如图. ∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝α＋∠BCD，∠BCE＝∠BCD＋ ∠DCE＝α＋∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE. ②当点 C，D 在 AB 异侧时， 延长 DB 至点 E，使 BE＝AD，连接 CE，过点 C 作 CF⊥DE 于点 F，如图.∵CA＝CB，∠ACB＝α， ∵四边形 ADBC 为圆的内接四边形， ∴∠CBE＝∠DAC. ∴△CAD≌△CBE(SAS)，∴CD＝CE，∠ADC＝∠E. 1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 平分圆周角∠ACB，则下列结 论： ①②④ 2.在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 所在直线上一点，若 P 在对 角线 BD 上(如图 1)，连接 PC，过点 P 作 PQ⊥CP 交 AB 于点 Q. (1)若 PD＝2 　，AB＝6，则 BQ 的长为________； (2)若 P 在 BD 的延长线上(如图 2)，连接 AP，过点 P 作 PE⊥AP， 交 BC 延长线于点 E，连接 DE，若 CE＝8，△DPE 的面积是 20，则 PE 的长为________. 2 3.如图 1，BC 是⊙O 的直径，点 A，D 在⊙O 上，连接 BD，CD， DB∥OA，BC＝10，AC＝2 (1)求证：AO⊥CD； (2)求 BD 的长； (3)如图 2，连接 AB，作∠CAB 的平分线交⊙O 于 F，求 AF 的长 度. (1)证明：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠D＝90°. ∵OA∥BD，∴∠CEO＝∠D＝90°，∴AO⊥CD. (2)解：连接 AB，作 AH⊥BC 于点 H，OM⊥BD 于点 M，如图， 则 BM＝DM. ∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠CAB＝90°， (3)解：作 CG⊥AF 于点 G，连接 CF，BF，如图. ∵AF 平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝45°， 1.(2024·武汉)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ABC＝60°， ∠BAC ＝∠CAD＝45°，AB＋AD＝2，则⊙O 的半径是(　　) A 2.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点 P 在⊙O 上，且点 P 与点 B 在 AC 的两侧，连接 PA ，PB，C，若 PB＝ 运动(不与点 A，B 重合)，连接 DA，DB，DC. (1)求证：DC 是∠ADB 的平分线； (2)四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗？如果是， 求出函数解析式；如果不是，请说明理由. (1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°. ∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°， ∴∠ADC＝∠BDC， ∴DC 是∠ADB 的平分线. (2)解：四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数， 理由如下： 如图，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC. ∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC. ∵四边形 ACBD 是圆内接四边形， ∴∠DAC＋∠DBC＝180°， ∴∠DBC＋∠HBC＝180°， ∴D，B，H 三点共线. ∵DC＝CH，∠CDH＝60°， ∴△DCH 是等边三角形. 4.已知△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 DB，DC. (1)如图 1，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段 AB，AC，AD之 间满足的等量关系式：_____________； AB＋AC＝AD (2)如图 2，当∠BAC＝90°时，试探究线段 AB，AC，AD 之间满 足的等量关系，并证明你的结论； 解：AB＋AC＝ AD. 证明：如图，延长 AB 至点 M，使 BM＝AC，连接 DM. ∵四边形 ABDC 内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD. ∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD(SAS)， ∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥AD， 解：如图，延长 AB 至点 N，使 BN＝AC，连接 DN. ∵四边形 ABDC 内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD， ∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD， ∴△NBD≌△ACD(SAS)， ∴ND＝AD，∠N＝∠CAD， ∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB， $$