精品解析：安徽省滁州中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷

滁州中学2024级高一上学期第二次月考 数学试卷 （满分：150分 用时：120分钟 命题：高一数学组 审核：高一数学组） 注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号. 2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共20分.给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将集合化简，然后根据交集的运算即可得到结果. 【详解】因为 ，则且，则可得 所以 故选:C 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3. 已知集合，根据函数定义，下列给出四个对应法则，能构成从到的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义确定正确答案. 【详解】A选项，对于，，，所以A选项错误. B选项，对于，，所以B选项错误. C选项，对于，，所以C选项错误. D选项，对于，集合中任意一个元素，在集合中都有唯一确定的数对应， 所以能构成从到的函数. 故选：D 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理分析判断即可解出. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增， ， ， ， 函数的零点所在的区间为. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化对数式为指数式判断，判断，化指数式为对数式判断，则答案可求. 【详解】由，得； 由，得； 由，得. ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查指数式、对数式中的大小比较，一般可利用中介值和函数单调性进行大小比较，是基础题. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论． 【详解】由，得，所以函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，故排除AC； 又，故排除D. 故选：B. 7. 设的两根是，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解得 或 或 即， 所以 故选D 8. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上单调递减，在单调递增， 当时，，故， 则在上单调递减，在单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故，解得，即， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是确定在上的值域为值域的子集，从而求出二者的值域后，列出不等式组，即可求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 终边经过点的角的集合是 B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C. 若是第三象限角，则是第二象限角 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出角的集合表示判断A；求出旋转角的弧度数判断B；举例说明判断C；分析两个集合判断D. 【详解】对于A，当时，角终边为射线，该角的集合为， 当时，角终边为射线，该角的集合为， 所以所求角的集合为，A正确； 对于B，将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是，B正确； 对于C，取，满足是第三象限角，而是第四象限角，C错误； 对于D，， 是整数，是整数，而是奇数，因此，D正确. 故选：ABD 10. 对任意的，函数的值域是.则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的最大值是12 D. 的最小值是 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，且，从而可求得的关系，即可判断AB；再根据基本不等式判断CD即可. 【详解】因为函数的值域是， 所以，且， 即，所以，故A，B正确； 由，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值是12，故C错误； 由，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数的性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题p：，q：B＝{x|x﹣a＜0}，若命题p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式可求得集合，命题p是q的必要不充分条件，则，可得关于的不等式，从而可得的范围. 【详解】由可得即或 {或} B＝{x|x＜a } 命题p是q的必要不充分条件，则 故答案为： 【点睛】本题考查根据条件判断集合的关系并求参数取值范围，属于基础题. 13. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为6 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2(四舍五入精确到1 m2). 【答案】20 【解析】 【分析】根据弧田面积公式，结合几何关系求解即可. 【详解】如图所示，过作于于，延长线交于. 则，，所以，， ， 弧田面积是.  故答案为：. 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据对数的单调性可得时，；当时，；即可由恒成立得，由二次函数的性质即可求最值. 【详解】当时，；当时，， 当时，；当时，； 若恒成立，则必须，即， 所以， 所以当，时，取到最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）. （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算，即可得到结果； （2）由对数的运算，即可得到结果. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知方程的两个实根是和. （1）求k的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用韦达定理得到，根据列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值. （2）将值代入可得的值和的值，设，平方可求的值. 【详解】(1)由方程的两个实根是和. . 由有. ,即 所以，即，解得：或. 当时方程，故舍去，当时满足条件. 所以. (2)由（1）有. 设，则 所以 【点睛】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，考查了韦达定理的应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题. 17. 设函数. （1）求不等式的解集； （2）若在上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件可得在上单调递增，且是奇函数，可得，即可求解； （2）根据条件得到，令，从而将问题转化成的最小值为，利用二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 易知定义域为，且在上单调递增， 又，因此是奇函数， 则不等式可化为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题知， 令，又，则， 令，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即时，，解得， 当，即时，， 整理得到，无解， 综上，当时，在上的最小值为11. 18. 已知函数为上的偶函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2）在上是增函数，证明如下： 由（1）知，当时，，任取， 则  ， 因为，所以，，，， 则，即，则， 所以是上的增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可；                  （2）利用定义法证明函数单调性；                          （3）由，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【小问1详解】 因为函数为上的偶函数， 则有，解得，所以， 则， 由，得，则. 【小问2详解】 是上的增函数，证明如下： 由（1）知，当时，，任取， 则 ， 因为，所以，，，， 则，即，则， 所以是上的增函数. 【小问3详解】 令，即， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 又，则， 由，即可转化为， 因为是上的偶函数，即求， 由（2）知是上的增函数，则， 解得或， 故实数的取值范围为. 19. 若函数在区间上有意义，对于给定的，存在，使得，则称为上的“阶等值函数”． （1）判断是否是上的“阶等值函数”；（直接写出结论） （2）若二次函数满足，证明：是上的“阶等值函数”； （3）证明：是上的“阶等值函数”，并求的最大值． 【答案】（1）不是上的“阶等值函数”，是上的“阶等值函数” （2） 证明：因为是二次函数，， 所以的对称轴为， 若存在，使得，则， 解得，所以是上的“阶等值函数”． （3） 证明：因为， 当时，，令，得， 所以， 所以是“阶等值函数”，的一个值为， 下面证明的最大值为， 假设存在，使得是上的“阶等值函数”， 则存在，使得， 因为在上单调递减，所以， 因为，则，所以，即， 又，所以，矛盾， 所以的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据题目中所给的定义，结合反比例函数的单调性，可得答案； （2）根据题目中所给的定义，结合二次函数的对称性，可得答案； （3）由题意代入端点值，求得参数值，利用反证法，结合指数函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 不是上的“阶等值函数”，理由：函数在单调递减； 是上的“阶等值函数”，理由：令，则，易知． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滁州中学2024级高一上学期第二次月考 数学试卷 （满分：150分 用时：120分钟 命题：高一数学组 审核：高一数学组） 注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号. 2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 一、选择题：本题共有8小题，每小题5分，共20分.给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知集合，根据函数定义，下列给出四个对应法则，能构成从到的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设的两根是，则 A. B. C. D. 8. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 终边经过点的角的集合是 B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 C. 若是第三象限角，则是第二象限角 D. 若，则 10. 对任意的，函数的值域是.则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的最大值是12 D. 的最小值是 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题p：，q：B＝{x|x﹣a＜0}，若命题p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是_____. 13. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为6 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2(四舍五入精确到1 m2). 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）. （2）； 16. 已知方程的两个实根是和. （1）求k的值； （2）求的值. 17. 设函数. （1）求不等式的解集； （2）若在上的最小值为，求实数的值. 18. 已知函数为上的偶函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求实数m的取值范围. 19. 若函数在区间上有意义，对于给定的，存在，使得，则称为上的“阶等值函数”． （1）判断是否是上的“阶等值函数”；（直接写出结论） （2）若二次函数满足，证明：是上的“阶等值函数”； （3）证明：是上的“阶等值函数”，并求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $