2025年中考数学一轮基础过关课件：微专题 全等三角形模型

微专题　全等三角形模型 一、平移模型 模型分析：有一组边在一条直线上、另外两组边分别平行的两个 三角形，常在其公共直线上加(减)公共线段以构造相等线段，利用平行 线找出相等的对应角，从而找出三角形全等的条件. 基本图形： 如图，点 A，B，D，E 在同一条直线上，AB＝DE(或 AD＝BE)， AC∥DF，BC∥EF，则△ABC≌△DEF. 【针对训练】 1.如图，已知 E，B，F，C 四点在一条直线上，EB＝CF，∠A＝ ∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF 的是(　　) B A.∠E＝∠ABC B.AB＝DE C.AB∥DE D.DF∥AC 2.(2024·内江)如图，点 A，D，B，E 在同一条直线上，AD＝BE， AC＝DF，BC＝EF. (1)求证：△ABC≌△DEF；(4 分) (2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F 的度数.(6 分) (1)证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即 AB＝DE. ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)解：∵∠A＝55°，∠E＝45°， 由(1)可知△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠FDE＝55°， ∴∠F＝180°－(∠FDE＋∠E)＝180°－(55°＋45°)＝80°. 二、折叠模型 模型分析：所给图形沿公共边所在的直线或者经过公共顶点的某 条直线折叠后，两个三角形全等.对于此模型，学会利用对称性质是解 决问题的关键. 基本图形： 有公共边 有公共角 对顶角 【针对训练】 3.如图，OB 平分∠AOC，D，E，F 分别是射线OA、射线OB、射 线 OC 上的点，点 D，E，F 与点 O都不重合，连接 ED，EF.若添加下 列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件 是( ) D A.OD＝OE C.∠ODE＝∠OED B.OE＝OF D.∠ODE＝∠OFE 4.(2024·常州改编)如图，B，E，C，F 是直线 l 上的四个点，AC， DE 相交于点 G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF. (1)求证：△GEC 是等腰三角形；(4 分) (2)连接 AD，请说明 AD 与 l 的位置关系.(6 分) ∴△ABC≌△DFE(SSS)，∴∠ACB＝∠DEF， 即∠GCE＝∠GEC，∴GE＝GC，∴△GEC 是等腰三角形. (2)解：AD∥l.理由如下： 连接 AD，过点 A 作 AM⊥直线 l 于点 M，过点 D 作 DN⊥直线 l 于点 N，如图所示. 则∠AMB＝∠DNF＝90°，∴AM∥DN. ∵△ABC≌△DFE，∴∠ABM＝∠DFN. ∴△ABM≌△DFN(AAS)， ∴AM＝DN， ∴四边形 AMND 为平行四边形， ∴AD∥l. 三、旋转模型 模型分析：两个三角形有公共顶点，绕该顶点旋转后两个三角形 重合.对于此模型，学会利用旋转后的两个图形全等的性质来解决问题 是关键. 基本图形： ∠ACB＝∠A′CB′ ∠BAC＝∠B′A′C (∠BAB′＝∠CAC′) ∠BAC＝∠B′A′C′ (∠BAB′＝∠CAC′) 【针对训练】 5.(2024·浙江)如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE， △BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形 EFGH 组成，连接 DE. 若 AE＝4，BE＝3，则 DE＝(　　) C 6.如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝ ∠DAE＝90°，且点 D 在线段 BC 上，连接 CE. (1)求证：△ABD≌△ACE；(4 分) (2)若∠EAC＝60°，求∠CED 的度数.(6 分) (1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD 和△ACE 中， ∴△ABD≌△ACE(SAS). (2)解：由(1)得△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠ABD. ∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°. ∵∠EAC＝60°， ∴∠AEC＝180°－∠ACE－∠EAC＝180°－45°－60°＝75°， ∴∠CED＝∠AEC－∠AED＝75°－45°＝30°. 四、一线三等角模型(全等) 模型分析：(1)利用三角形内角和与内外角的关系，通过等角代换 得到一组相等的角，构造三角形全等的条件； (2)两个直角三角形的一 组直角边共线，且斜边互相垂直，利用直角互余的性质得出一组对应 角相等，加上已知的一组相等对应边，这是证明三角形全等的关键. 基本图形： (同侧)∠1＝∠2＝∠3，BC＝B′C′ (异侧)∠1＝∠2＝∠3，BC＝B′C′ (一线三垂直)∠1＝∠2＝∠3＝90°，BC＝B′C′ 【针对训练】 7.(2023·陕西)如图，在△ABC 中，∠B＝90°，作 CD⊥AC，且 使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E.求证：CE＝AB.(6分) 证明：∵DC⊥AC 于点 C， ∴∠ACB＋∠DCE＝90°. ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB＋∠A＝90°， ∴∠A＝∠DCE. ∵DE⊥BC 于点 E， ∴∠E＝90°， ∴∠B＝∠E. 在△ABC 和△CED 中， ∴△ABC≌△CED(AAS). ∴AB＝CE. 8.(2023·武汉)【问题提出】 如图1，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE ＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α (α≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF 与α的数量关系. 图 1 图 2 图 3 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图 2，当α＝90°时，直接写出∠GCF 的 大小；(3 分) (2)再探究一般情形，如图 1，求∠GCF 与α的数量关系；(4 分) 【问题拓展】 (6 分) 解：(1)如图，在 BA 上截取 BJ，使得 BJ＝BE. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC. ∵BJ＝BE，∴AJ＝EC. ∵∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠BAE＋∠B，∠AEF＝∠B＝90°， ∴∠CEF＝∠EAJ.∵EA＝EF， ∴△EAJ≌△FEC(SAS)，∴∠AJE＝∠ECF. ∵∠BJE＝45°， ∴∠AJE＝180°－45°＝135°， ∴∠ECF＝135°， ∴∠GCF＝∠ECF－∠ECD＝135°－90°＝45°. 如图，在 AB 上截取 AN，使 AN＝EC，连接 NE. (3)如图，过点 A 作 CD 的垂线交 CD 的延长线于点 P，设菱形的 边长为 3m. 五、倍长中线法 模型分析：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几 何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就 是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等 三角形的有关知识来解决问题的方法. 基本图形：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线. 图 1 图 2 图 3 图 4 方式 1(直接倍长)：如图2，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. 方式 2(间接倍长)： (1)如图 3，作 CF⊥AD 于点 F，作 BE⊥AD 交 AD 的延长线于 点 E. (2)如图 4，在 AB 上任取一点 M，连接 MD，延长 MD 至点 N， 使 DN＝MD，连接 CN. 【针对训练】 9.【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题： 如图1，在△ABC中，点D为BC边上的中点，AB＝4，AC＝6，求线 段 AD 长的取值范围.我们采用的方法是延长线段 AD 到点 E，使得 AD ＝DE，连接 CE，可证△ABD≌△ECD，可得 CE＝AB＝4，再根据三 角形三边关系即可求出 AD 的范围，我们将这样的方法称为“三角形 倍长中线法”.则 AD 的取值范围是__________.(3 分) 1＜AD＜5 图 1 图 2 图 3 【拓展应用】 解：如图，延长 AD 到点 E，使 AD＝DE，连接 CE. ∵BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE， ∴△ABD≌△ECD(SAS)， ∴∠E＝∠BAD＝90°，DE＝AD＝3，CE＝AB. (2)如图 3，在△ABC 中，点 D 为 BC 边的中点，分别以 AB，AC 为直角边向外作直角三角形，且满足∠ABE＝∠ACF＝30°，连接EF， 4 $$