2025年中考数学一轮基础过关课件：微专题 相似三角形模型

微专题　相似三角形模型 一、A 字模型 模型概述： 两个三角形有一个公共角(∠A)，此时需要找另一对角相等.若题中 未明确相似三角形的对应顶点，则需要分类讨论. 【针对训练】 1.(2024·河南)如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， 点 E 为 OC 的中点，EF∥AB 交 BC 于点 F.若 AB＝4，则 EF 的长为 ( ) B 1 A. 2 B.1 C. 4 3 D.2 2.(2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上. 添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是______________. (写出一种情况即可) ∠ADE＝∠C ︵ 3.(2024·无锡)如图，AB 是⊙O 的直径，△ACD 内接于⊙O，CD＝ ︵ DB，AB，CD 的延长线相交于点 E，且 DE＝AD. (1)求证：△CAD∽△CEA；(4 分) (2)求∠ADC 的度数.(6 分) ︵ 　 ︵ (1)证明：∵CD＝DB，∴∠CAD＝∠DAB. ∵DE＝AD，∴∠DAB＝∠E，∴∠CAD＝∠E. 又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CEA. (2)解：连接 BD，如图. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°. 设∠CAD＝∠DAB＝α， 则∠CAE＝2α. 由(1)知△CAD∽△CEA， ∴∠ADC＝∠CAE＝2α. ∵四边形 ABDC 是圆的内接四边形， ∴∠CAB＋∠CDB＝180°， 即 2α＋2α＋90°＝180°， 解得α＝22.5°. ∴∠ADC＝∠CAE＝2×22.5°＝45°. 二、8 字模型 模型概述： 两个三角形有一组隐含的等角(如对顶角)，此时需要从已知条件、 图中的隐含条件或通过证明得出另一组角相等.若题中未明确相似三 角形的对应顶点，则需要分类讨论. 如图，在△ABC 与△ADE 中，∠1＝∠2，有一组对顶角(∠EAD ＝∠CAB)，则△ABC∽△ADE. 【针对训练】 4.(2024·辽宁)如图，AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 O，且△AOB 与△DOC 的面积比是 1∶4.若 AB＝6，则 CD 的长为______. 12 5.(2024·眉山)如图，菱形 ABCD 的边长为 6，∠BAD＝120°，过 点 D 作 DE⊥BC，交 BC 的延长线于点 E，连接 AE 分别交BD，CD于 点 F，G，则 FG 的长为_________. 6.(2023·眉山)如图，在▱ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F. (1)求证：AF＝AB；(4 分) (2)点 G 是线段 AF 上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG 交 AD 于点 H，若 AG＝2，FG＝6，求 GH 的长.(6 分) (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， ∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F. ∵点 E 是 AD 的中点， ∴DE＝AE， ∴△CDE≌△FAE(AAS)， ∴CE＝EF. ∵AE∥BC， ∴AF＝AB. (2)解：∵AG＝2，FG＝6， ∴AF＝FG＋AG＝6＋2＝8， ∴AB＝AF＝8. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD＝AB＝8. ∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD， ∴∠F＝∠FCG，∴CG＝FG＝6. ∵CD∥AF，∴△DCH∽△AGH， ∴GH＝1.2. 三、一线三等角模型(相似) 模型概述： 三个等角顶点在同一直线上，要证明三角形相似，可根据三角形 内角和及补角的性质得另一组等角. 如下图，在△APC 和△BDP 中，∠1＝∠2＝∠3.其中点 A，P，B 三点在同一条直线上，则△APC∽△BDP. 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角 图 1 点 P 在线段 AB 上，∠1＝∠2＝∠3(同侧型) 锐角一线三等角 一线三垂直 钝角一线三等角 图 2 点 P 在线段 AB 的延长线上，∠1＝∠2＝∠3 (异侧型) ∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°， Rt△ADC∽Rt△CEB ∠BDO＝∠ACO＝∠BOA＝90°， Rt△BDO∽Rt△OCA ∠FBE＝∠ECG＝∠FEG＝90°， Rt△FBE∽Rt△ECG ∠FBE＝∠ECG＝∠FEG＝90°， Rt△FBE∽Rt△ECG 【针对训练】 7.(2023·邵阳)如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点 B 是线段 AD 上的一 点，且 CB⊥BE.已知 AB＝8，AC＝6，DE＝4. (1)证明：△ABC∽△DEB；(4 分) (2)求线段 BD 的长.(6 分) (1)证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°， ∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°， ∴∠C＝∠DBE， ∴△ABC∽△DEB. (2)解：由(1)知△ABC∽△DEB， 8.如图，在等边三角形 ABC 中，点 P 是边 BC 上一动点(点 P 不与 端点重合)，作∠DPE＝60°，PE 交边 AC 于点 E，PD 交边 AB于点D. (1)求证：△BPD∽△CEP；(4 分) (2)若 AB＝10，BD＝3，CP∶BP＝1∶4，求 CE 的长.(6 分) (1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDP＝180°－∠B－∠BPD＝120°－∠BPD. ∵∠DPE＝60°， ∴∠CPE＝180°－∠DPE－∠BPD＝120°－∠BPD， ∴∠BPD＝∠CEP， ∴△BPD∽△CEP. $$