2025年中考数学基础过关课件：与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系 点与圆的位置关系 d 与 r 的大小关系 图示 点(C)在圆内 d＜r 点(A)在圆上 d＝r 点(B)在圆外 d＞r 考点梳理 考点 1 点与圆的位置关系 d 表示点到圆心的距离，r 为圆的半径，点和圆的位置关系如下表： 以题导学 1.(2024·广州)如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 4 ，点 C 在⊙O 上，OC⊥AB，∠ABC＝30°.⊙O 所在的平面内有一点 P，若 OP＝5， 则点 P 与⊙O 的位置关系是( ) A.点 P 在⊙O 上 C.点 P 在⊙O 外 B.点 P 在⊙O 内 D.无法确定 C 关系 图示 公共点个数 数量关系 相离 0 d＞r 相切 1 d＝r 相交 2 d＜r 考点梳理 考点 2 直线与圆的位置关系 以题导学 为圆心，r 为半径作⊙B，当 r＝3 时，⊙B 与 AC 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 B 定义 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 性质 圆的切线垂直于经过切点的半径； 切线到圆心的距离等于圆的半径 证明 方法 利用切线的性质解决问题时，通常连接过切点的半径，利用直角三 角形的性质来解决问题 判定 (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法). (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. (3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 证明 方法 直线与圆有公共点时，连半径，证垂直；直线与圆没有公共点时， 作垂直，证垂线段等于半径 考点梳理 考点 3 切线的性质与判定 以题导学 3.(2024·宿迁)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且 AB⊥ CD，垂足为 E，AB＝20，CD＝12，在 BA 的延长线上取一点 F，连 接CF，使∠FCD＝2∠B. (1)求证：CF 是⊙O 的切线；(4 分) (2)求 EF 的长.(6 分) (1)证明：如图，连接 OC.∵OC＝OB， ∴∠B＝∠BCO， ∴∠AOC＝∠B＋∠BCO＝2∠B. ∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90°， ∴∠COE＋∠OCE＝90°. ∵∠FCD＝2∠B，∴∠FCD＝∠COE， ∴∠FCD＋∠OCE＝90°，∴∠OCF＝90°. ∵OC 是⊙O 的半径，∴CF 是⊙O 的切线. 考点梳理 考点 4 切线长定理 (1)切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的 长，叫做这点到圆的切线长. (2)定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 以题导学 4.如图，PA ，PB 与⊙O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°， 则 AB＝( ) B 类型 定义 圆心 图示 性质 三角形的 内切圆 与三角形各边 都相切的圆叫 做三角形的内 切圆 三角形三条角 平分线的交点 (三角形的内心) (1)到三边的距 离相等； (2)一定在三角 形内部 三角形的 外接圆 经过三角形三 个顶点的圆，叫 做三角形的外 接圆 三角形三条边 的垂直平分线 的交点(三角形 的外心) (1)到三个顶点 的距离相等； (2)圆心不一定 在三角形内部 考点梳理 考点 5 三角形的内切圆与外接圆 以题导学 5.(2023·聊城)如图，点 O 是△ABC 外接圆的圆心，点 I 是△ABC 的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为(　　) C A.15° B.17.5° C.20° D.25° 6.(2024·苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OBC＝ 28°，则∠A＝______°. 62 核心 点、线与圆的位置关系 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6.点 E 为 CD 边上的一个 动点(不与点 C，D 重合)，⊙O 是△BCE 的外接圆. (1)若 CE＝2，⊙O 交 AD 于点 F，G，求 FG 的长度；(4 分) (2)若 CE 的长度为 m，⊙O 与 AD 的位置关系随着 m 值的变化而 变化，试探索⊙O 与 AD 的位置关系及对应的 m 的取值范围.(6 分) 解：(1)如图，过点 O 作 OM⊥FG 于点 M， 延长 MO 交 BC 于点 N，连接 OG. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠C＝∠D＝90°，∴BE 是⊙O 的直径. ∵∠C＝∠D＝∠DMN＝90°，∴四边形 MNCD 是矩形， ∴MN⊥BC，MN＝CD＝AB＝4，∴BN＝CN. ∵OB＝OE，∴ON 是△BCE 的中位线， 变式 1－1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8. 以点 A 为圆心，r 为半径作圆，当点 C 在⊙A 内且点 B 在⊙A 外时，r 的值可能是( ) B A.6 B.8 C.10 D.12 变式 1－2 在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心，3 为半径的 圆与坐标轴的位置关系为( ) B A.与 x 轴相切，与 y 轴相离 B.与 x 轴相交，与 y 轴相切 C.与 x 轴，y 轴都相交 D.与 x 轴，y 轴相离 核心 切线的性质与判定 2.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上的一点，点 P 是 BA 延 长线上的一点，连接 AC，∠PCA＝∠B. (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(4 分) (3)若 CD⊥AB 于点 D，PA ＝4，BD＝6，求 AD 的长.(4 分) (1)证明：如图，连接 OC， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠BCO＋∠OCA＝90°. ∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO. ∵∠PCA＝∠B，∴∠PCA＝∠BCO， ∴∠PCA＋∠OCA＝90°， ∴OC⊥PC，∴PC 是⊙O 的切线. ∴∠B＝30°， ∴∠PCA＝∠B＝30°. 由(1)知∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠P＝∠CAB－∠PCA＝30°， ∴∠PCA＝∠P， ∴AC＝AP. 变式 2 (2024·赤峰)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝ BC，⊙O 经过 B，C 两点，与斜边 AB 交于点 E，连接 CO 并延长交 AB 于点 M，交⊙O 于点 D，过点 E 作 EF∥CD，交 AC 于点 F. (1)求证：EF 是⊙O 的切线；(4 分) (1)证明：如右图，连接 OE. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∴∠COE＝2∠ABC＝90°. ∵EF∥CD， ∴∠COE＋∠OEF＝180°， ∴∠FEO＝90°. ∵OE 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线. 1.如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线 和圆的位置关系是( ) B A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 2.(2024·福建)如图，已知点 A，B 在⊙O 上，∠AOB＝72°，直 ︵ 线 MN 与⊙O 相切，切点为点 C，且 C 为AB的中点，则∠ACM 等于 ( ) A.18° B.30° C.36° D.72° A 3.如图，EB，EC 是⊙O 的两条切线，点 B，C 是切点，点 A，D 是⊙O 上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是____ 度. 99 4.(2023·湖北)如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切 圆⊙O 与 AB，BC 分别相切于点 D，E，连接 DE，AO 的延长线交 DE 于点 F，则∠AFD＝______°. 35 5.(2024·东营)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，点 E ︵ 在⊙O 上，点 C 是BE的中点，AE⊥CD，垂足为点 D，DC的延长线交 AB 的延长线于点 F. (1)求证：CD 是⊙O 的切线；(4 分) (2)若 CD＝ 　 ，∠ABC＝60°，求线段 AF 的长.(6 分) (1)证明：如图，连接 OC. ︵ ︵ ︵ ∵点 C 是BE的中点，∴BC＝CE，∴∠BAC＝∠CAE. ∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AD. ∵AE⊥CD，∴OC⊥DF. ∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线. (2)解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°. ∵∠F＝180°－∠D－∠BAD＝30°， ∴AF＝2AD＝6. 6.(2023·宿迁)在同一平面内，已知⊙O 的半径为 2，圆心 O 到直 线 l 的距离为 3，点 P 为圆上的一个动点，则点 P 到直线 l 的最大距离 是( ) B A.2 B.5 C.6 D.8 AB＋AC 7.(2024·宜宾)如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点 D，则 AD 的值为( ) A 8.(2024·包头)如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 O 在四边形 ABCD 内部，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 P， 连接 OA，OB.若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC 的度数为 ________. 105° 6 10.(2024·自贡)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的内 切圆，切点分别为 D，E，F. AD BE 1 (1)图 1 中三组相等的线段分别是 CE＝CF，AF＝______，BD＝ ______；若 AC＝3，BC＝4，则⊙O 半径长为______.(3 分) (2)如图 2，延长 AC 到点 M，使 AM＝AB，过点 M 作 MN⊥AB 于点 N.求证：MN 是⊙O 的切线.(4 分) 图 1 图 2 证明：如图，过点 O 作 OH⊥MN 于点 H， 连接 OD，OE，OF. ∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB， ∴△AMN≌△ABC(AAS)，∴AN＝AC. ∵AD＝AF，∴AN－AD＝AC－AF，即 DN＝CF， 同(1)可知 CF＝OE，∴DN＝OE. ∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN， ∴四边形 OHND 是矩形，∴OH＝DN， ∴OH＝OE，即 OH 是⊙O 的半径. ∵OH⊥MN，∴MN 是⊙O 的切线. $$