2025年中考数学基础过关课件：二次函数

二次函数 系数 a a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x＝ 　　 考点梳理 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图象和 考点 1 性质 以题导学 1.(2023·兰州)已知二次函数 y＝－3(x－2)2－3，下列说法正确的 是( ) C A.图象的对称轴为直线 x＝－2 B.图象的顶点坐标为(2，3) C.函数的最大值是－3 D.函数的最小值是－3 2.(2022·广州)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝－2，下列结论正确的是( ) C A.a＜0 B.c＞0 C.当 x＜－2 时，y 随 x 的增大而减小 D.当 x＞－2 时，y 随 x 的增大而减小 考点 2 y＝ax2和y＝a(x－h)2＋k的图象关系 以题导学 3.(2024·滨州)将抛物线 y＝－x2 先向右平移 1 个单位长度，再向 上平移 2 个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为_______. (1，2) 已知条件 解析式的选择 解析式 抛物线上任意三点的坐标 一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点坐标或对称轴、最大(小)值 顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 抛物线与x轴的两个交点坐标 交点式 y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0) 考点梳理 考点 3 二次函数解析式的确定 以题导学 4.根据下列条件，分别求二次函数的解析式： (1)已知图象的顶点坐标为(－1，－8)，且过点(0，－6)；(3 分) (2)已知图象经过点(3，0)，(2，－3)，并以直线 x＝0 为对称轴. (3 分) 解：(1)设二次函数的解析式为 y＝a(x＋1)2－8， 把(0，－6)代入，得－6＝a－8，即 a＝2， 则二次函数的解析式为 y＝2(x＋1)2－8＝2x2＋4x－6. Δ＝b2－4ac 方程ax2＋bx＋c＝0的根 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 Δ>0 两个不相等的实数根 两个交点 Δ<0 没有实数根 没有交点 Δ＝0 两个相等的实数根 一个交点 考点梳理 考点 4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 (1)二次函数与一元二次方程的关系 方程 ax2＋bx＋c＝0 的根是抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点 的横坐标. (2)二次函数与不等式的关系 ①不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集⇔抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于 x 轴上方对应的点的横坐标的取值范围； ②不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集⇔抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于 x 轴下方对应的点的横坐标的取值范围. 以题导学 5.如图所示是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象，由图象可知不 ) D 等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是( A.－1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜－1 且 x＞5 D.x＜－1 或 x＞5 6.(2024·宁夏)若二次函数 y＝2x2－x＋m 的图象与 x 轴有交点， 则 m 的取值范围是_________. x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 5 0 －3 －4 －3 0 m … 核心 二次函数的图象和性质 1.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数 y 的部分对应值 如表： (2 分) (1，－4) 5 (1)二次函数图象的顶点坐标为____________，m 的值为______； (4)当 y＜0 时，x 的取值范围是__________；(2 分) (5)关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝5 的解为_______________. (2 分) (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2 分) “＜”“＞”或“＝”)；(2 分) ＞ －1＜x＜3 (3)点P(－4，y1)，Q(5，y2)在函数图象上，y1________y2(填 x＝4 或 x＝－2 变式 1－1 (2022·株洲)已知二次函数 y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其 中 b＞0，c＞0，则该函数的图象可能为( ) C A B C D 变式1－2 如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与 y 轴负半轴相交， 下列描述不正确的是( ) D 核心 二次函数的图象与系数的关系 2.在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象如图所示，有下列 5 个结论： ①abc＞0；②2a－b＝0；③9a＋3b＋c＞0；④b2＞4ac；⑤a＋c＜b. 其中正确的有( ) B A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【归纳小结】二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系 ①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小. 当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；|a|还 可以决定开口大小，|a|越大开口就越小. ②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置. 当 a 与 b 同号(即 ab＞0)时，对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号(即 ab＜0)时，对称轴在 y 轴右侧(简称：左同右异). ③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点.抛物线与 y 轴交于(0，c). ④抛物线与 x 轴交点个数. Δ＝b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；Δ＝b2－4ac＝0 时， 抛物线与 x 轴有 1 个交点；Δ＝b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点. 变式 2 (2023·达州)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常 数)关于直线 x＝1 对称.有下列五个结论：①abc＞0；②2a＋b＝0； ③4a＋2b＋c＞0；④am2＋bm＞a＋b；⑤3a＋c＞0.其中正确的有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 B 核心 确定二次函数的解析式 3.根据下列条件求二次函数的解析式： (1)已知抛物线的顶点坐标是(1，－3)，与 y 轴的交点是(0，－2)， 求这个二次函数的解析式；(4 分) 解：由抛物线顶点坐标为(1，－3)， 可设其解析式为 y＝a(x－1)2－3， 将(0，－2)代入 y＝a(x－1)2－3， 得 a－3＝－2， 解得 a＝1， 则这个二次函数的解析式为 y＝(x－1)2－3. y＝x2＋x＋1 y＝－x2＋6x－7 y＝－2x2＋4x＋6 (2)已知二次函数的图象过点 A(－1，1)，B(1，3)，C(0，1)，则二 次函数的解析式为____________；(3 分) (3)已知二次函数的图象过点 A(2，1)，B(4，1)且最大值为 2，则二 次函数的解析式为___________________；(3 分) (4)已知二次函数的图象与 x 轴的交点为 A(－1，0)，B(3，0)，且 经过点 C(0，6)，则二次函数的解析式为___________________.(3 分) 【题后反思】 顶点 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) (1)已知抛物线的顶点坐标，设二次函数解析式时可选择________ 式，其形式为____________________. 一般 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)已知抛物线上任意三点的坐标，设二次函数解析式时可选择 ________式，其形式为____________________. (3)已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标，设二次函数解析式时可选 择________式，其形式为_________________________. 交点 y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0) 变式 3 (2023·宁波)如图，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象经 过点 A(1，－2)和 B(0，－5). (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；(4 分) (2)当 y≤－2 时，请根据图象直接写出 x 的取值范围.(4 分) 解：(1)把 A(1，－2)和 B(0，－5)代入 y＝x2＋bx＋c， ∴二次函数的表达式为 y＝x2＋2x－5， ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， ∴其图象的顶点坐标为(－1，－6). (2)如图，过点 A 作 x 轴的平行线，与抛物线交于另一点 C. ∵点 A(1，－2)关于对称轴直线 x＝－1 的对称点为 C(－3，－2)， ∴当 y≤－2 时，x 的取值范围是－3≤x≤1. 1.(2024·哈尔滨)二次函数 y＝2(x＋1)2＋3 的最小值是( ) D A.－1 B.1 C.2 D.3 2.(2024·广东)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数 y＝x2 的 图象上，则( ) A A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y1＞y3 C.y1＞y3＞y2 D.y3＞y1＞y2 3.(2024·包头)将抛物线 y＝x2＋2x 向下平移 2 个单位后，所得新抛 ) A 物线的顶点式为( A.y＝(x＋1)2－3 B.y＝(x＋1)2－2 C.y＝(x－1)2－3 D.y＝(x－1)2－2 4.(2024·甘孜州改编)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象如图所 示，给出下列结论：①c＜0；②－ b 2a ＞0；③当－1＜x＜3 时，y＜0.其 中所有正确结论的序号是________. ①②③ x … －1 0 1 2 3 … y … 4 1 n 1 p … 5.(2023·杭州中考节选)设二次函数 y＝ax2＋bx＋1(a≠0，b 是实 数).已知函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如下表所示： (1)求二次函数的表达式；(3 分) (2)写出一个符合条件的 x 的取值范围，使得 y 随 x 的增大而减小. (4 分) 解：(1)由题意得 ∴二次函数的表达式是 y＝x2－2x＋1. (2)∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝1， ∴当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小. 6.(2023·大连)已知二次函数y＝x2－2x－1，当0≤x≤3时，函数 ) D 的最大值为( A.－2 C.0 B.－1 D.2 y1，y2均随着x的增大而减小，此时x的取值范围为(　　) A.x＜－1 B.－1＜x＜0 C.0＜x＜2 D.x＞1 D 8.(2023·广东)如图，抛物线 y＝ax2＋c 经过正方形 OABC 的三个 顶点 A，B，C，点 B 在 y 轴上，则 ac 的值为( ) B A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 9.(2024·牡丹江)将抛物线 y＝ax2＋bx＋3 向下平移 5 个单位长度 后，经过点(－2，4)，则 6a－3b－7＝______. 2 10.(2024·福建)如图，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与 x 轴 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中 A(－2，0)，C(0，－2). (1)求二次函数的表达式；(4 分) (2)若 P 是二次函数图象上的一点，且点 P 在第二象限，线段 PC 交 x 轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.(6分) $$