2025年中考数学基础过关课件：尺规作图

尺规作图 基本作图 作法 图形 (1)作一条线段等于已知线段：已知线段a，求作线段OB，使OB＝a ①任作一条射线OA； ②以点O为圆心，a为半径画弧，交OA于点B. 线段OB为所求作的线段 (2)作一个角等于已知角：已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB ①作射线O′A′； ②以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D； ③以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； ④以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交O′B′于点D′； ⑤经过点D′作射线O′B′. ∠A′O′B′为所求作的角 五种基本尺规作图 基本作图 作法 图形 (3)作已知角的平分线：已知 ∠AOB，求作射线 OC，使∠AOC＝∠BOC ①在 OA 和 OB 上，分别截取 OD，OE，使 OD ＝OE； ②分别以点 D、点 E 为圆心，大于 DE 的长为 半径画弧，在∠AOB 内，两弧交于点 C； ③作射线 OC. 射线 OC 为所求作的射线 (4)作线段的垂直平分线：已知 线段 AB，求作线段 AB 的垂直 平分线 ①分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为 半径作弧，两弧相交于点 C 和点 D； ②作直线 CD. 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线 (因为直线 CD 与线段 AB 的交点就是 AB 的中 点，所以也用这种方法作线段的中点) 基本作图 作法 图形 (5)经过一点作已知直线的垂线 ①经过已知直线上的一点作这 条直线的垂线：已知直线 AB 和 AB 上的一点 C，求作 AB 的 垂线，使它经过点 C； ②经过已知直线外一点作这条 直线的垂线：已知直线 AB 和 AB 外一点 C，求作 AB 的垂线， 使它经过点 C 作平角∠ACB 的平分线 CF. 直线 CF 为所求作的垂线 ①任意取点 K，使点 K 和点 C 在 AB ②以点 C 为圆心，以 CK 长为半径作弧交AB 于点 D 和点 E； ③分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的 长为半径作弧，两弧交于点 F； ④作直线 CF，直线 CF 交 DE 于点 O. 直线 CF 为所求作的垂线 核心 基本作图与图形的性质 1.(作线段的垂直平分线)(2024·广州)如图，在Rt△ABC中， ∠B＝90°. (1)尺规作图：作 AC 边上的中线BO；(保留作图痕迹， 不写作法)(2 分) (2)在(1)所作的图中，将中线 BO 绕点 O 逆时针旋转 180°得到 DO，连接 AD，CD，求证：四边形 ABCD是 矩形.(4 分) (1)解：如图所示，线段 BO 为 AC 边上的中线. (2)证明：∵点 O 是 AC 的中点，∴AO＝CO. ∵将中线 BO 绕点 O 逆时针旋转 180°得到 DO， ∴BO＝DO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形. 变式 1－1 (作已知直线的垂线)(2023·广东)如图，在▱ABCD 中， ∠DAB＝30°. (1)实践与操作：用尺规作图法过点 D 作 AB 边上的高 DE；(保留 作图痕迹，不要求写作法)(2 分) (2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求 BE 的长. (4 分) 解：(1)如图，DE 即为所求作的高. 变式 1－2 (作已知角的平分线)(2024·广东)如图，在△ABC 中， ∠C＝90°. (1)实践与操作：用尺规作图法作∠A 的平分线 AD 交 BC 于点 D； (保留作图痕迹，不要求写作法)(2 分) (2)应用与证明：在(1)的条件下，以点 D 为圆心，DC 长为半径作 ⊙D，求证：AB 与⊙D 相切.(4 分) (1)解：如图，AD 即为所求. (2)证明：如上图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E. ∵AD 平分∠BAC，∠C＝90°， ∴DE＝CD， ∴DE 为⊙D 的半径， ∴AB 与⊙D 相切. 变式 1－3 (作一个角等于已知角)(2024·河南)如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，BE∥DC 交 AC 的延长线于点 E. (1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线 CM 交 BE 于点 F；(保留作图痕迹，不写作法)(2 分) (2)证明(1)中得到的四边形 CDBF 是菱形.(4 分) (1)解：如图，∠ECM 即为所求. (2)证明：由(1)得∠ECF＝∠A， ∴CF∥AB. ∵BE∥DC，∴四边形 CDBF 是平行四边形. ∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， ∴CD＝BD，∴四边形 CDBF 是菱形. 核心 利用图形的性质作图 2.(2023·深圳)如图，在单位长度为 1 的网格中，点 O，A，B 均 在格点上，OA＝3，AB＝2，以点 O 为圆心，OA 为半径画圆，请按下 列步骤完成作图，并回答问题： ①过点 A 作⊙O 的切线 AC，且 AC＝4(点 C 在点 A 的上方)； ②连接 OC，交⊙O 于点 D； ③连接 BD，与 AC 交于点 E.(2 分) (1)求证：DB 为⊙O 的切线；(3 分) (2)求 AE 的长度.(3 分) 解：如图所示即求所求作. (1)证明：如上图，连接 OA，AB. ∵AC 是⊙O 的切线， ∴∠OAC＝90°. ∵OA＝3，AC＝4. 变式 2－1 (2024·宁夏)如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 的中 点，以 AB 为直径的⊙O 经过点 D，点 P 是边 AC 上一点(不与点 A， C重合).请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法. (1)过点 A 作一条直线，将△ABC 分成面积相等的两部分；(3 分) (2)在边 AB 上找一点 P′，使得 BP′＝CP.(3 分) 解：(1)如图，直线 AD 为所求. (2)如图，点 P′为所求. 变式 2－2 (2024·江西)如图，AC 为菱形 ABCD 的对角线，请仅 用无刻度的直尺按要求完成以下作图.(保留作图痕迹) (1)如图 1，过点 B 作 AC 的垂线；(3 分) (2)如图 2，点 E 为线段 AB 的中点，过点 B 作 AC 的平行线.(3 分) 图 1 图 2 解：(1)如图 1，直线 BD 即为所求. 图 1 (2)如图 2，直线 BF 即为所求. 图 2 1.(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 BD 一定是 △ABC 的(　　) B A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 2.(2024·深圳)在如图所示的三个图形中，根据尺规作图的痕迹， 能判断射线 AD 平分∠BAC 的是( ) B A.①② B.①③ C.②③ D.只有① 3.(2024·哈尔滨)如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN 交 BC 于点 D，连接 AD，若∠B＝50°，则∠DAC＝( ) C A.20° B.50° C.30° D.80° 35 5.(2024·达州)如图，线段 AC，BD 相交于点 O，且 AB∥CD， AE⊥BD 于点 E. (1)尺规作图：过点 C 作 BD 的垂线，垂足为 F，连接 AF，CE； (不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母)(2 分) (2)若 AB＝CD，请判断四边形 AECF 的形状，并说明理由.(4 分) 解：(1)如图，CF，AF，CE 为所求. (2)四边形 AECF 为平行四边形.理由如下： ∵AB∥CD，∴∠B＝∠D. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF. 又∵AE∥CF，∴四边形 AECF 为平行四边形. 6.(2024·眉山)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以 点E，F作直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为(　　) A.7 B.8 C.10 D.12 C 7.(2024·内蒙古)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°， 以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 M 和点 N， 连接 AP 并延长，交 BC 于点 D.若△ACD 的面积为 8，则△ABD 的面 积是( ) A.8 B.16 C.12 D.24 B 9.(2024·滨州)如图，在边长为 1 的正方形网格中，点 A，B 均在 格点上. (1)AB 的长为________；(2 分) (2)请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以 AB 为边 的矩形 ABCD，使其面积为 ，并简要说明点 C，D 的位置是如何找 到的(不用证明)：_________________________________________.(4 分) 解：(2)图形如图所示. 10.(2023·绥化)已知点 P 是⊙O 外一点. (1)尺规作图：如图，过点 P 作出⊙O 的两条切线 PE，PF，切点 分别为点 E、点 F；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2 分) (2)在(1)的条件下，若点 D 在⊙O 上(点 D 不与 E，F 两点重合)， 且∠EPF＝30°，求∠EDF 的度数.(4 分) 解：(1)如图，PE，PF 即为所求. (2)连接 OE，OF，如上图. ∵PE，PF 为⊙O 的两条切线， ∴OE⊥PE，OF⊥PF， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°， ∴∠EOF＝180°－∠EPF＝180°－30°＝150°. 当点 D 在优弧 EF 上时， 当点 D′在劣弧 EF 上时， ∠ED′F＝180°－∠EDF＝180°－75°＝105°. 综上所述，∠EDF 的度数为 75°或 105°. $$