2025年中考数学基础过关课件：不等式与不等式组

不等式与不等式组 考点梳理 考点 1 不等式的基本性质 设 a>b，则 (1)性质 1：a±c>b±c； 以题导学 ) D 1.(2024·广州)若 a＜b，则( A.a＋3＞b＋3 B.a－2＞b－2 C.－a＜－b D.2a＜2b 步骤 方法 去分母 不等式左右两边同时乘以分母的最小公倍数 去括号 注意括号前面的符号确定是否变号 移项 把含有未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右 边，注意移动的项必须变号 合并 按照合并同类项的方法合并 系数化为 1 两边同时除以系数或乘系数的倒数，注意不等号的方向 考点梳理 考点 2 解一元一次不等式的步骤 x－1 以题导学 2.(2024·连云港)解不等式： 2 ＜x＋1，并把解集在数轴上表示 出来.(6 分) 解：去分母，得 x－1＜2(x＋1)， 去括号，得 x－1＜2x＋2，移项，得 x－2x＜2＋1， 合并同类项，得－x＜3，系数化为 1，得 x＞－3. 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 考点梳理 考点 3 一元一次不等式组及其解法 (1)定义：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在 一起，就组成一个一元一次不等式组. (2)一元一次不等式组的解集：组成一元一次不等式组的各个不等 式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. (3)解一元一次不等式组的步骤：①解各个一元一次不等式；②在 数轴上表示各不等式的解集；③确定各不等式解集的公共部分；④得 出不等式组的解集. 不等式组(a＜b) 解集 数轴表示 口诀 x≥b 同大取大 x≤a 同小取小 a≤x≤b 大小小大 中间找 无解 大大小小 取不了 以题导学 3.(2022·枣庄)在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一 个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上.(6 分) 把解集表示在数轴上如下： 解不等式③，得 x<4， 解不等式④，得 x≥－1， ∴不等式组的解集是－1≤x<4. 把解集表示在数轴上如下： 把解集表示在数轴上如下： 表示不等关系的关键词 不等号 低于，小于，少于，不足等 < 高于，大于，多于，超过等 > 不低于，不小于，不少于，至少等 ≥ 不高于，不大于，不多于，不超过，至多等 ≤ 考点梳理 考点 4 一元一次不等式(组)的应用 (1)一般步骤：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等 式(组)；⑤检验答案是否符合题意；⑥作答. (2)表示不等关系的关键词与不等号的对应关系： 以题导学 4.(2024·山西)为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水 基灭火器和干粉灭火器共 50 个.其中水基灭火器的单价为 540 元，干 粉灭火器的单价为 380 元.若学校购买这两种灭火器的总价不超过 21 000 元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？(9 分) 解：设可购买这种型号的水基灭火器 x 个，则购买干粉灭火器 (50－x)个，根据题意，得 540x＋380(50－x)≤21 000，解得 x≤12.5， ∵x 为整数， ∴x 取最大值为 12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器 12 个. 核心 不等式的基本性质 1.用“＜”或“＞”填空： (1)若 x－2＞y－2，则 x______y； ＞ ＜ ＜ ＞ 变式 1 (2024·长春)不等关系在生活中广泛存在.如图，a，b 分 别表示两位同学的身高，c 表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数 学原理是( A.若 a＞b，则 a＋c＞b＋c C.若 a＞b，c＞0，则 ac＞bc B.若 a＞b，b＞c，则 a＞c ) A 核心 一元一次不等式(组)的解法 请结合题意填空，完成本题的解答. (1)解不等式①，得_______；(2 分) (2)解不等式②，得_____________；(2 分) (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；(2 分) (4)原不等式组的解集为___________. x≤1 3x≥－3 －3≤x≤1 变式 2－1 (2024·盐城)求不等式 ≥x－1 的正整数解.(4 分) 解： 1＋x 3 ≥x－1，去分母，得 1＋x≥3x－3， 移项，得 x－3x≥－3－1， 合并同类项，得－2x≥－4， 系数化为 1，得 x≤2. 所以此不等式的正整数解为 1，2. 解：解不等式①，得 x≥－2，解不等式②，得 x＜9，所以不等式 组的解集是－2≤x＜9. 核心 一元一次不等式(组)的应用 3.某校为提高学生的阅读能力，现决定购买 A，B 两种书籍共 60 本.经了解，若购买 A 种书籍 10 本，B 种书籍 20 本，共需花费 400 元； 若购买 A 种书籍 20 本，B 种书籍 30 本，共需花费 700 元. (1)求 A，B 两种书籍的单价.(3 分) (2)若该校决定购买以上两种书的总费用不超过 780 元，则该校最 多可以购买 A 种书籍多少本？(3 分) (3)在(2)的条件下，若要求购买 A 种书籍的数量不少于 B 种书籍数 【思路指引】 (1)设 A 种书籍的单价是 x 元，B 种书籍的单价是 y 元，根据“购买 A 种书 籍 10 本，B 种书籍 20 本，共需花费 400 元；购买 A 种书籍 20 本，B 种书 籍 30 本，共需花费 700 元”，可列二元一次方程组__________________； (2)设该校购买 A 种书籍 m 本，则购买 B 种书籍(60－m)本，利用总价＝单 价×数量，结合购买以上两种书的总费用不超过 780 元，可列一元一次不 等式______________________，解之取最大值； 等式_______________，解出 m 的取值范围，结合 m≤18 且 m 为正整数， 可得出各购买方案. 20m＋10(60－m)≤780 【规范解答】 解：(1)设 A 种书籍的单价是 x 元，B 种书籍的单价是 y 元， 答：A 种书籍的单价是 20 元，B 种书籍的单价是 10 元. (2)设该校购买 A 种书籍 m 本，则购买 B 种书籍(60－m)本， 根据题意，得 20m＋10(60－m)≤780，解得 m≤18， ∴m 的最大值为 18. 答：该校最多可以购买 A 种书籍 18 本. 又∵m≤18，且 m 为正整数， ∴m 可以为 15，16，17，18， ∴学校共有 4 种购买方案，如下： 方案 1：购买 A 种书籍 15 本，B 种书籍 45 本； 方案 2：购买 A 种书籍 16 本，B 种书籍 44 本； 方案 3：购买 A 种书籍 17 本，B 种书籍 43 本； 方案 4：购买 A 种书籍 18 本，B 种书籍 42 本. 型号 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 30 45 日租金(元/辆) 450 600 变式 3 某公司有甲、乙两种型号的客车共 20 辆，它们的载客量、每 天的租金如表所示.已知在这 20 辆客车都坐满的情况下，共载客 720 人. (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆；(3 分) (2)某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共 10 辆，接送七年级的师 生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过 5 600 元. ①至少要租用多少辆甲型客车？(3 分) ②若七年级的师生共有 370 人，请写出所有可能的租车方案，并确 定最省钱的租车方案.(4 分) ∴m 可以为 3，4，5，∴共有 3 种租车方案，如下： 方案 1：租用 3 辆甲型客车，7 辆乙型客车； 方案 2：租用 4 辆甲型客车，6 辆乙型客车； 方案 3：租用 5 辆甲型客车，5 辆乙型客车. 选择方案 1 所需租金为 450×3＋600×7＝5 550(元)； 选择方案 2 所需租金为 450×4＋600×6＝5 400(元)； 选择方案 3 所需租金为 450×5＋600×5＝5 250(元)， ∵5 550＞5 400＞5 250， ∴最省钱的租车方案为租用 5 辆甲型客车，5 辆乙型客车. 1.(2022·吉林)y 与 2 的差不大于 0，用不等式表示为( ) D A.y－2＞0 B.y－2＜0 C.y－2≥0 D.y－2≤0 2.(2024·上海)如果 x＞y，那么下列正确的是( ) C A.x＋5≤y＋5 B.x－5＜y－5 C.5x＞5y D.－5x＞－5y 3.(2024·陕西)不等式 2(x－1)≥6 的解集是( ) D A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4 4.(2024·广东)关于 x 的不等式组中，两个不等式的解集如图所示， 则这个不等式组的解集是_________. x≥3 并写出它的所 5.(2024·济南)解不等式组： 有整数解.(6 分) 解：解不等式①，得 x＞－1， 解不等式②，得 x＜4， ∴原不等式组的解集是－1＜x＜4， ∴其所有整数解为 0，1，2，3. ) B 6.(2023·北京)已知 a－1＞0，则下列结论正确的是( A.－1＜－a＜a＜1 B.－a＜－1＜1＜a C.－a＜－1＜a＜1 D.－1＜－a＜1＜a 7.满足不等式 3x－5＞－1 的最小整数是( ) C A.－1 B.1 C.2 D.3 8.(2024·遂宁)不等式组 的解集在数轴上表示为 ( ) A B C D B 9.(2023·聊城)若不等式组 的解集为 x≥m，则 m 的取值范围是__________. m≥－1 10.(2024·资阳)2024 年巴黎奥运会将于 7 月 26 日至 8 月 11 日举 行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的 A，B 两款纪念品深受青少 年喜爱.已知购进 3 个 A 款比购进 2 个 B 款多用 120 元；购进 1 个 A 款和 2 个 B 款共用 200 元. (1)分别求出 A，B 两款纪念品的进货单价；(4 分) (2)该商店决定购进这两款纪念品共 70 个，其总费用不超过 5 000 元，则至少应购买 B 款纪念品多少个？(6 分) 解：(1)设出 A，B 两款纪念品的进货单价分别为 x 元、y 元， 答：A，B 两款纪念品的进货单价分别为 80 元和 60 元. (2)设购买 m 件 B 款纪念品，则购买(70－m)件 A 款纪念品， 根据题意，得 60m＋80(70－m)≤5 000， 解得 m≥30， 答：至少应购买 B 款纪念品 30 个. $$