2025年中考数学基础过关 课件：一元二次方程

一元二次方程 考点梳理 考点 1 一元二次方程及其有关概念 (1)定义：只含有一个未知数(一元)，未知数的最高次数是 2(二次) 的整式方程，叫做一元二次方程. (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(其中a，b，c为常数，且a≠0). (3)一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的 值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方 程的根. 以题导学 1.关于 x 的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5 化为一般形式后不 含一次项，则 m 的值为( ) D A.0 B.±3 C.3 D.－3 2.(2024·深圳)一元二次方程 x2－3x＋a＝0 的一个解为 x＝1，则 a＝________. 2 方法 适用的方程 方程的解 直接开 平方法 形如x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的方程 配方法 容易变形为a(x＋h)2＝k(a≠0，ak≥0)形式的方程 公式法 所有满足b2－4ac≥0的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 因式 分解法 容易变形为(x－a)(x－b)＝0形式的方程 x1＝a，x2＝b 考点梳理 考点 2 一元二次方程的解法 以题导学 3.关于 x 的方程 x(x－1)＝3(x－1)，下列解法完全正确的是( ) D A.两边同时除以(x－1)，得 x＝3 B.整理，得 x2－4x＝－3， ∵a＝1，b＝－4，c＝－3， ∴b2－4ac＝28， C.整理，得x2－4x＝－3， 配方，得x2－4x＋2＝－1， ∴(x－2)2＝－1，∴x－2＝±1， ∴x1＝1，x2＝3 D.移项，得x(x－1)－3(x－1)＝0， ∴(x－3)(x－1)＝0， ∴x－3＝0或x－1＝0， ∴x1＝3，x2＝1 考点梳理 考点 3 一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝b2－4ac. (1)Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根； (2)Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； (3)Δ＜0 时，方程没有实数根. 以题导学 ) A 4.(2024·自贡)关于 x 的方程 x2＋mx－2＝0 根的情况是( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 考点梳理 考点 4 一元二次方程根与系数的关系 以题导学 5.已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－1＝0 的两个实数根分别为 x1和x2，则x1＋x2＋x1·x2的值为(　　) A.－3 B.－1 C.－2 D.0 的值为__________. A 20 核心 一元二次方程的解法 1. 下面是在学习一元二次方程的解法时小颖在黑板上的解答过 程，请认真阅读并完成任务. (1)任务一：①小颖解方程的方法是________.(2 分) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 ②第二步变形的依据是_______________.(2 分) (2)任务二：请你按要求解下列方程： B 等式的基本性质 ①x2＋2x－3＝0；(公式法)(4 分) 解：x2＋2x－3＝0， ∵a＝1，b＝2，c＝－3，∴Δ＝22－4×1×(－3)＝16＞0， ∴x1＝1，x2＝－3. ②3(x－2)2＝x2－4.(因式分解法)(4 分) 解：3(x－2)2＝x2－4， 移项，得 3(x－2)2－(x＋2)(x－2)＝0， ∴(x－2)(3x－6－x－2)＝0， ∴x－2＝0 或 3x－6－x－2＝0， ∴x1＝2，x2＝4. 变式 1 用适当的方法解一元二次方程： (1)4(x－1)2－9＝0；(4 分) (2)x2－3x－1＝0；(4 分) 解：∵a＝1，b＝－3，c＝－1， ∴Δ＝9＋4＝13， (3)x2＋6x＝9；(4 分) 解：∵x2＋6x＝9， ∴x2＋6x＋9＝9＋9， ∴(x＋3)2＝18， (4)(2x＋1)2－4x－2＝0.(4 分) 解：∵(2x＋1)2－2(2x＋1)＝0， ∴(2x＋1)(2x＋1－2)＝0， ∴2x＋1＝0 或 2x＋1－2＝0， 核心 一元二次方程根的判别式 2.当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 kx2－6x＋9＝0， (1)有两个不等的实数根？(2 分) (2)有两个相等的实数根？(2 分) (3)无实数根？(2 分) 解：(1)根据题意得 k≠0 且Δ＝(－6)2－4k·9＞0， 解得 k＜1 且 k≠0. (2)根据题意得 k≠0 且Δ＝(－6)2－4k·9＝0，解得 k＝1. (3)根据题意得 k≠0 且Δ＝(－6)2－4k·9＜0，解得 k＞1. 变式 2－1 (2024·广东)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋c＝0 有两个相等的实数根，则 c＝________. 1 变式 2－2 (2024·黑龙江)关于 x 的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2 ＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是( ) D A.m≤4 B.m≥4 C.m≥－4 且 m≠2 D.m≤4 且 m≠2 核心 一元二次方程根与系数的关系 3.已知关于 x 的一元二次方程 x2－px＋1＝0(p 为常数)有两个不相 等的实数根 x1 和 x2. (1)填空：x1＋x2＝______，x1x2＝______；(2 分) p 1 变式 3－1 (2024·乐山)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋p＝0 两 A.－ 2 3 2 B. 3 C.－6 D.6 变式 3－2 (2024·巴中)已知方程 x2－2x＋k＝0 的一个根为－2， 则方程的另一个根为________. A 4 1.(2024·上海)下列一元二次方程中有两个相等实数根的是( ) D A.x2－6x＝0 B.x2－9＝0 C.x2－6x＋6＝0 D.x2－6x＋9＝0 2.(2023·新疆)用配方法解一元二次方程 x2－6x＋8＝0，配方后得到 的方程是( ) D A.(x＋6)2＝28 B.(x－6)2＝28 C.(x＋3)2＝1 D.(x－3)2＝1 ) B 3.(2024·贵州)一元二次方程 x2－2x＝0 的解是( A.x1＝3，x2＝1 B.x1＝2，x2＝0 C.x1＝3，x2＝－2 D.x1＝－2，x2＝－1 x1＋x2 4.(2023·内蒙古)若 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x－8＝0 的两个实 数根，则 x1x2 ＝_________. － 1 4 5.(2022·贵阳)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解 法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法.请从下列一元二次方程 中任选两个，并解这两个方程.(6 分) ①x2＋2x－1＝0；②x2－3x＝0；③x2－4x＝4；④x2－4＝0. ②利用因式分解法：x2－3x＝0， ∴x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，∴x1＝0，x2＝3. ③利用配方法：x2－4x＝4， 两边都加上4，得x2－4x＋4＝8， ∴(x－2)2＝8，∴x－2＝±2　 ，∴x1＝2＋2 　，x2＝2－2 　. ④利用因式分解法：x2－4＝0， ∴(x＋2)(x－2)＝0，∴x＋2＝0或x－2＝0， ∴x1＝－2，x2＝2.(任选两个即可) 6.(2024·凉山州)若关于 x 的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0 的一个根是 x＝0，则 a 的值为( ) A A.2 B.－2 C.2 或－2 1 D. 2 7.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程 x2－10x＋21＝0 的 两个根，则这个三角形的周长为( ) C A.17 或 13 B.13 或 21 C.17 D.13 8.(2024·潍坊)已知关于 x 的一元二次方程 x2－mx－n2＋mn＋1＝0， 其中 m，n 满足 m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是 ( ) C A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 9.(2023·德州)设 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－2(m＋1)x＋m2 ＋2＝0 的两个实数根，且(x1＋1)(x2＋1)＝8，则 m 的值为______. 1 10.(2024·遂宁)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(m＋2)x＋m－1＝0. (1)求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2 分) 证明：x2－(m＋2)x＋m－1＝0， 这里 a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1， Δ＝b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)＝m2＋4m＋4－4m＋4＝ m2＋8. ∵m2≥0， ∴Δ＞0，∴无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根. 值.(4 分) 解：由题意得 x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1. ∴(m＋2)2－3(m－1)＝9. 整理，得 m2＋m－2＝0.∴(m＋2)(m－1)＝0. 解得 m1＝－2，m2＝1.∴m 的值为－2 或 1. $$