2025年中考数学基础过关 课件：函数与平面直角坐标系

函数与平面直角坐标系 类型 概念 有序数对 有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对叫做有序数对 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐 标系 点到坐标轴的距离 点(a，b)到 x 轴的距离等于|b|，点(a，b)到 y 轴的距离等于|a| 对应关系 坐标平面内任意一点 M 与有序实数对(x，y)的关系是一一对 应的 描述坐标 平面内点的位置 坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一 象限、第二象限、第三象限、第四象限 考点梳理 考点 1 平面直角坐标系 以题导学 1.如图，有 4 名同学分别画了一个平面直角坐标系，其中画法正 确的是( ) D A.①③ B.②④ C.③④ D.④ 2.(2024·广西)如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 ) C P 的坐标为(2，1)，则点 Q 的坐标为( A.(3，0) B.(0，2) C.(3，2) D.(1，2) 类型 点 P(x，y)的特征 各象限内的点 ①在第一象限⇔x>0，y>0；②在第二象限⇔x<0，y>0； ③在第三象限⇔x<0，y<0；④在第四象限⇔x>0，y<0 考点梳理 考点 2 平面直角坐标系中点的坐标特征 类型 点 P(x，y)的特征 坐标轴上的点 ①在 x 轴上⇔y＝0； ②在 y 轴上⇔x＝0； ③既在 x 轴上，又在 y 轴上(原点)⇔x＝0，y＝0 象限的角平分 线上的点 ①在第一、三象限的角平分线上⇔x＝y； ②在第二、四象限的角平分线上⇔x＝－y 类型 点 P(x，y)的特征 平行于坐标轴 的直线上的点 ①平行于 x 轴的直线上的点⇔纵坐标相等； ②平行于 y 轴的直线上的点⇔横坐标相等 以题导学 3.下列说法不正确的是( ) A.点 A(－2，3)到原点的距离为 B.点 P(－2，2)在第二、四象限的角平分线上 C.若 P(x，y)中 xy＝0，则 P 点在 x 轴上 D.点 A(－2，3)在第二象限 C 4.(2024·贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了 “科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示 的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为 (－2， 0)，(0，0)，则“技”所在的象限为(　　) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.在平面直角坐标系中，已知点 A(3，5)，B(－2，5)，则直线 AB 与 x 轴的位置关系为______. 平行 考点梳理 考点 3 函数 (1)变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量， 数值始终不变的量叫做常量. (2)函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y， 并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就 称 x 是自变量，y 是 x 的函数. (3)函数值：对于每一个函数，如果当 x＝a 时 y＝b，那么 b 叫做 当自变量 x 的值为 a 时的函数值. (4)函数的表示方法：①解析式法；②列表法；③图象法. (5)函数图象的画法：列表→描点→连线. (6)函数自变量的取值范围：使函数关系式有意义的自变量的取值 的全体. 以题导学 6.(2022·广东)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为 r，则 C 圆周长 C 与 r 的关系式为 C ＝2 πr. 下列判断正确的是(　　) A.2 是变量 B.π是变量 C.r 是变量 D.C 是常量 7.(2024·江西)将常温中的温度计插入一杯 60 ℃的热水(恒温)中， 温度计的读数 y(℃)与时间 x(min)的关系用图象可近似表示为( ) A B C D C 核心 函数自变量的取值范围 1.求下列函数中自变量 x 的取值范围： 类型 特征 取值范围 举例 整式型 等式右边是整式 全体实数 y＝x2＋1 分式型 等式右边是关于自变 量的分式 使分母不为零的实数 根式型 等式右边是关于自变 量的开偶次方的式子 使根号下的式子的值 为非负数的实数 【归纳小结】 常见自变量取值范围的不同类型 类型 特征 取值范围 举例 零指数幂 (或负整数 指数幂)型 等式右边是关于自变 量的零次幂(或负整数 指数幂) 使底数为不等于0的实数 y＝(x－8)0 (或y＝x-1) 复合型 含有上述两种或多种 的形式 使各部分都有意义的 公共部分的实数 变式 1－1 函数 y＝ x＋1 x－1 中，自变量 x 的取值范围是( ) A.x≠0 B.x≥－1 C.x≠1 D.x≥1 C 变式 1－2 已知等腰三角形的周长为 10 cm，将底边长 y cm 表示 为腰长 x cm 的关系式是 y＝10－2x，则其自变量 x 的取值范围是( ) A.0＜x＜5 B.2.5＜x＜5 C.一切实数 D.x＞0 B 变式 1－3 (2024·齐齐哈尔)在函数 y＝ 中，自变量 x 的取值范围是_________________. x＞－3 且 x≠－2 核心 坐标系中点的坐标特征 2.已知点 P(3m－6，m＋1)，试分别根据下列条件，求出点 P 的坐 标. (1)点 P 在 y 轴上；(2 分) (2)点 P 在 x 轴上；(2 分) (3)点 P 的纵坐标比横坐标大 5；(2 分) (4)点 P 在过点 A(－1，2)，且与 x 轴平行的直线上.(4 分) 解：(1)∵点 P(3m－6，m＋1)在 y 轴上， ∴3m－6＝0，解得 m＝2， ∴m＋1＝2＋1＝3， ∴点 P 的坐标为(0，3). (2)∵点 P(3m－6，m＋1)在 x 轴上， ∴m＋1＝0， 解得 m＝－1， ∴3m－6＝3×(－1)－6＝－9， ∴点 P 的坐标为(－9，0). (3)∵点 P(3m－6，m＋1)的纵坐标比横坐标大 5， ∴m＋1－(3m－6)＝5， 解得 m＝1， ∴3m－6＝3×1－6＝－3，m＋1＝1＋1＝2， ∴点 P 的坐标为(－3，2). (4)∵点 P(3m－6，m＋1)在过点 A(－1，2)且与 x 轴平行的直线上， ∴m＋1＝2， 解得 m＝1， ∴3m－6＝3×1－6＝－3，m＋1＝1＋1＝2， ∴点 P 的坐标为(－3，2). 变式 2 在平面直角坐标系中，已知点 M(1－2m，－m). (1)若点 M 在 y 轴上，求 m 的值；(3 分) (2)若点 M 到 y 轴的距离是 3，求 m 的值；(3 分) (3)若点 M 在第一、三象限的角平分线上，求 m 的值.(4 分) 解：(1)∵点 M(1－2m，－m)在 y 轴上， (2)∵点 M(1－2m，－m)到 y 轴的距离是 3， ∴|1－2m|＝3，即 1－2m＝3 或 1－2m＝－3，解得 m＝－1 或 m＝2. (3)∵点 M(1－2m，－m)在第一、三象限的角平分线上， ∴1－2m＝－m，解得 m＝1. 核心 函数图象 3.如图 1 所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家 去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.图 2 反映了这个过程中， 小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系. 根据图象回答下列问题： (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？(2 分) (2)小明吃早餐用了多少时间？(2 分) (3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ (2 分) (4)小明读报用了多少时间？(2 分) (5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ (2 分) 图 1 图 2 解：(1)食堂离小明家 0.6 km，小明从家到食堂用了 8 min. (2)小明吃早餐用了(25－8)＝17(min). (3)食堂离图书馆(0.8－0.6)＝0.2(km)，小明从食堂到图书馆用了 28－25＝3(min). (4)小明读报用了(58－28)＝30(min). (5)图书馆离小明家 0.8 km，小明从图书馆回家的平均速度是 0.8÷(68－58)＝0.08(km/min). 变式 3－1 (2024·武汉)如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底 面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽 中水的深度 h 与注水时间 t 的函数关系的是( ) D A B C D 变式 3－2 (2023·贵州)今年“五一”假期，小星一家驾车前往 黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程 y(km)与所用时 间 x(h) 之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A.小星家离黄果树景点的路程为 50 km B.小星从家出发第 1 小时的平均速度为 75 km/h C.小星从家出发 2 小时离景点的路程为 125 km D D.小星从家到黄果树景点的时间共用了 3 h ) B 1.在平面直角坐标系中，点(4，0)的位置在( A.第一象限 B.x 轴正半轴上 C.第二象限 D.y 轴正半轴上 2.函数 y＝ 中的自变量 x 的取值范围是( ) A.x＞1 B.x≠2 C.x＞1 且 x≠2 D.x≥1 且 x≠2 D 3.(2023·广安)如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中， 然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列 能反映弹簧测力计的读数 y(单位：N)与铁块被提起的时间 x(单位：s) 之间的函数关系的大致图象是( ) A A B C D 4.如图，在矩形 ABCD 中，A(－3，2)，B(3，2)，C(3，－1)，则D 的坐标为____________. (－3，－1) 5.小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度 h(m)与摆动时间 t(s)之间 的关系如图所示. (1)根据函数的定义，请判断变量 h 是否为关于 t 的函数.(3 分) (2)结合图象回答： ①当 t＝0.7 s 时，h 的值是多少？请说明它的实际意义；(3 分) ②秋千摆动第一个来回需多少时间？(4 分) 解：(1)由图象可知 对于每一个摆动时间 t，h 都有唯一确定的值与其对应， ∴变量 h 是关于 t 的函数. (2)①由函数图象可知 当 t＝0.7 s 时，h＝0.5 m，它的实际意义是秋千摆动 0.7 s 时，离 地面的高度是 0.5 m. ②由图象可知 秋千摆动第一个来回需 2.8 s. 6.(2023·内蒙古)若实数 m，n 是一元二次方程 x2－2x－3＝0 的两 ) B 个根，且 m＜n，则点(m，n)所在象限为( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 8.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＜AD，对角线 AC，BD 相交于 点O，动点 P 由点 A 出发，沿点 A→B→C→D 的方向运动，设点 P 的 运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系如图2所示，当 x＝5 时，y 的值为( ) 图 2 3 A. 2 B.2 5 C. 2 D.4 A 图 1 9.2025 年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行.如图是本届亚冬 会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若 A，C两点的坐标 分别为(2，1)，(0，2)，则点 B 的坐标为___________. (－1，－2) 10.新能源纯电动汽车的不断普及让很多人感受到了它的好处，其 中最重要的一点就是对环境的保护.如图是某型号新能源纯电动汽车 充满电后，蓄电池剩余电量 y(千瓦时)与已行驶路程 x(千米)之间关系的 图象. (1)图中点 A 表示的实际意义是什么？(2 分) (2)当 0≤x≤150 时，行驶 1 千米的平均耗电量 是多少？当 150＜x≤200 时，行驶 1千米的平均耗电 量是多少？(4 分) (3)当行驶了 120 千米时，蓄电池的剩余电量是多少？行驶多少千 米时，蓄电池的剩余电量降至 20 千瓦时？(4 分) 解：(1)由图象，可知点 A 表示充满电后行驶 150 千米时，剩余电 量为 35 千瓦时. ∴当行驶了 120 千米时，蓄电池的剩余电量是 40 千瓦时；当汽车 行驶 180 千米时，蓄电池的剩余电量降至 20 千瓦时. $$