2025年中考数学基础过关课件：函数的实际应用

函数的实际应用 考点梳理 考点 1 一次函数的实际应用 (1)根据实际问题或图象求出一次函数的解析式. (2)利用自变量的取值范围求最值. (3)利用函数值的大小来确定最佳方案. 以题导学 1.(2024·东营)在弹性限度内，弹簧的长度 y(cm)是所挂物体质量 x(kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长 12.5 cm，当所挂物体的质量 为 2 kg 时，弹簧长 13.5 cm，当所挂物体的质量为 5 kg 时，弹簧的长 度为______ cm. 15 考点梳理 考点 2 反比例函数的实际应用 (1)能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型. (2)注意在自变量和函数值的取值上的实际意义. (3)问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中 说明. 以题导学 2.(2024·哈尔滨)已知蓄电池的电压 U(单位：V)为定值，使用蓄 电池时，电流 I(单位：A)与电阻 R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的 图象如图所示，则蓄电池的电压 U＝______V. 36 考点梳理 考点 3 二次函数的实际应用 从实际问题中抽象出二次函数，并能利用二次函数的最值公式解 决实际问题中的最值问题. 以题导学 3.(2024·泰安)如图，小明的父亲想用长为 60 米的栅栏，再借助 房屋的外墙围成一个矩形的菜园.已知房屋外墙长 40 米，则可围成的 菜园的最大面积是______平方米. 450 核心 函数解析式类型已知 1.某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、 乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地 ＋6，乙离一楼地面的高度 y(单位：m)与下行时间 x(单位：s)的函数关 系如图所示. (1)求 y 关于 x 的函数解析式；(3 分) (2)请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面；(3 分) (3)在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差 1 米，若存 在求出此时的下行时间；若不存在，请说明理由.(4 分) (3)存在.理由如下： ∵因为甲、乙两人从二楼同时下行，甲先到达地面， ∴当下行 10 秒或 25 秒时两人竖直高度相差 1 米. 变式 1－1 (2023·台州)科学课上，同学用自制密度计测量液体 的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 h(单位：cm) 是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为 1 g/cm3 的水中时，h＝20 cm. (1)求 h 关于ρ的函数解析式；(4 分) (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25 cm，求该液体的密度 ρ.(6 分) (1)若将 10 万元资金投入 A 项目，一年后获得的收益是多少？ (3 分) (2)若对 A，B 两个项目投入相同的资金 m(m>0)万元，一年后两者 获得的收益相等，则 m 的值是多少？(3 分) (3)2023 年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此 政策获得的减免税款及其他结余资金共计 32 万元，全部投入 A，B 两 个项目中，当 A，B 两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收 益之和最大？最大值是多少万元？(4 分) (3)设投入 B 项目的资金是 t 万元，投入 A 项目的资金是(32－t)万 元，一年后获得的收益之和为 W 万元， ∴投入 A 项目的资金是 28 万元，投入 B 项目的资金是 4 万元时， 一年后获得的收益之和最大，最大值是 16 万元. 核心 函数解析式类型未知 2.(2023·遂宁)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节 日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需 求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种 粽子的进价比每个甲种粽子的进价多 2 元，用 1 000 元购进甲种粽子 的个数与用 1 200 元购进乙种粽子的个数相同. (1)求甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元.(3 分) (2)该超市计划购进这两种粽子共 200 个(两种都有)，其中甲种粽 子的个数不低于乙种粽子个数的 2 倍，若甲、乙两种粽子的售价分别 为 12 元/个、15 元/个，设购进甲种粽子 m 个，两种粽子全部售完时获 得的利润为 W 元. ①求 W 与 m 的函数关系式，并求出 m 的取值范围；(3 分) ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？(4 分) 解：(1)设每个甲种粽子的进价为 x 元，则每个乙种粽子的进价为 (x＋2)元，根据题意，得 ，解得 x＝10， 经检验，x＝10 是原方程的根且符合题意，此时 x＋2＝12. 答：每个甲种粽子的进价为 10 元，每个乙种粽子的进价为 12 元. (2)①设购进甲种粽子 m 个，则购进乙种粽子(200－m)个，根据题 意，得 W＝(12－10)m＋(15－12)(200－m)＝2m＋600－3m＝－m＋600， ∴W 与 m 的函数关系式为 W＝－m＋600.∵甲种粽子的个数不低于乙 为正整数). ②由①知 W＝－m＋600，－1<0，m 为正整数，∴当 m＝134 时， W 有最大值，最大值为 466，此时 200－134＝66. 答：购进甲种粽子 134 个，乙种粽子 66 个时才能获得最大利润， 最大利润为 466 元. 变式 2－1 (2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量 发展工程”，2023 年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远 销欧美.某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每 吨 5 万元出售，平均每天可售出 100 吨.市场调查反映：如果每吨降价 1 万元，每天销售量相应增加 50 吨.该果商如何定价才能使每天的“利 润”或“销售收入”最大？请求出其最大值.(题中“元”为人民币)(9 分) 解：设该果商定价 x 万元时，每天的“利润”为 w 万元，每天的 “销售收入”为 y 万元，由题意，得 w＝(x－2)[100＋50(5－x)]＝－50(x－4.5)2＋312.5， ∵－50＜0，∴w 随 x 的增大而减小，∴当 x＝4.5 时，w有最大值， 最大值为 312.5 万元. y＝x[100＋50(5－x)]＝－50(x－3.5)2＋612.5， ∵－50＜0，∴y 随 x 的增大而减小，∴当 x＝3.5 时，y 有最大值， 最大值为 612.5 万元. 答：该果商定价为 4.5 万元时才能使每天的“利润”最大，其最 大值为 312.5 万元，定价为 3.5 万元时才能使每天的“销售收入”最大， 其最大值为 612.5 万元. 类别 短款 长款 进货价(元/件) 80 90 销售价(元/件) 100 120 变式 2－2 (2024·广元)近年来，中国传统服装备受大家的青睐， 走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传 统服装进行销售，进货价和销售价如表： (1)该服装店第一次用 4 300 元购进长、短两款服装共 50件，求两款 服装分别购进的件数；(4 分) (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两 款服装共 200 件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于 16 800元，服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大 销售利润是多少？(6 分) 解：(1)由题意，设购进短款服装 x 件，购进长款服装 y 件， 答：购进长款服装 30 件，购进短款服装 20 件. (2)由题意，设第二次购进 m 件短款服装，则购进(200－m) 件长 款服装， 则 80m＋90(200－m)≤16 800. 解得 m≥120. 设销售利润为 w 元， 则 w＝(100－80)m＋(120－90)(200－m)＝－10m＋6 000. ∵－10＜0， ∴w 随 m 的增大而减小， ∴当 m＝120 时，利润 w 最大，最大为－10×120＋6 000＝ 4 800(元). 答：当购进 120 件短款服装，80 件长款服装时，才能获得最大销 售利润，最大销售利润是 4 800 元. 1.(2023·随州)已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流 I(单位：A)与电阻 R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示， 则当电阻为 6 Ω时，电流为( ) B A.3 A B.4 A C.6 A D.8 A 2.(2023·丽水)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10 米/秒， 经过 t(秒)时球距离地面的高度 h(米)适用公式 h＝10t－5t2，那么球弹 起后又回到地面所花的时间是( ) D A.5 秒 B.10 秒 C.1 秒 D.2 秒 3.(2024·哈尔滨)一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始 5 min 内只进水不出水，在随后的 10 min 内既进水又出水，每分的进 水量和出水量是两个常数.容器内的水量 y(单位：L)与时间 x(单位：min) 之间的关系如图所示，当 x＝9 min 时，y＝( ) B A.36 L B.38 L C.40 L D.42 L 与水平距离 x(单位：m)之间的关系是 y＝－ 4.(2023·宜昌)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度 y(单位：m) 1 12 (x－10)(x＋4)，则铅球 推出的距离 OA＝____ m. 10 频率 f/MHz 10 15 50 波长λ/m 30 20 6 5.(2023·吉林)笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波 的波长λ (单位：m)会随着电磁波的频率 f(单位：MHz)的变化而变化. 已知波长λ与频率 f 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： (1)求波长λ关于频率 f 的函数解析式；(4 分) (2)当 f＝75 MHz 时，求此电磁波的波长λ.(6 分) 6.(2024·河北)节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买 500 千瓦时电，若平均每天用电 x 千瓦时，则能使用 y 天.下列说法错误的 是( ) C A.若 x＝5，则 y＝100 B.若 y＝125，则 x＝4 C.若 x 减小，则 y 也减小 D.若 x 减小一半，则 y 增大一倍 7.(2023·济南)学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分 别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条 路匀速前进.如图所示，l1 和 l2 分别表示两人到小亮家的距离 s(km)和时 间 t(h)的关系，则出发______h 后两人相遇. 0.35 8.(2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器 装置，其最快移动速度 v(m/s)是载重后总质量 m(kg)的反比例函数.已 知一款机器狗载重后总质量 m＝60 kg 时，它的最快移动速度 v＝6m/s； 当其载重后总质量 m＝90 kg 时，它的最快移动速度 v＝____ m/s. 4 9.(2023·滨州)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖 直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中 心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 的水平距离也为 3 m，那么水管的设计高度应为______m. 10.(2024·大庆)“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农 副产品也随之畅销全国.某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销 售的 30 天中，第 x 天(1≤x≤30 且 x 为整数)的售价为 y(元/千克)，当 1≤x≤20 时，y＝kx＋b；当 20＜x≤30 时，y＝15.销量 z(千克)与 x的函 数关系式为 z＝x＋10，已知该产品第 10 天的售价为 20 元/千克，第 15 天的售价为 15 元/千克，设第 x 天的销售额为 M(元). (1)k＝______，b＝______；(2 分) －1 30 (2)写出第 x 天的销售额 M 与 x 之间的函数关系式；(4 分) 解：由题意，当 1≤x≤20 时，由(1)得 y＝－x＋30， ∴M＝(x＋10)(－x＋30)＝－x2＋20x＋300. 当 20≤x≤30 时，M＝15(x＋10)＝15x＋150. (3)求在试销售的 30 天中，共有多少天销售额超过 500 元.(4 分) $$