浙江省绍兴市第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷

绍兴一中2024学年第一学期期末考试 高三数学参考答案 1-4 ABAB 5-8 DACD 9．ACD 10．ABD 11．BCD 12．6 13． 14． 15．（1）依题意，， 由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 即， 所以，即， 因为，所以，所以，即． （2）不妨设，则， 因为，所以为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去）， 所以． 16．（1）由已知， 因为函数在定义域上有两个极值点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）得，， 即两个极值点为方程的两根， 则， 所以 代入得 ，其中， 则，得， 设， 则，当时，， 即在上单调递增，又，所以. 17．（1）如图，取中点O，连接，；由图①可知，、是正三角形， 所以，． 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以． 以为正交基底建立空间直角坐标系． 可得 因为，， 设平面的一个法向量， 所以即 令，则，，所以． 平面的一个法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值． （2）因为，设，若与平面所成角为θ， ，平面的一个法向量， ，设， ， 当时，取最小值，的最大值 18．（1）由题意，从而，， 所以椭圆方程为. （2）①由消得（*）， 由，得， 此时方程（*）可化为：， 解得：（由条件可知：k，m异号）， 设，则，， 即，所以， 因为，所以可设直线， 由消得， 当时，方程有两个不相等的实根， 设，，则，， 因为A，C两点关于原点对称，所以，所以，， 所以． ②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则， 于是， 由①可知：，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形， 则还需，即， 由①可知：，所以． 又，， 所以， 由可得：， 又，所以，即， 当时，； 当时，． 19．（1）令，①，； ②，；③，， 综上所述，不是可分数， 令，，由，， 则是可分数. （2）由，且，则令， 由，且， 则是小于最大的可分数. （3）设偶数为可分数，则存在使得， 由可知二元子集中两元素和的最大值为， 于是集合中所有大于等于的整数所在二元子集中两元素之和均为， 于是必定与在同一个二元子集中， 必定与在同一个二元子集中， 必定与在同一个二元子集中， 若，由可知不属于集合， 故无法对进行分组，此时不是可分数； 若，则分组之后还剩下大于等于的整数， 此时不是可分数； 若，则分组之后还剩下， 因为，则是可分数等价于也是可分数， 若，则可将划分成以下各组：， 每组中两元素之和均为，因此此时是可分数， 由于小于的可分数的个数为，则， 又小于3的可分数只能为2，则，于是， 故是首项为，公比为2的等比数列， 则，于是， 又， 因此. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绍兴一中2024学年第一学期期末考试 高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．设，则 A．4 B．2 C．1 D．0 3．已知向量，若，则 A． B． C． D． 4．圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，则该圆锥的侧面积为 A． B． C． D． 5．设分别为函数的零点，则的大小关系为 A． B． C． D． 6．若，则 A． B． C． D． 7．某景区新开通了三个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且甲不体验项目，则不同的体验方法共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．30种 8．已知函数，且若，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是 附：若随机变量服从正态分布，则． A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩 B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩 C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近 D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587 10．在正方体中，分别为棱的中点，则 A．平面 B． C．直线与直线所成角为 D．若，则平面四点共面 11．冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止．例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序．因此，和均是交换2次的序列．现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则 A．序列是需要交换3次的序列 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，若第三项的系数为15，则_____． 13．已知，，则的最小值为_____． 14．已知双曲线的两个焦点分别为、，，以为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的离心率是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 16．已知函数在定义域上有两个极值点． （1）求实数的取值范围： （2）若，求的取值范围． 17．已知菱形如图①所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点作平面，且，所得图形如图②所示． （1）求五面体的体积； （2）若点满足，若与平面所成角为，求的最大值． 18．已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点直线与椭圆交于不同的两点，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 19．对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数．例如，由于二元子集满足，则称2为可分数． （1）判断4和6是否为可分数，并说明理由； （2）求小于81的最大可分数； （3）记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $$