2025年中考数学基础过关课件：讲 角、相交线与平行线

角、相交线与平行线 直线公理 两点确定一条直线 线段公理 两点之间，线段最短 两点间的距离 连接两点的线段的长度 线段的中点 把线段分成相等的两条线段的点 考点梳理 考点 1 直线、线段 以题导学 段 DB 的中点，若 AB＝10 cm，则 CE 的长是______ cm. 6 度、分、秒的换算 1°＝60′，1′＝60″，度、分、秒换算是 60 进 制的 余角和补角 互余：如果两个角的和为 90°，那么这两个角互为 余角 互补：如果两个角的和为 180°，那么这两个角互 为补角 性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角 相等 考点梳理 考点 2 角 以题导学 2.(2024·兰州)若∠A＝80°，则∠A 的补角是( ) A A.100° B.80° C.40° D.10° 3.如图，点 A，B，C 三点共线，BD 是∠ABE 的平分线，BF 是 ∠EBC 的平分线，已知∠ABD＝28°32′，则∠FBC＝________. 61°28′ 考点梳理 考点 3 相交线 (1)垂线：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线. (2)垂线的性质： ①性质 1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直. ②性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 最短. (3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫 做点到直线的距离. 以题导学 4.(2024·雅安)如图，直线 AB，CD 交于点 O，OE⊥AB 于点 O， 若∠1＝35°，则∠2 的度数是( ) A A.55° B.45° C.35° D.30° 平行公理 及相关基 本事实 (1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也 互相平行. (3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 平行线的 性质与判 定 (1)同位角相等⇔两直线平行. (2)内错角相等⇔两直线平行. (3)同旁内角互补⇔两直线平行 考点梳理 考点 4 平行线 以题导学 5.(2024·呼和浩特)如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝ ∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4 的度数为( ) B A.75° B.105° C.115° D.130° 考点梳理 考点 5 命题、定理与证明 (1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题.命题由题设和结论两部 分组成.题设和结论都成立的命题叫做真命题，题设成立、结论不一定 成立的命题叫做假命题. (2)定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理. (3)证明：推理一个命题的正确性的过程叫做证明. 以题导学 6.下列说法正确的是( ) A A.命题一定有逆命题 B.所有的定理一定有逆定理 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题 核心 余角、补角与对顶角的有关计算 1.把直角三角形 MON 的直角顶点 O 放在直线 AB 上，射线 OC 平 分∠AON. 图 1 图 2 (1)如图 1，若∠MOC＝25°，求∠BON 的度数；(2 分) 解：如题图 1，∵∠MOC＝25°，∠MON＝90°， ∴∠NOC＝90°－25°＝65°. 又∵OC 平分∠AON，∴∠AON＝2∠NOC＝130°， ∴∠BON＝180°－∠AON＝180°－130°＝50°. (2)若∠MOC＝m°，则∠BON 的度数为______°；(2 分) (3)由(1)和(2)，我们发现∠MOC 和∠BON 之间的数量关系是 _________________；(2 分) 2m ∠BON＝2∠MOC (4)若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC 和∠BON 之间的数量关系是否发生变化？请说明理由.(4 分) 解：∠MOC 和∠BON 之间的数量关系不发生变化.理由如下： 如题图 2，∵OC 平分∠AON，∴∠AOC＝∠NOC， ∵∠MON＝90°，∴∠AOC＝∠NOC＝90°－∠MOC， ∴∠BON＝180°－2∠NOC＝180°－2(90°－∠MOC)＝ 2∠MOC，即∠BON＝2∠MOC， ∴∠MOC 和∠BON 之间的数量关系不发生变化. 变式 1－1 (2023·河南)如图，直线 AB，CD 相交于点 O，若 ∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE 的度数为( ) B A.30° B.50° C.60° D.80° 变式 1－2 (2023·北京)如图，∠AOC＝∠BOD＝90°， ∠AOD＝126°，则∠BOC 的大小为( ) C A.36° B.44° C.54° D.63° 变式 1－3 如图，一束光沿 CD 方向，先后经过平面镜OB，OA 反射后，沿 EF 方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则 ∠AEF＝______°. 40 核心 平行线的性质与判定 2.如图，直线 MN 分别与直线 AC，DG 交于点 B，F，且∠1＝∠2. 若∠ABF 的角平分线 BE 交直线 DG 于点 E，∠BFG 的角平分线 FC 交 直线 AC 于点 C. (1)请直接写出直线 AC 与 DG 的位置关系；(3 分) (2)求证：BE∥CF；(3 分) (3)若∠C＝35°，求∠BED 的度数.(3 分) (1)解：AC∥DG，理由如下： ∵∠ABF＝∠1，∠1＝∠2， ∴∠ABF＝∠2， ∴AC∥DG. (2)证明：由(1)知 AC∥DG， ∴∠ABF＝∠BFG. ∵∠ABF 的角平分线 BE 交直线 DG 于点 E，∠BFG 的角平分线 FC 交直线 AC 于点 C， ∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF. (3)∵AC∥DG，∠C＝35°， ∴∠C＝∠CFG＝35°. ∵BE∥CF， ∴∠CFG＝∠BEG＝35°， ∴∠BED＝180°－∠BEG＝145°. 变式 2－1 (2024·宿迁)如图，直线 AB∥CD，直线 MN 分别与 直线 AB，CD 交于点 E，F，且∠1＝40°，则∠2 等于( ) C A.120° B.130° C.140° D.150° 变式 2－2 (2024·巴中)如图，直线 m∥n，一块含有 30°角的直 角三角板按如图所示放置.若∠1＝40°，则∠2 的大小为( ) A A.70° B.60° C.50° D.40° 变式 2－3 (2023·金华)如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则 ∠4 的度数是( ) C A.120° B.125° C.130° D.135° 1.(2024·广西)如图，2 时整，钟表的时针和分针所成的锐角为 ( ) C A.20° B.40° C.60° D.80° 2.已知线段 AB＝4，在直线 AB 上作线段 BC，使得 BC＝2，若点 D 是线段 AC 的中点，则线段 AD 的长为( ) C A.1 B.3 C.1 或 3 D.2 或 3 3.(2024·吉林)如图，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比， 走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是____________________. 两点之间，线段最短 109 4.(2024·广州)如图，直线 l 分别与直线 a，b 相交，a∥b.若∠1＝ 71°，则∠2 的度数为________°. 5.(2023·武汉)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠D， 点 E 在 BA 的延长线上，连接 CE. (1)求证：∠E＝∠ECD；(4 分) (2)若∠E＝60°，CE 平分∠BCD，直接写出△BCE 的形状.(4 分) (1)证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B. ∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D， ∴BE∥CD，∴∠E＝∠ECD. (2)解：△BCE 是等边三角形，理由如下： ∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD. ∵EB∥CD，∴∠ECD＝∠E＝60°， ∴∠B＝180°－∠E－∠BCE＝60°， ∴∠B＝∠BCE＝∠E， ∴△BCE 是等边三角形. A 6.(2024·湖南)下列命题中，正确的是(　　) A.两点之间，线段最短 B.菱形的对角线相等 C.正五边形的外角和为 720° D.直角三角形是轴对称图形 7.(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光 线与平面镜的夹角∠1＝50°，则反射光线与平面镜的夹角∠4 的度数 为( ) B A.40° B.50° C.60° D.70° 8.(2023·深圳)如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°， DE 与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝( ) A A.70° B.65° C.60° D.50° 9.已知 A，B，C 是同一直线上的三点，且 AB＝12 cm，BC＝8 cm. 若点 D 是 AC 的中点，则线段 AD 的长度是_________cm. 10 或 2 10.(2024·盐城)已知：如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上， AE∥BF，AE＝BF. 若______________，则 AB＝CD. 请从①CE∥DF；②CE＝DF；③∠E＝∠F 这3个选项中选择一个 作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由.(6 分) 证明：选择①，∵AE∥BF，∴∠A＝∠FBD. ∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D， ∴△AEC≌△BFD(ASA)，∴AC＝BD，∴AB＝CD. $$