2025年中考数学基础过关课件：等腰三角形与直角三角形

等腰三角形与直角三角形 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 性质 两腰相等，两底角相等(等边对等角)，顶角平分线、底边上的中 线和高互相重合(三线合一) 判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形 是等腰三角形(等角对等边) 考点梳理 考点 1 等腰三角形的性质和判定 以题导学 1.(2024·绥化)如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE.则∠A＝ ______°. 66 2.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平 分线.若在边 AB 上截取 BE＝BC，连接 DE，则图中等腰三角形共有 ( ) D A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 定义 三条边相等的三角形是等边三角形 性质 (1)三边都相等； (2)三个内角相等且都是 60°； (3)三线合一，且内心、外心、重心和垂心重合； (4)是轴对称图形，有 3 条对称轴 判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形(等角对等边)； (3)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 考点梳理 考点 2 等边三角形的性质和判定 以题导学 3.如图，△ABC 是等边三角形，点 D 在 AC 边上，∠DBC＝35°， 则∠ADB 的度数为( ) D A.25° B.60° C.85° D.95° 4.(2024·青海)如图，在 Rt△ABC 中，点 D 是 AC 的中点，∠BDC ＝60°，AC＝6，则 BC 的长是( ) A 定义 经过线段的中点且与这条线段垂直的直线是这条线段的垂直 平分线 性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 判定 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 考点梳理 考点 3 线段的垂直平分线 以题导学 5.(2024·凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直 平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝(　　) A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm C 定义 有一个角是 90°的三角形叫做直角三角形 性质 (1)斜边上的中线等于斜边的一半； (2)30°角所对的直角边等于斜边的一半 考点梳理 考点 4 直角三角形的性质 以题导学 6.如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点 D 为边 AC 的中点，BD＝2，则 BC 的长为( ) C 定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2 逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形 考点梳理 考点 5 勾股定理及其逆定理 以题导学 7.如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，已知 AB＝13，AD＝ 12，AC＝15，BD＝5，则 CD 的长为_____. 9 核心 等腰(边)三角形的性质与判定 1.如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD 是 BC 边上 的中线，且 BD＝BE，CD 的垂直平分线 MF 交 AC 于点 F，交 BC 于 点 M. (1)求∠ADE 的度数；(4 分) (2)求证：△ADF 是等边三角形；(4 分) (3)若 MF 的长为 2，求 AB 的长.(4 分) (1)解：在△ABC 中， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. 又∵BD＝BE， 在△ABC 中，∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝90°－75°＝15°. (2)证明：∵FM 垂直平分 DC， ∴DF＝CF. ∵∠C＝30°， ∴∠FDC＝∠C＝30°， ∴∠AFD＝∠C＋∠FDC＝60°. ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAF＝90°－∠C＝60°， ∴∠AFD＝∠DAF＝∠ADF＝60°， ∴△ADF 是等边三角形. (3)解：∵FM 垂直平分 DC， ∴∠FMC＝90°. ∵∠C＝30°，FM＝2， ∴FC＝2FM＝4. 又∵DF＝FC， ∴DF＝4.由(2)知△ADF 是等边三角形， ∴AF＝DF＝4， ∴AC＝AF＋CF＝4＋4＝8. 又∵AB＝AC， ∴AB＝8. 变式 1－1 如图，BD 是△ABC的角平分线，DE∥BC，交 AB 于 点 E. (1)求证：∠EBD＝∠EDB；(4 分) (2)当 AB＝AC 时，请判断 CD 与 ED 的大小关系，并说明理由. (6 分) (1)证明：∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD. ∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB. (2)解：CD＝ED.理由如下： ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE，∴CD＝BE. 由(1)得∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE，∴CD＝ED. 变式 1－2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， DE 是 AB 的垂直平分线，交AB，BC于点D，E，连接CD，AE.求证： (1)△ADC 是等边三角形；(4 分) (2)点 E 在线段 CD 的垂直平分线上.(6 分) (2)∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AE＝BE，DE⊥AB， ∴∠EAB＝∠B＝30°.∴∠EAC＝∠BAC－∠EAB＝30°， ∴∠BAE＝∠CAE，∴AE 平分∠BAC. ∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝EC. 由(1)得△ADC 是等边三角形，∴AD＝AC， ∴点 E 在线段 CD 的垂直平分线上. 核心 勾股定理 2.如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，网格中每 个小正方形的边长均为 1. (1)计算：AB＝______，BC＝_________，AC＝______；(3 分) (2)求证：△ABC 是直角三角形；(3 分) 证明：∵AB2＝13，BC2＝52，AC2＝65， ∴AB2＋BC2＝65＝AC2， ∴△ABC 是直角三角形. (3)求 AC 边上的高 BD.(4 分) 解：如图，作高 BD. 变式 2－1 (2023·宁夏)将一副直角三角板和一把宽度为 2 cm 的 直尺按如图所示的方式摆放：先把 45°和 60°角的顶点及它们的直角 边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿 上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于 A，B 两点，则 AB 的长是 ( ) B 变式 2－2 如图，已知等腰△ABC 中，AB＝AC，BC＝20 cm， D是边 AB 上一点，且 CD＝16 cm，BD＝12 cm. (1)求 AD 的长；(4 分) (2)求△ABC 中 BC 边上的高.(4 分) 解：(1)∵BC＝20 cm，CD＝16 cm，BD＝12 cm 易得BD2＋CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝90°. 设AD＝x cm，则AC＝AB＝(x＋12) cm. 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2， 即x2＋162＝(x＋12)2， 1.(2023·宿迁)若等腰三角形有一个内角为 110°，则这个等腰三 角形的底角是( ) C A.70° B.45° C.35° D.50° 2.(2023·金昌)如图，BD 是等边△ABC 的边 AC 上的高，以点 D 为圆心、DB的长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝(　　) A.20° B.25° C.30° D.35° C 3.(2024·镇江)如图，△ABC 的边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D， 连接 BD.若 AC＝8，CD＝5，则 BD＝______. 3 4.(2023·恩施州)《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算 经之首”.书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺， 从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文：今有门， 不知其高宽；有竿，不知其长短.横放，竿比门宽长出 4 尺；竖放，竿 比门高长出 2 尺；斜放，竿与门的对角线恰好相等.问门的高、宽和对 角线的长各是多少(如图)？答：门的高、宽和对角线的长分别是 __________尺. 8，6，10 5.如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，点 M 为边 AB 的中点， 点 E 在线段 AM 上，EF⊥AC 于点 F，连接 CM，CE.已知∠A＝50°， ∠ACE＝30°. (1)求证：CE＝CM；(4 分) (2)若 AB＝4，求线段 FC 的长.(6 分) (1)证明：∵∠ACB＝90°，点 M 为边 AB 的中点， ∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B. ∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°， ∴∠EMC＝∠MCB＋∠B＝80°. ∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A＋∠ACE＝80°， ∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM. 6.(2024·云南)已知 AF 是等腰△ABC 底边 BC 上的高，若点 F 到 直线 AB 的距离为 3，则点 F 到直线 AC 的距离为( ) C 3 A. 2 B.2 C.3 7 D. 2 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 D 8.(2024·泰安)如图，直线 l∥m，等边三角形 ABC 的两个顶点 B， C 分别落在直线 l，m 上，若∠ABE＝21°，则∠ACD 的度数是( ) A.45° B.39° C.29° D.21° B 9.(2023·大连)如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别 为(1，0)和(0，2)，连接 AB，以点 A 为圆心、AB的长为半径画弧，与 x 轴正半轴相交于点 C，则点 C 的横坐标是________. 10.(2023·烟台)如图，点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC，BC 为等腰三角形的底边，在 AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE，且 ∠A＝∠CBE.在线段 EC 上取一点 F，使 EF＝AD，连接 BF，DE. 图 1 图 2 (1)如图 1，求证：DE＝BF；(4 分) (2)如图 2，若 AD＝2，BF 的延长线恰好经过 DE 的中点 G，求 BE的长.(6 分) (1)证明 ∵△ACD，△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角 形， ∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE. ∵∠A＝∠CBE， ∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB， ∴AD∥CE， ∴∠ADC＝∠DCE， ∴∠DCE＝∠CEB. ∵EF＝AD，CE＝BE， ∴△DCE≌△FEB(SAS)，∴DE＝BF. (2)解：∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，∠A＝∠CBE， ∴∠DCA＝∠CBE，∴∠A＝∠ECB，∴DC∥BE. 如图，作 GH∥CD，交 CE 于点 H. ∵DG＝EG，GH∥CD，∴CH＝EH. $$