2025年中考数学基础过关课件：整式与因式分解

整式与因式分解 考点梳理 考点 1 代数式求值 (1)直接代入法 把已知字母的值代入代数式，并按照原来的运算顺序计算求值. (2)间接代入法 ①观察已知条件和所求代数式的关系； ②将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系； ③把已知代数式看作一个整体代入所求代数式中求值. 以题导学 ) C 1.当 x＝－1 时，则代数式 x＋4 的值为( B.－3 A.5 D.－5 C.3 2.(2024·甘孜州)若 x2＋2x＝3，则 2x2＋4x－5＝______. 1 类别 整式 单项式 多项式 概念 由数或字母的积组成的式子 几个单项式的和 系数 数字因数 — 次数 所有字母的指数和 次数最高项的次数 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 考点梳理 考点 2 整式的有关概念 以题导学 3.下列说法错误的是( ) D A.代数式 m＋5，ab，－3 都是整式 B.单项式－ab 的系数是－1，次数是 2 C.多项式 3x－π的项是 3x，－π D.多项式 5x2y－2xy＋4x 是二次三项式 4.(2024·内江)下列单项式中，ab3 的同类项是(　　) A A.3ab3 B.2a2b3 C.－a2b2 D.a3b 运算 运算法则 字母表述 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 am·an＝am＋n 同底数幂的除法 底数不变，指数相减 am÷an＝am－n(a≠0，m>n) 幂的乘方 底数不变，指数相乘 (am)n＝amn 积的乘方 各因式乘方的积 (ab)n＝anbn 考点梳理 考点 3 整数指数幂的性质(m，n 是正整数) 以题导学 ) D 5.(2024·滨州)下列运算正确的是( A.(n3)3＝n6 B.(－2a)2＝－4a2 C.x8÷x2＝x4 D.m2·m＝m3 运算类型 内容 单项式乘单项式 系数与系数相乘，同底数的幂相乘 单项式乘多项式 m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc 多项式乘多项式 (m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb 乘法 公式 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 单项式除以单项式 系数与系数相除，同底数的幂相除 多项式除以单项式 (a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m 考点梳理 考点 4 整式的乘除法 以题导学 C 6.下列运算正确的是(　　) A.a8÷a4＝a2　　　　　 B.4a5－3a5＝1 C.a3·a4＝a7 D.(a2)4＝a6 7.下列运算正确的是( ) D A.2(m＋n)＝2m＋n B.(m＋2)(m－2)＝m2－2 C.(m－2n)2＝m2－4n2 D.(m＋n)(2m＋n)＝2m2＋3mn＋n2 方法 内容 提公因式法 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c) 公式法 平方差公式 a2－b2＝(a＋b)(a－b) 完全平方公式 a2±2ab＋b2＝(a±b)2 十字相乘法(知识拓展) x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q) 步骤 一提：提公因式；二套：套公式；三查：检查分解是否彻底 考点梳理 考点 5 因式分解 以题导学 ) C 8.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是( A.x2－x－1＝x(x－1)－1 B.x2－1＝(x－1)2 C.x2－x－6＝(x－3)(x＋2) D.x(x－1)＝x2－x 9.因式分解： x(x＋1) (x＋1)(x－1) a(b＋1)2 (1)(2024·福建)x2＋x＝_______________. (2)(2023·广东)x2－1＝________________. (3)(2024·内蒙古)a＋2ab＋ab2＝__________. 核心 运用因式分解和乘法公式求代数式的值 1.已知 a＋b＝－1，ab＝－6，求下列各式的值： (1)a2b＋ab2；(2 分) (2)2a－ab＋2b；(2 分) (3)a2＋b2.(2 分) 解：(1)原式＝ab(a＋b)＝－6×(－1)＝6. (2)原式＝2(a＋b)－ab＝－2＋6＝4. (3)原式＝(a＋b)2－2ab＝(－1)2－2×(－6)＝1＋12＝13. 变式 1－1 (2024·广西)如果 a＋b＝3，ab＝1，那么 a3b＋2a2b2+ ab3 的值为( ) D A.0 B.1 C.4 D.9 变式 1－2 (2023·赤峰)已知 2a2－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋ (2a－1)2的值是( ) D 11 A.6 B.－5 C.－3 D.4 变式 1－3 (2024·广州)若 a2－2a－5＝0，则 2a2－4a＋1＝______. 核心 整式的化简求值 2.先化简，再求值： (1)(2a＋b)2－(3b＋2a)(2a－3b)，其中 a＝2，b＝－1；(3 分) 解：(1)原式＝4a2＋4ab＋b2－(4a2－9b2) ＝4a2＋4ab＋b2－4a2＋9b2 ＝4ab＋10b2. 当 a＝2，b＝－1 时， 原式＝4×2×(－1)＋10×(－1)2＝－8＋10＝2. 核心 整式的化简求值 2.先化简，再求值： (2)(m－3)2－(1－m)(m＋1)－2(m＋1)，其中 m2－4m＝3.(3 分) 解： (2)原式＝m2－6m＋9－(1－m2)－(2m＋2) ＝m2－6m＋9－1＋m2－2m－2 ＝2m2－8m＋6. 当 m2－4m＝3 时， 原式＝2(m2－4m)＋6＝2×3＋6＝12. 变式 2－1 (2024·南充)先化简，再求值：(x＋2)2－(x3＋3x)÷x， 其中 x＝－2.(6 分) 解：原式＝(x2＋4x＋4)－(x2＋3) ＝x2＋4x＋4－x2－3＝4x＋1. 当 x＝－2 时， 原式＝4×(－2)＋1＝－8＋1＝－7. 变式 2－2 (2024·赤峰)已知 a2－a－3＝0，求代数式(a－2)2＋ (a－1)(a＋3)的值.(6 分) 解：原式＝a2－4a＋4＋a2＋3a－a－3 ＝2a2－2a＋1， ∵a2－a－3＝0， ∴a2－a＝3， ∴原式＝2(a2－a)＋1＝2×3＋1＝6＋1＝7. 核心 用代数式表示数字或图形的规律 3.【观察思考】 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： (1)第 n 个图案中“◎”的个数为______；(2 分) 3n 数可表示为__________；(3 分) n(n＋1) 【规律应用】 (3)结合图案中“ ”的排列方式及上述规律，求正整数 n，使得连 续的正整数之和 1＋2＋3＋…＋n 等于第 n 个图案中“◎”的个数的 2 倍.(3 分) 解：由题意得 2 ＝2×3n， ∴正整数 n 为 11. 解得 n＝11 或 n＝0(不符合题意，舍去)， 变式 3－1 (2024·云南)按一定规律排列的代数式： 2x，3x2，4x3， 5x4，6x5，…，第n个代数式是(　　) D A.2xn 　　 B.(n－1)xn 　　 C.nxn+1 　　 D.(n＋1)xn 变式 3－2 (2022·广州中考改编)如图，用若干根相同的小木棒 拼成图形，拼第 1 个图形需要 6 根小木棒，拼第 2 个图形需要 14 根小 木棒，拼第 3 个图形需要 22 根小木棒，……，若按照这样的方法拼成 的第 n 个图形需要 2 022 根小木棒，则 n 的值为( ) B A.252 B.253 C.336 D.337 ) C 1.(2024·广安)下列对代数式－3x 的意义表述正确的是( A.－3 与 x 的和 B.－3 与 x 的差 C.－3 与 x 的积 D.－3 与 x 的商 2.(2024·云南)分解因式：a3－9a＝( ) A A.a(a－3)(a＋3) C.(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9) D.a2(a－9) ) D 3.(2024·成都)下列计算正确的是( A.(3x)2＝3x2 B.3x＋3y＝6xy C.(x＋y)2＝x2＋y2 D.(x＋2)(x－2)＝x2－4 4.(2023·青岛)计算：8x3y÷(2x)2＝______. 2xy 5.(2024·甘肃)先化简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b， 其中 a＝2，b＝－1.(6 分) 解：原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b ＝(4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2)÷2b ＝(4ab＋2b2)÷2b＝2a＋b， 当 a＝2，b＝－1 时， 原式＝2×2－1＝3. 6.(2023·河北)若 k 为任意整数，则(2k＋3)2－4k2 的值总能( ) A.被 2 整除 C.被 5 整除 B.被 3 整除 D.被 7 整除 B 一对数 a，b 为“相随数对”，记为(a，b).若(m，n)是“相随数对”，则 3m＋2[3m＋(2n－1)]＝( ) A.－2 B.－1 C.2 D.3 A 8.(2023·乐山)若 m，n 满足 3m－n－4＝0，则 8m ÷2n ＝______. 16 按照此规律继续摆下去，第______个“小屋子”中图形“ ”个数 是图形“ ”个数的 3 倍. 12 9.(2024·泰安)如图所示，是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成 的“小屋子”. 10.(2023·河北)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边 长如图 1 所示(a＞1).某同学分别用 6 张卡片拼出了两个矩形(不重叠、 无缝隙)，如图 2 和图 3，其面积分别为 S1，S2. 图 1 图 2 图 3 (1)请用含 a 的式子分别表示 S1，S2，当 a＝2 时，求 S1＋S2 的值； (3 分) (2)比较 S1 与 S2 的大小，并说明理由.(3 分) 解：(1)由图可知 S1＝(a＋2)(a＋1)＝a2＋3a＋2， S2＝(5a＋1)×1＝5a＋1. 当a＝2时，S1＋S2＝4＋6＋2＋10＋1＝23. (2)S1＞S2，理由： ∵S1－S2＝a2＋3a＋2－5a－1＝a2－2a＋1＝(a－1)2， 又∵a＞1，∴(a－1)2＞0，∴S1＞S2. $$