2025年中考数学基础过关课件：相似三角形

相似三角形 考点梳理 考点 1 比例线段 以题导学 1.(2023·广东)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡 ) A 献.优选法中的 0.618 法应用了( A.黄金分割数 B.平均数 C.众数 D.中位数 2.(2024·常州)书画装裱是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣 赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图，一幅书画在装 裱前的大小是 1.2 m×0.8 m.装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别 是 a m，b m，c m，d m.若装裱后 AB 与 AD 的比是 16∶10，且 a＝b， c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度.(7 分) 解：由题意，得 AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m. ∵a＝b，c＝d，c＝2a， ∴AB＝(1.2＋c＋d)m＝(1.2＋4a)m， AD＝(0.8＋a＋b)m＝(0.8＋2a)m. ∵AB 与 AD 的比是 16∶10， ∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10， ∴a＝0.1， ∴b＝0.1，c＝d＝0.2. 答：上、下、左、右边衬的宽度分别是 0.1 m，0.1 m，0.2 m， 0.2 m. 考点梳理 考点 2 平行线分线段成比例定理 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比 例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 所得的对应线段成比例. 以题导学 3.(2023·北京)如图，直线 AD，BC 交于点 O，AB∥EF∥CD，若 定 义 如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个三角形叫做相 似三角形 判 定 (1)两角对应相等的两个三角形相似； (2)三边对应成比例的两个三角形相似； (3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 相似 性 质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方； (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比 考点3　相似三角形的判定与性质 考点梳理 以题导学 4.(2024·内江)已知△ABC 与△DEF 相似，且相似比为 1∶3，则 △ABC 与△DEF 的周长之比是( ) B A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 5.(2024·广州)如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.(6 分) 证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2， ∴BC＝3＋6＝9. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°. 考点梳理 考点 4 相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例. (2)相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平 方. 以题导学 6.(2024·盐城)若两个相似多边形的相似比为 1∶2，则它们的周长 之比为______. 1∶2 概念 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应 边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，相交的点叫做 位似中心 性质 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相 似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或－k 考点梳理 考点 5 图形的位似 以题导学 7.(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A′B′C′ 是位似图形，位似中心为点 O.若点 A(－3，1)的对应点为 A′(－6，2)， 则点 B(－2，4)的对应点 B′的坐标为( ) A A.(－4，8) B.(8，－4) C.(－8，4) D.(4，－8) 核心 比例线段 1.已知 a，b，c，d 为四个不为 0 的数. 【方法技巧】遇到等比问题时，通常设这些比的值为常数 k，如第 (2)题，这种设辅助数的方法很重要，在解决问题中经常会用到. A 3 核心 相似三角形的判定与性质 2.如图，在△ABC 与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD， CE，∠EAC＝∠DAB. (1)求证：△ABC∽△ADE；(3 分) (2)求证：△BAD∽△CAE；(3 分) 转，当点 E 落在线段 CD 上时，求 BD 的长.(4 分) (1)证明：∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠EAD. ∵∠ACB＝∠AED＝90°， ∴△ABC∽△ADE. (2)证明：由(1)知△ABC∽△ADE， ∵∠EAC＝∠BAD， ∴△BAD∽△CAE. 【方法总结】在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有 的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.寻找相似 三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形 对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形.判定三角形相似 的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综 合运用，都要具备应有的条件方可. 18 变式 2－2 (2024·盐城)如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上， 过点 C 作⊙O 的切线 l，过点 A 作 AD⊥l，垂足为 D，连接 AC，BC. (1)求证：△ABC∽△ACD；(4 分) (2)若 AC＝5，CD＝4，求⊙O 的半径.(6 分) (1)证明：如图，连接 OC. ∵l 是⊙O 的切线，∴OC⊥l. ∵AD⊥l，∴OC∥AD， ∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB. ∵∠D＝∠ACB＝ °，∴ ABC∽90ACD. D 2.(2023·吉林)如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，过点 D 作 2 A. 5 1 B. 2 3 C. 5 2 D. 3 A 3.(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是 1∶3，则这两个相似 三角形的面积比是( ) D A.1∶3 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶9 4.(2024·青海)如图，AC 和 BD 相交于点 O，请你添加一个条件： ___________，使得△AOB∽△COD. ∠B＝∠D 5.(2023·湘潭)在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是斜边 BC 上 的高. (1)证明：△ABD∽△CBA；(4 分) (2)若 AB＝6，BC＝10，求 BD 的长.(6 分) (1)证明：∵AD 是斜边 BC 上的高，∴∠BDA＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠BAC. 又∵∠B 为公共角， ∴△ABD∽△CBA. (2)解：由(1)知△ABD∽△CBA， 6.△ABC 的三边长分别为 2，3，4，另有一个与它相似的三角形 DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是(　　) C A.54 B.36 C.27 D.21 7.(2024·镇江)如图，小杰从灯杆 AB 的底部点 B 处沿水平直线前 进到达点 C 处，他在灯光下的影长CD＝3米，然后他转身按原路返回 到点 B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是( ) D A.4.5 米 B.4 米 C.3.5 米 D.2.5 米 8.(2023·丽水)小慧同学在学习了“比例线段”这节课后，发现学 习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受 这种特殊化的学习过程. 2 9.(2024·重庆)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA， 过点 D 作 DE∥CB，且 DE＝DC，连接 AE 交 BC 于点 F.若∠CAB＝ ∠CFA，CF＝1，则 BF＝______. 3 10.(2023·长春)如图，△ABC 和△A′B′C′是以点 O 为位似中 心的位似图形，点 A 在线段 OA′上.若 OA∶AA′＝1∶2，则△ABC 与△A′B′C′的周长之比为_________. 1∶3 11.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，AC与BD 交于点 E，PB 切⊙O 于点 B. (1)求证：∠PBA＝∠OBC；(4 分) (2)若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE.(6分) 证明：(1)∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°， ∵PB 切⊙O 于点 B，∴∠PBO＝90°， ∴∠PBO－∠ABO＝∠ABC－∠ABO，即∠PBA＝∠OBC. (2)由(1)知∠PBA＝∠OBC＝∠ACB， ∵∠PBA＝20°，∴∠OBC＝∠ACB＝20°， ∴∠AOB＝∠ACB＋∠OBC＝20°＋20°＝40°， ∵∠ACD＝40°，∴∠AOB＝∠ACD， ︵ ︵ ∵BC＝BC，∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO， ∴△OAB∽△CDE. $$