2025年中考数学基础过关课件：全等三角形

全等三角形 考点梳理 考点 1 全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边相等. (2)全等三角形的对应角相等. (3)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等. (4)全等三角形的周长相等、面积相等. 以题导学 1.(2024·成都)如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝ 45°，则∠DCE 的度数为______°. 100 判定方法 内容 边边边(SSS) 三边对应相等的两个三角形全等 边角边(SAS) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 角角边(AAS) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等 角边角(ASA) 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 直角三角形的判定(HL) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 全等 考点梳理 考点 2 全等三角形的判定 证明三角形全等的思路： 以题导学 2.(2023·牡丹江)如图，AB∥CD，AD 与 BC 交于点 O，请添加一 个条件：_____________，使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可) AB＝DC 3.(2022·广州)如图，点 D，E 在△ABC 的边 BC 上，∠B＝∠C， BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE.(6 分) 证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC. ∴△ABD≌△ACE(SAS). 性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等 判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 考点梳理 考点 3 角平分线的性质和判定 以题导学 4.(2024·青海)如图，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OB， PD＝2，则点 P 到 OA 的距离是( ) C A.4 B.3 C.2 D.1 核心 全等三角形的性质和判定 1.如图1，CA⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD，点P，Q分别为线段AB，BD上任意一点. (1)若点P为AB的中点，点Q与点D重合，试说明△ACP与△BDP全等；(3分) (2)如图2，若∠CPQ＝90°，CP＝PQ，求AC，BQ，AB之间的数量关系；(4分) (3)如图 3，将“CA⊥AB，DB⊥AB”改为“∠A＝∠B＝α(α为锐 角)”，其他条件不变.若∠CPQ＝α，CP＝PQ，判断(2)中的数量关系 是否会改变？并说明理由.(6 分) 图 1 图 2 图 3 解：(1)由题意可知 AC＝QB. ∵AC⊥AB，DB⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°. 又∵点 P 为 AB 的中点， ∴AP＝BP. ∵AC＝BD， ∴△ACP≌△BDP(SAS). (2)由(1)可知∠A＝∠B＝90°. ∵∠ACP＝180°－∠A－∠CPA＝90°－∠CPA， ∠BPQ＝180°－∠CPQ－∠CPA＝90°－∠CPA， ∴∠ACP＝∠BPQ. 又∵CP＝PQ， ∴△ACP≌△BPQ(AAS)， ∴AC＝BP，AP＝BQ， ∴AB＝AP＋BP＝BQ＋AC， 即 AC，BQ，AB 之间的数量关系为 AB＝BQ＋AC. (3)不会改变.理由如下： ∵∠ACP＝180°－∠A－∠CPA＝180°－α－∠CPA， ∠BPQ＝180°－∠CPQ－∠CPA＝180°－α－∠CPA， ∴∠ACP＝∠BPQ. 又∵CP＝PQ，∠A＝∠B， ∴△ACP≌△BPQ(AAS)， ∴AC＝BP，AP＝BQ， ∴AB＝AP＋PB＝BQ＋AC， 即(2)中的数量关系不会改变. 变式 1－1 (2024·安徽)在凸五边形 ABCDE 中，AB＝AE，BC＝ DE，点 F 是 CD 的中点.下列条件中，不能推出 AF 与 CD 一定垂直的 是( ) D A.∠ABC＝∠AED B.∠BAF＝∠EAF C.∠BCF＝∠EDF D.∠ABD＝∠AEC 变式 1－2 (2023·辽宁)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， 点 D 为 BC 的中点，过点 C 作 CE∥AB 交 AD 的延长线于点 E，若 AC＝4，CE＝5，则 CD 的长为______. 变式 1－3 (2024·镇江)如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB. (1)求证：△ABC≌△BAD；(4 分) (2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝______°.(4 分) 20 核心 角平分线的性质和判定 2.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和 △ACD的高. 求证：(1)∠DEF＝∠DFE；(4 分) (2)AD 垂直平分 EF.(4 分) 证明：(1)∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE. ∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)， ∴AE＝AF， 而 DE＝DF， ∴AD 垂直平分 EF. 变式 2－1 (2024·常州)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺 A 按图示摆放，直尺边缘的交点 P 在∠AOB 的平分线上，则(　　) A.d1 与 d2 一定相等 B.d1 与 d2 一定不相等 C.l1 与 l2 一定相等 D.l1 与 l2 一定不相等 变式 2－2 (2023·广州)如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线， DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直 线 AD 的距离为______. 变式 2－3 (2022·广东)如图，已知∠AOC＝∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：△OPD≌△OPE. (6 分) 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠ODP＝∠OEP＝90°. ∵∠AOC＝∠BOC，∴∠DOP＝∠EOP. ∴△OPD≌△OPE(AAS). 1.(2024·济南)如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°， ∠B＝40°，则∠DCE 的度数为( ) C A.40° B.60° C.80° D.100° 2.(2023·甘孜州)如图，AB 与 CD 相交于点 O，AC∥BD，只添加 一个条件，就能判定△AOC≌△BOD 的是( ) B A.∠A＝∠D B.AO＝BO C.AC＝BO D.AB＝CD 3.(2023·成都)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次 在同一条直线上.若 BC＝8，CE＝5，则 CF 的长为______. 3 4.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，AC＝6，BC＝8， CD＝_______. 3 5.(2024·长沙)如图，点 C 在线段 AD 上，AB＝AD，∠B＝∠D， BC＝DE. (1)求证：△ABC≌△ADE；(4 分) (2)若∠BAC＝60°，求∠ACE 的度数.(6 分) ∴△ABC≌△ADE(SAS). (2)解：由(1)得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠AEC＝∠ACE. ∵∠AEC＋∠ACE＝2∠ACE＝180°－∠DAE＝120°， ∴∠ACE＝60°. 6.如图，△ABC≌△DEC，点 A 和点 D 是对应顶点，点 B 和点 E 是对应顶点，过点 A 作 AF⊥CD，垂足为 F，若∠BCE＝65°，则 ∠CAF的度数为(　　) B A.30° B.25° C.35° D.65° 7.如图，∠AOE＝15°，OE 平分∠AOB，DE∥OB 交 OA 于点 D， EC⊥OB，垂足为 C.若 EC＝2，则 OD 的长为( ) C 8.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝ ∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是____ (填序号). ② 9.(2023·重庆)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC， 点 D 为 BC 上一点，连接 AD.过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，过点C作CF ⊥AD 交 AD 的延长线于点 F.若 BE＝4，CF＝1，则 EF 的长为____. 3 10.(2024·南充)如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点 B 作 BE∥AC 交 AD 的延长线于点 E. (1)求证：△BDE≌△CDA；(4 分) (2)若 AD⊥BC，求证：BA＝BE.(6 分) (1)证明：∵点 D 为 BC 的中点， ∴BD＝CD. ∵BE∥AC， ∴∠EBD＝∠C，∠E＝∠CAD. 在△BDE 和△CDA 中， ∴△BDE≌△CDA(AAS). (2)证明：∵点 D 为 BC 的中点，AD⊥BC， ∴直线 AD 为线段 BC 的垂直平分线， ∴BA＝CA. 由(1)可知△BDE≌△CDA， ∴BE＝CA， ∴BA＝BE. $$