定点问题、定值问题、定直线问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点一 定点问题 1．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； (3)直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，. 当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，此时面积为， ∴，∴椭圆C的方程为． （2）设，则，即， ∴． （3）由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为，，． 由得， ， ∴，， ∴，， ∵，∴，即， ∴， 解得或（舍）． 当时，满足，此时MN的方程为，故直线MN过定点． 2．（24-25高三上·湖北武汉·期末）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4. (1)求的方程； (2)设过的另一直线交于两点，且点在直线上. （i）证明：直线过定点； （ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或. 【详解】（1）设直线方程：，代入中，消去得. 设，则. 当时，有的最小值为. ，故的方程为. （2）（i）设直线方程：. 由消去得.① 又由（1）知，同理. 直线的斜率. 直线方程为，化简得② 由①②得，即. 由得，即证明直线过定点. （ii）由（i）知， 直线方程为：，点到直线的距离， ，解得或6.所以点坐标为，或. 且，或. 直线方程为或. 3．（24-25高三上·北京房山·期末）已知椭圆过点，离心率为，一条直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线为，为直线与直线的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是，定点坐标为 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率为， 则，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）设点、，则， 当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 联立可得， 则，可得， 当时，由韦达定理可得，整理可得， 可得， 此时，，则， 所以，直线的方程为，即， 此时，直线恒过定点； 当直线轴时，则线段的方程为，此时点、关于轴对称， 则直线为轴，此时，直线过点； 当直线轴时，此时点、关于轴对称，则，不合乎题意. 综上所述，直线恒过定点. 4．（24-25高三上·天津和平·期末）设椭圆C的左、右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点. 【答案】(1) (2)答案见解析,定点 【详解】（1）由题意可知，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，,设， 设直线的方程为且， 直线的方程为且， 则直线与轴的交点为， 直线的方程为， 则直线与直线的交点为， 将代入方程，得， 则点的横坐标为，点的纵坐标为， 将点的坐标代入直线的方程， 整理得， 因为， 所以，即， 由点坐标可得直线的方程为： ， 即，则直线过定点. 考点二 定值问题 1．（24-25高三上·辽宁·期末）定义：如果两个椭圆的长轴长不相等，但离心率相等，则称两椭圆相似.已知：与椭圆相似. (1)求与的关系； (2)若过原点的直线分别被和截得的弦长为和，证明：； (3)若，，，两点在上，为上的一个动点，且线段，的中点都在上，判断的面积是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是，理由见解析 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 因为的方程可化为，且， 所以，， 因为， 所以，又， 则离心率， 当时，， 由题意得， 整理得. （2）设，与的一个交点为， 由，得， 所以， 根据椭圆的对称性，得， 同理， 由（1）可知， 所以， 即， 当为轴时，上式显然成立. （3）的面积为定值2，理由如下： 因为，，由（1）知，，， 所以的方程为，的方程为， 即，， 设，，线段的中点在椭圆上， 故有， 整理得， 将，代入上式，得， 同理可得， 所以点，满足方程， 故直线的方程为， 由，得， 因为，所以，则， 所以. 又点到直线的距离， 所以. 2．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点. ①设内切圆的圆心为，求的最大值； ②设，证明：为定值. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意得：解得， ∴椭圆C的标准方程是． （2）①因为I为的内切圆圆心，则， 显然是锐角，当且仅当最大时，最大， 即须使最大，又，则须使最小， 在椭圆中，，， 在中，由余弦定理， ． 当且仅当时取等号，即当时， 为正三角形时，取得最大值，取最大值， 此时的最大值为； ②由（1）知，由条件可知的斜率存在且不为0， 设l的方程为，则，令可得． 联立方程得，， 设，，则，， 由可得， 则有，解得，同理． ∴ ． 故为定值． 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，得解得 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1），知，延长交椭圆于点，由及对称性，知，所以. 当直线的斜率不存在时，易得，则. 当直线的斜率存在且不为零时，设其方程为， 由得，， 设，，根据根与系数的关系，得， 所以 ，， 所以. 综上，为定值. 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动圆与椭圆相交于、、、四个不同的点，直线、相交于点，记直线、的斜率分别为、． ①比较与的大小（不要给出证明）； ②试问是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是，定值 【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. （2）①由题意可知，点在圆外， 因为、、、四点共圆，则，， 所以，，则，故； ②设点、，直线的方程为， 由题意可知，直线、均与椭圆相交， 联立，可得， 可得， 所以，、为方程的两根， 令，二次方程可化为， 则、为关于的二次方程的两根， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得， 同理可得， 因为，则， 即，整理可得，即， 显然，故. 考点三 定直线问题 1．（24-25高三上·河北保定·期末）已知椭圆过点，其离心率，点为椭圆的上顶点，过点的两条直线与椭圆分别交于两点，与直线分别交于两点，的重心为点. (1)求椭圆的方程； (2)求弦长的最大值； (3)已知点，若，其中且，证明：当在变化时，重心在一条定直线上，并求出这条定直线方程. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【详解】（1）由得，又， 由在椭圆上，得， 椭圆的方程为. （2）设， ，其中， 当时，取得最大值，最大值为. （3）由知三点共线，且直线斜率存在且不为0，所以设直线方程为， ， 恒成立， ， 直线，令得，同理， ， ， ， 点在定直线上. 2．（2024·吉林长春·一模）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，直线方程为：， 令，则，故， 于是，解得（负值舍去）， 故抛物线方程为. （2）设的方程为，，， 由题意得，，即， 可得，通分可得， 联立和抛物线，得到，， 由，代入可得， 整理可得，解得或， 故，满足题意.    （3）由题意，， 则直线，直线， 两直线方程相减得到：， 由（2）知，，于是， 即， 即， 即， 于是， 解得， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线上    3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为、，一个焦点为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得椭圆的半焦距， ，所以， 所以， 所以椭圆C的方程为； （2）不妨设，，l的方程为， 联立，得， 恒成立， 设，，则， 故，， 又的方程为，的方程为， 联立两直线方程得， 即， 因为，所以， 整理得， 故点Q在定直线上. 4．（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点． ①求证：点在定直线上； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②． 【详解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标， 得：，解得，所以椭圆的标准方程为． （2）如图： ①设直线的方程为，并记点，，， 由消去，得， 易知 则，． 由条件，，，直线的方程为， 直线的方程为， 联立解得， 所以点在定直线上． ② 而，所以， 则， 令，则，所以， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点一 定点问题 1．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． (1)求椭圆C的方程； (2)记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； (3)直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 2．（24-25高三上·湖北武汉·期末）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4. (1)求的方程； (2)设过的另一直线交于两点，且点在直线上. （i）证明：直线过定点； （ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程. 3．（24-25高三上·北京房山·期末）已知椭圆过点，离心率为，一条直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线为，为直线与直线的交点. (1)求椭圆的方程； (2)若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由. 4．（24-25高三上·天津和平·期末）设椭圆C的左、右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点. 考点二 定值问题 1．（24-25高三上·辽宁·期末）定义：如果两个椭圆的长轴长不相等，但离心率相等，则称两椭圆相似.已知：与椭圆相似. (1)求与的关系； (2)若过原点的直线分别被和截得的弦长为和，证明：； (3)若，，，两点在上，为上的一个动点，且线段，的中点都在上，判断的面积是否为定值，并说明理由. 2．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点. ①设内切圆的圆心为，求的最大值； ②设，证明：为定值. 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12. (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：为定值. 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动圆与椭圆相交于、、、四个不同的点，直线、相交于点，记直线、的斜率分别为、． ①比较与的大小（不要给出证明）； ②试问是否为定值，如果为定值，求出定值；如果不为定值，请说明理由． 考点三 定直线问题 1．（24-25高三上·河北保定·期末）已知椭圆过点，其离心率，点为椭圆的上顶点，过点的两条直线与椭圆分别交于两点，与直线分别交于两点，的重心为点. (1)求椭圆的方程； (2)求弦长的最大值； (3)已知点，若，其中且，证明：当在变化时，重心在一条定直线上，并求出这条定直线方程. 2．（2024·吉林长春·一模）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A，B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1. (1)求抛物线的方程； (2)试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 3．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为、，一个焦点为，P是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知的面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长轴的两个端点分别为，，与相交于点Q，求证：点Q在某条定直线上. 4．（24-25高三上·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点． ①求证：点在定直线上； ②求面积的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$