基本不等式常考题型讲义-2025届高三数学一轮复习

基本不等式常考题型 题型一：和定求积的最大值 【例1】设，，且，则的最大值． 解：由，可得，． 由基本不等式可得：， 因为，所以， 即．当且仅当即，时，等号成立． 故xy的最大值为． 【例2】若，，且，则的最大值为 . 解：因为，，且， 即， 所以，， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 【例3】（1）已知，则的最大值为 . （2）当时，则函数的最大值为 . （3）函数的最小值为 . 解：（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立； （2），则，， ， 当且仅当，即时等号成立； （3）， ，， （当且仅当，即时取等号）， . 故答案为：①；②；③. 【例4】已知实数，，.则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 解：对于A，，则， ， 当且仅当，即时等号成立，A正确； 对于B，，即，则， 当且仅当时等号成立，B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立， ， 当且仅当时等号成立，C不正确， 对于D，. 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，D正确. 故选：ABD. 【例5】已知，.则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 解：由已知可得，，，所以. 对于A项，因为，所以， 所以，故A正确； 对于B项，由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立. 因为，所以，所以，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时，等号成立. 因为，所以，所以，，故C项错误； 对于D项，因为， 所以. 令，根据二次函数的性质可知，在上单调递增. 又，所以有，则，所以. 又，所以. 所以，，所以. 因为，所以有，整理可得，，故D项正确. 故选：ABD. 题型二：积定求和的最小值 【例6】已知且，则下列不等式恒成立的是（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 解：A，， ，当且仅当时取等号， 则的最小值为2，故A正确； B，， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，故B错误； C，由，可得，当且仅当时等号成立， ，则的最小值为2， 当且仅当时等号成立，故C正确； D，，当且仅当取等号， 的最大值为2，故D不正确． 故选：AC 【例7】已知，且，则的最小值为 解：， 当且仅当即时等号成立，故最小值为6. 故答案为：. 【例8】已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 解：由，得， 即，所以，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4. 故选：D. 【例9】已知a，b都是正数，则的最小值是 ． 解：因为均为正实数，故设，，则 联立解得，， ， 当且仅当，即，即，即时取等号， 故答案为：2. 【例10】给出下列四个命题： （1）的最小值为2；                  （2）的最大值为2−4； （3）的最小值为2；              （4）的最小值为4. 其中真命题的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 解：（1），当且仅当，即时取等号，故（1）正确； （2）成立的前提为，故（2）不正确； （3）同（2），及缺乏大于0的前提，故（3）不正确； （4）取得等号的条件为，即，这与相矛盾，故（4）不正确. 故选C. 题型三：“1”的代换 【例11】已知，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 解：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为32. 故选：C. 【例12】已知为正实数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 解：因为，所以，而为正实数， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为8. 故选：C 【例13】已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 解：实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 【例14】已知，则的最小值为 . 解：因为， 所以， 当时等号成立， 则的最小值为， 故答案为： 【例15】已知实数，满足，且，则的最小值为 . 解：因为，所以，；因为，所以. 由，得，所以. 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为：1. 题型四：消元思想 【例16】已知，，均为正实数，，则的取值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：，，均为正实数，由得：，即， 所以， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：ABC 【例17】已知，，且，则当 时，的最小值为 ． 解：，，，， ， 当且仅当时取等号，结合，解得，等号成立． 故答案为：1；4. 【例18】已知是公比为的等比数列，是的前项和，且，若正数满足：，则的最小值为． A．2 B． C． D． 解：若 ，那么 不成立，所以 ， ，解得 ，即 ， ， 代入， ，等号成立的条件为 ，即 ，所以 的最小值为2，故选A. 【例19】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 解：,，则有， ， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故选：B. 题型四：齐次化思想 【例20】已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解：因为，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 【例21】已知x，y为正实数，且，则的最小值为 . 解：∵，是正实数，且， ∴，当且仅当，时，等号成立. 故答案为：. 题型五：统一结构化思想 【例22】若满足，则的最大值是 . 解：由均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，所以，故的最大值是. 故答案为： 【例23】已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 解：， 化简得：，解得，当且仅当，即 时取等号，故的最大值为. 故选：A. 【例24】已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：因为，由，可得， 又， 可得， 化为， 解得， 则的取值范围是. 故选：A. 【例25】设，，若，则的最小值为 ． 解：因为，，， 则， 当且仅当且，即，或，时取等号． 故答案为：． 【例26】已知，且，则的最小值是（    ） A．11 B．9 C．8 D．6 解：，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立. 故选：A 题型六：多次使用基本不等式 【例27】设，那么 的最小值是 . 解：因，则，当且仅当，即时取“=”， 因此，，当且仅当，即时取“=”， 所以，当时，取最小值16. 故答案为：16 题型七：柯西不等式 【例28】设，且，则 的最大值是( ). A． B． C． D． 解：由柯西不等式得， 所以， 即 ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 故选：B. 【例29】若实数，则的最小值为（   ） A．1 B．6 C．11 D． 解： ， ，当且仅当时等号成立， 的最小值； 故选：D. 【例30】已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 解：，， ， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为. 故选：D. 题型八：权方和不等式 【例31】函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 解：由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 【例32】函数的最小值为 ． 解：因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 基本不等式常考题型 题型一：和定求积的最大值 【例1】设，，且，则的最大值． 【例2】若，，且，则的最大值为 . 【例3】（1）已知，则的最大值为 . （2）当时，则函数的最大值为 . （3）函数的最小值为 . 【例4】已知实数，，.则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例5】已知，.则下列选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 题型二：积定求和的最小值 【例6】已知且，则下列不等式恒成立的是（   ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【例7】已知，且，则的最小值为 【例8】已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【例9】已知a，b都是正数，则的最小值是 ． 【例10】给出下列四个命题： （1）的最小值为2；                  （2）的最大值为2−4； （3）的最小值为2；              （4）的最小值为4. 其中真命题的个数是 A．3 B．2 C．1 D．0 题型三：“1”的代换 【例11】已知，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【例12】已知为正实数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例13】已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【例14】已知，则的最小值为 . 【例15】已知实数，满足，且，则的最小值为 . 题型四：消元思想 【例16】已知，，均为正实数，，则的取值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例17】已知，，且，则当 时，的最小值为 ． 【例18】已知是公比为的等比数列，是的前项和，且，若正数满足：，则的最小值为． A．2 B． C． D． 【例19】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 题型四：齐次化思想 【例20】已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例21】已知x，y为正实数，且，则的最小值为 . 题型五：统一结构化思想 【例22】若满足，则的最大值是 . 【例23】已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【例24】已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例25】设，，若，则的最小值为 ． 【例26】已知，且，则的最小值是（    ） A．11 B．9 C．8 D．6 题型六：多次使用基本不等式 【例27】设，那么 的最小值是 . 题型七：柯西不等式 【例28】设，且，则 的最大值是( ). A． B． C． D． 【例29】若实数，则的最小值为（   ） A．1 B．6 C．11 D． 【例30】已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 题型八：权方和不等式 【例31】函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【例32】函数的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$