专题3 相似三角形的性质与判定-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学习题课件(人教版)河北专版

第二十七章　相　似 专题3　相似三角形的性质与判定 1 类型1　 相似三角形与特殊四边形 针对训练 1. 如图，点E是正方形ABCD中CD边上的中点，对角线交点为O，连接BE交AC于点F，则OF∶CF的值为 （　　） A. 2 B. C. 3 D. B 2 3 4 1 5 6 7 8 2 2. （保定顺平期末）在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处. （1）求证：△ABF∽△FCE； 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°. ∵△AEF是由△AED翻折得到，∴∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFB+∠EFC=90°. ∵∠AFB+∠BAF=90°，∴∠FAB=∠EFC， ∴△ABF∽△FCE. 2 3 4 1 5 6 7 8 3 （2）若AB=4，AD=8，求CE的长. 解：由题意可知，AF=AD=BC=8. 在Rt△ABF中，BF===4]，∴FC=BC-BF=8-4=4. ∵△ABF∽△FCE，∴=，即=，解得CE=. 即CE的长为. 2 3 4 1 5 6 7 8 4 类型2　 相似三角形与圆 针对训练 3. 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若⊙O的半径为3，BC=5，则PA的长为________. 2 3 4 1 5 6 7 8 5 4. 如图，延长弦DB、弦EC，交于圆外一点A，连接CD，BE. （1）证明：△ACD∽△ABE； 解：证明：∵∠D和∠E是所对的圆周角，∴∠D=∠E. 又∠A=∠A，∴△ACD∽△ABE. （2）若AB=5，AC=6，AD=12，求AE. 解：∵△ACD∽△ABE，∴=. ∵AB=5，AC=6，AD=12，AE===10. 故AE的长为10. 2 3 4 1 5 6 7 8 6 类型3　 相似三角形与函数 针对训练 5. （唐山路北期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y=相交于点C，且OC=2BC，则k的值为 （　　） A. -3 B. 3 C. − D. A 2 3 4 1 5 6 7 8 7 6. 【新趋势·探究性问题】如图，已知直线y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C（不与A重合），使B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为_____________________________. （-1，0）或（1，0）或（-4，0） 2 3 4 1 5 6 7 8 8 类型4　 相似三角形与动点问题 针对训练 7. 如图，在平面直角坐标系中，点B（12，10），过点B作x轴的 垂线，垂足为A；作y轴的垂线，垂足为C. 点D从O出发，沿y轴正 方向以每秒1个单位长度的速度运动；点E从O出发，沿x轴正方向 以每秒3个单位长度的速度运动；点F从B出发，沿BA方向以每秒 2个单位长度的速度运动. 当E点运动到点A时，三点随之停止运动. 设运动时间为t s. （1）用含t的代数式分别表示点E的坐标为________，点F的坐标为___________. （12，10-2t） （3t，0）　 2 3 4 1 5 6 7 8 9 （2）当t为何值时，△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似？ 解：由题意，得OE=3t，OD=t，BF=2t，AF=10-2t，AE=12-3t. ∵∠DOE=∠FAE=90°，∴分两种情况： ①当△ODE∽△AEF时，需=，即=. 解得t1=0（舍），t2=. ②当△ODE∽△AFE时，需=，即=. 解得t1=0（舍），t2=6. ∵点E运动到点A时，三点随之停止运动，∴3t≤12，解得t≤4. ∴t=6不符合题意. 综上所述，当t=时，△ODE与以点A，E，F为顶点的三角形相似. 2 3 4 1 5 6 7 8 10 8.（承德兴隆期末改编）如图1和图2，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P从点A出发沿折线AB-BC匀速移动，到达点C时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ=∠B. 2 3 4 1 5 6 7 8 11 （1）当点P在BC边上运动时，求点P到点A的最短距离； 解：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H. ∵AB=AC，AH⊥BC， ∴BH=CH=BC=4， 由勾股定理，得AH=3. 故当点P在BC上时，点P到点A的最短距离为3. 2 3 4 1 5 6 7 8 12 （2）当点P在AB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4∶5两部分时，求AP的长； 解：如题图1，∵∠APQ=∠B，∴PQ⫽BC，∴△APQ∽△ABC. ∵PQ将△ABC的面积分成上下4∶5两部分，∴==，∴=，∴AP=. （3）若点P在BC上，且CQ=3，求BP的长. 解：∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ，∠APQ=∠B，∴∠BAP=∠CPQ. 又∠B=∠C，∴△ABP∽△PCQ，∴=. 设BP=x，则=，解得x1=3，x2=5. 故BP的长为3或5. 2 3 4 1 5 6 7 8 13 14 $$