27.2.1 第3课时 两角分别相等的判定方法-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学习题课件(人教版)河北专版

27.2.1　相似三角形的判定 第3课时　两角分别相等的判定方法 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　两角分别相等的两个三角形相似 1.（教材P42第2（2）题改编）如图，在纸片△ABC中，∠A=76°， ∠B=34°. 将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形 与原三角形相似的是 （　　） A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 3 2.（教材P36第1题改编）下列各选项中，说法正确的是 （　　） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 各有一个角是45°的等腰三角形都相似 C. 所有的直角三角形都相似 D. 所有的等腰直角三角形都相似 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 4 3. 【新趋势·过程性学习】李老师在写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，证明步骤正确的顺序是 （　　） 已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE⫽BC，DF⫽AC，求证：△ADE∽△DBF. 证明：①∵DF⫽AC；②∵DE⫽BC； ③∴∠A=∠BDF；④∴∠ADE=∠B. ∴△ADE∽△DBF. A. ③②④① B. ②④①③ C. ③①④② D. ②③④① B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 5 4. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且∠ADE=∠ACB. 若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是________. 3 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 6 5.（湖北襄阳襄城期末）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC. 证明：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD. ∴∠ABD=∠BAC=40°. ∵∠ABC=80°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°. ∴∠DBC=∠BAC. 又∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 7 6.（教材P36第2题改编）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形共有 （　　） A. 4对 B. 3对 C. 2对 D. 1对 B 知识点2　直角三角形相似的判定 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 8 7.（上海静安二模）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=3，BC=4，DF=6，DE=8，这两个三角形_________（填“相似”或“不相似”）. 不相似 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 9 8.【原创题·新考法】如图，在矩形ABCD中，P是CD边上的一点，连接AP，BP. （1）当与BP有关的比例式满足__________________的条件时，Rt△APD∽Rt△PBC； （2）若AD=2，AB=5，则BP的长为___________时，Rt△APD∽Rt△PBC. =（答案不唯一） 或2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 10 9.（邢台信都阶段练习）如图是老师画出的△ABC，已标出三边的长度. 下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是 （　　） C 练提升 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 11 10. （山东威海文登期末）如图，∠1=∠2，DE⫽AC，则图中的相似三角形有 （　　） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 12 11. （内蒙古包头中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N. 若AC=2，则MN的长为________. 　 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 13 12. 如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B，点P是边AC上 一点（不与A，C重合），过P点的一条直线与△ABC的边相交， 所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条. 4 【解析】新构成的三角形只需与原三角形有两个角相等就可以得到两个三角形相似. 如图，过点P作AB的平行线，或作BC的平行线，或作AB的垂线，或作∠CPD=∠B，共4条直线. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 14 13.【新趋势·动点探究题】如图，在正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为________. 4 【解析】∵四边形ABCD是正方形，PQ⊥EP，∴∠B=∠C=90°，∠EPQ=90°，∴∠BEP+∠BPE=90°，∠CPQ+∠BPE=90°， ∴∠BEP=∠CPQ，∴△BPE∽△CQP，∴=. 设BP=x，CQ=y，则CP=12-x，∴=， 化简得y=−（x2-12x），配方得y=−（x-6）2+4， ∴当x=6时，y有最大值为4，即CQ的最大值为4. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 15 14.（上海中考）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE2=AQ·AB. 求证： （1）∠CAE=∠BAF； 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵CF=BE，∴CF-EF=BE-EF，即CE=BF. ∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE=∠BAF. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）CF·FQ=AF·BQ. 证明：∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF. ∵AE2=AQ·AB，AC=AB，∴=， 又∠CAE=∠BAF， ∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF. ∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE. ∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ， ∴=，即CF·FQ=AF·BQ. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 17 15.【新趋势·探究性问题】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB>AE）. （1）求证：△AEF∽△DCE. 练素养 解：证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠CDE=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°. ∵EF⊥CE，∴∠CEF=90°，∴∠AEF+∠CED=90°. ∴∠AFE=∠CED. ∴△AEF∽△DCE. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 18 （2）设=k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？ 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 解：存在. 当k= 时，△AEF与△BFC相似. 求解如下：假设△AEF与△BFC相似，有两种情况： ①若∠AFE=∠BCF，则∠AFE与∠BFC互余，∴∠EFC=90°，因此此种情况不成立； ②若∠AFE=∠BFC，则△AEF∽△BCF. 设BC=a，则AB=ka，AE=BC=a. ∵△AEF∽△BCF，∴==，∴AF=ka，BF= ka. ∵△AEF∽△DCE，∴=，即=，解得k= . ∴存在k=，使得△AEF与△BFC相似. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 19 20 $$