17.1 第1课时 勾股定理-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学习题课件(人教版)河北专版

第十七章　勾股定理 17.1　勾股定理 第1课时　勾股定理 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1 勾股定理的认识及证明 1. 已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若∠C=90°，则△ABC中： （1）三个角之间的等量关系为___________________________________； （2）三条边之间的等量关系为_____________. ∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180° a2+b2=c2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 3 2. 将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上. （1）用不同的方法表示梯形ABCD的面积； 解：（1）方法一：∵∠A=∠D=90°，∴S梯形ABCD= = . 方法二：∵Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE=∠DEC. ∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°， ∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形. ∴S梯形ABCD=S△ABE+S△BEC+S△DEC= + + =ab+ . 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 4 （2）利用（1）中的结论证明勾股定理. 解：（2）由（1）得 =ab+ ， ∴ = ， ∴a2+b2=c2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 5 3. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=4，则BC的长为 （　　） A. 5 B. C. 5或 D. 5或 【变式】　（易错题）若一直角三角形的两边长分别为8和6， 则第三边的长为 （　　） A. 10 B. 28 C. 10或28 D. 10或2 反思：本题易错点是_______________________________________________. 知识点2 利用勾股定理进行计算 B D 易因忽略对直角边、斜边的讨论，导致漏解. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 6 4.（廊坊安次期末）如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1=8 cm2，S2=17 cm2，则斜边AB的长是 （　　） A. 3 cm B. 6 cm C. 4 cm D. 5 cm D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 7 5.（邯郸大名期中）在Rt△ABC中，斜边BC=4，则AB2+AC2+BC2的值为 （　　） A. 32 B. 28 C. 8 D. 4 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 8 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC=________，AC=________. 2 2 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 9 7.【教材P28T7改编】在△ABC中，∠C=90°，若AC=，AB=，则∠B=________. 45° 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 10 8. 如图，∠B=∠ACD=90°，AD=26，CD=24，BC=6，则AB的长为________. 8 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 11 9.【教材P24T1改编】已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. （1）如果a=7，b=24，求c； （2）如果a∶c=1∶2，b=，求a，c. 解：（1）由勾股定理，得c===25. （2）∵a∶c=1∶2，∴设a=x，则c=2x. 由勾股定理，得x²+（）²=（2x）²，解得x=（负值舍去）， ∴a=，c=2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 12 练提升 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，那么AB边上的高CD为 （　　） A. B. C. D. B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 13 11. 用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短边长为1，则图中阴影部分的面积为 （　　） A. 1 B. 3 C. 4-2 D. 4+2 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 14 12.（邢台沙河期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为S1，S2，S3，S4，下列结论正确的是 （　　） A. S3+S4=4（S1+S2） B. S4-S1=S3-S2 C. S1+S4=S2+S3 D. S4-3S1=S3-3S2 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 15 13.【新趋势·过程性学习】在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 16 解：如图，作AD⊥BC，垂足为D. 设BD=x，则CD=14-x. 在Rt△ABD和Rt△ACD中，分别应用勾股定理，得 AD2=AB2-BD2=152-x2，AD2=AC2-CD2=132-（14-x）2， 故152-x2=132-（14-x）2，解得x=9. ∴AD==12. ∴S△ABC= BC·AD= ×14×12=84. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 17 练素养 14.【原创题·探究性问题】3世纪我国著名数学家赵爽用教材第23页的方法证明了勾股定理. （1）王明阅读教材后发现“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的大正方形（如图1），可以用“等面积法”证明勾股定理：设直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，则大正方形的面积可以表示为c2或4×ab+_______，进而可得a2+b2=c2. （b-a）2　 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 18 （2）爱动脑筋的王明又把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能用“等面积法”证明勾股定理，请你帮助他完成证明过程. 解：（2）图2中大正方形的面积可表示为（a+b）2或4×ab+c2， ∴（a+b）2=4×ab+c2，整理得b2+a2+2ab=2ab+c2， ∴a2+b2=c2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 19 【方法指导】在如图所示的“勾股树”中，由勾股定理可得a2+b2=c2，又S1=a2，S2=b2，S3=c2，由此得到面积关系S1+S2=S3. 解决“勾股树”问题的关键：建立直角三角形的边长与对应几何图形的面积之间的关系. 微专题2　异形“勾股树”的面积问题 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 20 【针对训练】 1. 如图，分别以直角三角形的三边a，b，c为边（或直径），向外作半圆、等腰直角三角形和正方形，这三个图形中，其面积满足S1+S2=S3的个数是 （　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 21 2. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为 （　　） A. 6 B. 5 C. 11 D. 16 A 【解析】如图，由题意得∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°， ∴∠ACB=∠DEC. 在△ABC和△CDE中， ∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC=DE. ∴AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc，∴Sc=Sb-Sa=11-5=6. 故选A. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 22 23 $$