精品解析：浙江省嵊州市2024-2025学年上学期期末学业调测九年级数学试卷

嵊州市2024学年第一学期期末学业成绩调测 九年级数学试卷 考生须知： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”．按规定答题，本次考试不能使用计算器． 参考公式：抛物线的顶点坐标是． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据条件设，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故选：A． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 3. 元旦游园晚会上有一个闯关活动：将个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中个白色，个黄色，个红色．任意摸出一个球，如果摸到红色小球才能过关，那么一次过关的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，直接由概率公式求解即可，熟记概率公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，一次过关的概率是， 故选：． 4. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和三角形定理，根据三角形内角和定理求出，再由相似三角形的性质可得 ，即可得出结论． 【详解】解：在中，且 ∴ 又， ∴ 即的度数是， 故选：B． 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． 由可得，由圆内接四边形对角互补可得，即可得解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ∴， 故答案为：B． 6. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，再利用解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7. 已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质．将各点代入函数解析式得出函数值比较即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ∴． 故选：D． 8. 如图，的半径为5，点C是弦上一点，若，设，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，当Ｃ与A或B重合时，最长，当直于时，最短，即可求出x的范围． 【详解】解：当Ｃ与重合时，； 当垂直于时，可得出C为的中点，连接， 在中，， 根据勾股定理得： ， 则x的范围为． 故选：A． 9. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，O三点均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，正弦的定义，解题的关键是掌握网格的特点构造直角三角形． 在边长为1的小正方形组成的网格中，的边长可以利用勾股定理求出，然后过点A作，交于点C，构造直角三角形，利用三角形面积公式求出，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：由图可知 ， ， ， 过点A作，交于点C， ， ， ， ∴在中，， 故选：A． 10. 如图，四边形内接于，是的直径，作，，，交于点G，连接，若，的半径为2，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、平行线的判定、平行四边形的判定与性质、勾股定理、正切定义等知识，证明四边形是平行四边形是解答的关键．先根据圆周角定理和垂直定义证明，，根据平行线的判定证得，，进而得到四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质得到，在中，利用勾股定理求得，然后由圆周角定理和正切定义求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于，是的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，的半径为2， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：C． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，知道“上加下减，左加右减”是解题的关键． 根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，即， 故答案为：． 12. 用抽签的办法从A，B，C三人中任选一人，选中A的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：从A，B，C三人中任选一人，共有3种等可能情况，选中A的情况只有一种，故选中A的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题时牢记定义是关键． 14. 如图，P是上一点，，的半径为3，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，连接、，连接、，根据圆周角定理得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∵的半径为3， ∴的长是：， 故答案为：． 15. 如图，在中，是边上的中线，E是上一点，过点E作交于点F，连结交于点O，若，的面积为2，则的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，先求出，再证明得，由是边上的中线得,从而可得，最后证明，利用相似三角形的性质可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵由是边上的中线， ∴为边中点， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18． 16. 在平面直角坐标系中，我们称为“m蛋型”抛物线，如：称“2蛋型”抛物线，如图所示，点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上，其横坐标为1，现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转度，A旋转后的对应点为，过作x轴的平行线，交旋转后的“4蛋型”抛物线于，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象、勾股定理、旋转及全等三角形，灵活运用以上知识点是解题的关键． 根据题意画出函数图象和旋转后的图象，由旋转的性质构造全等三角形，将转化成全等三角形的对应线段进行求值，最后利用及勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：由题意知，“4蛋型”抛物线的解析式为，，如图： 设旋转前在原图象的处，连接、、、、，与交于点， 由旋转的性质知，≌，， ∴，， 过点作轴，过点作轴， 则，且， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴ 解得：， 由图知， ∴， ∴，，， ， ∴． 故答案为： ． 三、解答题（本大题有8小题，第17～19小题每小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题10分，第24小题12分，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. （1）计算：． （2）已知二次函数的顶点为，且经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，待定系数法求二次函数解析式． （1）先代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）根据顶点先设顶点式，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：因为顶点是，设， 把代入得： 解得：． 所以 18. 有一个转盘如图，让转盘自由转动． （1）若转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率． （2）若转盘转动两次，求一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率（用树状图或列表法表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键． （1）根据概率的求法，用白色区域的圆心角度数除以360即可解答． （2）画树状图，共有9种等可能的结果，一次落在白色，另一次落在灰色区域的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中一次落在白色，另一次落在灰色区域的有4种， 所以，一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率为． 19. “腊月二十五，推磨做豆腐”．嵊州市某新农村至今还保留着过除夕前磨豆腐的传统习俗．如图1是磨豆腐用的传统工具老石磨，主要部件为一条磨凳，上下两个磨盘，一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶手等．图2是老石磨静止时的示意图，推拉杆及扶手平行于水平面，E是天花板顶部的拉钩，两根拉绳与扶手恰好组成等腰三角形，此时拉钩E与扶手的中心点B所在的直线垂直于水平面．现测得推拉杆距地面的高度为，天花板顶部E距地面，若，求两根拉绳的总长度至少为多少m．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，先根据题意得出，再解直角三角形得出，最后求出结果即可． 【详解】解：由题意，可得， ∵，B为的中点， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴ 答：两根拉绳的总长度至少为． 20. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． （1）分别求与的值． （2）在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】（1）， （2） 解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，D，E是上两点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）根据“两组对应角分别相等的三角形相似”证明即可； （2）根据相似三角形的性质列出相应的比例式，再代入相关数据进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 因为，， 所以． 22. 如图，是的内接三角形，是直径，平分，交于点E，交于点D，连接，，． （1）求证：． （2）求的长． （3）若，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到，结合三角形内角和定理可得结论； （2）证明，得出，代入数据求出结果即可； （3）连接，过点O作交于点F，根据勾股定理得出，根据等腰三角形性质求出，根据勾股定理求出，先求出，再求出，最后根据求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，负值舍去． 【小问3详解】 解：连接，过点O作交于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，扇形面积计算，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握相关的性质，正确添加辅助线． 23. 如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线于点E． （1）求抛物线的函数关系式． （2）当时，求点E的坐标． （3）连接，作点E关于的对称点，若落在y轴上，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）把，代入求出的值即可确定函数解析式； （2）先求出直线的函数解析式，设，则，，进而得到、，再根据列方程求得，即可确定点E的坐标； （3）如图：过E作，先根据轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质得到，设，则，，进而得到，，再根据列方程求得m，即可确定点E的坐标． 【小问1详解】 解：把，代入 得：，解得． 抛物线的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 把，代入 得∶，解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ，解得或（舍去）． ． 【小问3详解】 解：如图：过E作， ，关于PC对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ，， ，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵， ，解得：， ． 24. 如图，矩形中，，E是上一点，连接，过点D作交直线于点F，连接交于点G，作交于点M，交直线于点N． （1）若，求值． （2）设． ①若，求的值．（用含m的代数式表示） ②若的面积为，的面积为，求的值．（用含m，k的代数式表示） 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到； （2）①利用等角的余角相等求得，得到，求得，据此计算即可求得； ②先利用正切函数的定义求得，再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，矩形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嵊州市2024学年第一学期期末学业成绩调测 九年级数学试卷 考生须知： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”．按规定答题，本次考试不能使用计算器． 参考公式：抛物线的顶点坐标是． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 元旦游园晚会上有一个闯关活动：将个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中个白色，个黄色，个红色．任意摸出一个球，如果摸到红色小球才能过关，那么一次过关的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的半径为5，点C是弦上一点，若，设，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，O三点均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形内接于，是的直径，作，，，交于点G，连接，若，的半径为2，则的值是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 把抛物线向上平移2个单位后得到抛物线，则的值是______． 12. 用抽签的办法从A，B，C三人中任选一人，选中A的概率是______． 13. 如图，在中，，，，则的值是______． 14. 如图，P是上一点，，的半径为3，则的长是______． 15. 如图，在中，是边上的中线，E是上一点，过点E作交于点F，连结交于点O，若，的面积为2，则的面积是______． 16. 在平面直角坐标系中，我们称为“m蛋型”抛物线，如：称“2蛋型”抛物线，如图所示，点A在“4蛋型”抛物线的第一象限上，其横坐标为1，现将“4蛋型”抛物线绕O点顺时针旋转度，A旋转后的对应点为，过作x轴的平行线，交旋转后的“4蛋型”抛物线于，若，则的值是______． 三、解答题（本大题有8小题，第17～19小题每小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题10分，第24小题12分，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. （1）计算：． （2）已知二次函数的顶点为，且经过点，求该二次函数的解析式． 18. 有一个转盘如图，让转盘自由转动． （1）若转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率． （2）若转盘转动两次，求一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率（用树状图或列表法表示）． 19. “腊月二十五，推磨做豆腐”．嵊州市某新农村至今还保留着过除夕前磨豆腐的传统习俗．如图1是磨豆腐用的传统工具老石磨，主要部件为一条磨凳，上下两个磨盘，一根推拉杆以及用拉绳稳定的推拉用的扶手等．图2是老石磨静止时的示意图，推拉杆及扶手平行于水平面，E是天花板顶部的拉钩，两根拉绳与扶手恰好组成等腰三角形，此时拉钩E与扶手的中心点B所在的直线垂直于水平面．现测得推拉杆距地面的高度为，天花板顶部E距地面，若，求两根拉绳的总长度至少为多少m．（结果精确到．参考数据：，，） 20. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． （1）分别求与的值． （2）在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 21. 如图，在中，D，E是上两点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长度． 22. 如图，是的内接三角形，是直径，平分，交于点E，交于点D，连接，，． （1）求证：． （2）求的长． （3）若，求阴影部分的面积（结果保留）． 23. 如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线于点E． （1）求抛物线的函数关系式． （2）当时，求点E的坐标． （3）连接，作点E关于的对称点，若落在y轴上，求点E的坐标． 24. 如图，矩形中，，E是上一点，连接，过点D作交直线于点F，连接交于点G，作交于点M，交直线于点N． （1）若，求值． （2）设． ①若，求的值．（用含m的代数式表示） ②若的面积为，的面积为，求的值．（用含m，k的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $