30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学习题课件(冀教版)

30.3　由不共线三点的坐标确定二次函数* 1 练基础 练提升 目 录 练素养 2 练基础 知识点1　设一般式求二次函数的表达式 1. 已知二次函数y=ax2+bx-6的图像经过点A（1，-3），B（-1，-3），则它的表达式为 （　　） A. y=3x2-6 B. y=x2+2x-6 C. y=9x2+6x-6 D. y=9x2-6x-6 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 3 2. （石家庄桥西期中）已知二次函数的图像经过（0，0），（3，0），（1，-4）三点，则该函数的表达式为 （　　） A. y=x2-3x B. y=2x2-3x C. y=2x2-6x D. y=x2-6x C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 4 3. （教材P40“做一做”改编）已知二次函数的图像经过（1，-1），（2，-4）和（0，4）三点，那么这个二次函数的表达式为______________. y=x2-6x+4 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 5 4. （教材P40B组T1改编）小刚在用描点法画抛物线C：y=ax2+bx+c时，列出了下面的表格： 请根据表格中的信息，写出抛物线C的表达式：____________. y=-x2+4x+3 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 6 5. （教材P40A组T1改编）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）. （1）求这个二次函数的表达式；（2）写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标. 解：（1）由题意，得解得 所以这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2. （2）y=-x2+x+2=-（x-）2+， 所以这条抛物线的对称轴是直线x=，顶点坐标是（ , ）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 7 6. 已知顶点为（2，4）的抛物线经过点（4，0），则此抛物线的表达式为 （　　） A. y=-（x-2）2+4 B. y=（x-2）2-4 C. y=（x-2）2+4 D. y=-（x-2）2-4 A 知识点2　设顶点式求二次函数的表达式 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 8 【变式】已知二次函数图像的顶点在原点，且经过点（5，10），则该二次函数的表达式为 （　　） A. y=x2 B. y=-x2+15 C. y=x2 D. y=x2+5 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 9 7. 二次函数的图像经过点（4，-3），且当x=3时，函数有最大值-1，则该二次函数的表达式为________________. y=-2x2+12x-19 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 10 8. （保定涿州期末）顶点为（-5，-1），且开口方向、形状与函数y=-x2的图像相同的抛物线是 （　　） A. y=（x-5）2+1 B. y=-x2-5 C. y=-（x+5）2-1 D. y=（x+5）2-1 练提升 C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 11 9. 已知二次函数的部分图像如图所示，对称轴是直线x=-1，则这个二次函数的表达式为 （　　） A. y=-x2+2x+3 B. y=x2+2x+3 C. y=-x2+2x-3 D. y=-x2-2x+3 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 12 10. （新趋势　模块综合）如图，正方形ABOC的边长为1，A，B，C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么抛物线的表达式为 （　　） A. y=-2x2+ B. y=-x2+ C. y=x2+ D. y=-（x-2）2 B 【解析】由题意可得OA=，∴A（0，），∴设抛物线的表达式为y=ax2+（a≠0）. 过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，如图所示. ∵在正方形ABOC中，OC=1，∠AOC=45°，∴∠DOC=45°， ∴△OCD为等腰直角三角形，∴OD=CD. 由勾股定理得OD=CD= ， ∴C （ , ）. 把C （ , ）代入y=ax2+，得a+= ，解得a=-， ∴抛物线的表达式为y=-x2+. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 13 11. （浙江杭州中考）在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）. 同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为 （　　） A. B. C. D. A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 14 【解析】由题图知，经过A，B，D三点的二次函数图像开口向上，即a>0；经过A，B，C三点的二次函数图像开口向上，即a>0；经过B，C，D三点的二次函数图像开口向下，即a<0；经过A，D，C三点的二次函数图像开口向下，即a<0. 又经过A，B，D三点的抛物线开口较小，故此种情况a的值最大. 把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入y=ax2+bx+c，得解得a=，即a的值最大为，故选A. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 15 12. （邢台信都期中）已知抛物线的顶点坐标为M（1，-4），且与x轴交于两点，这两点相距4个单位长度，则该抛物线的表达式为______________. y=x2-2x-3 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 16 13. （新趋势　开放性问题）请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像同时满足下列条件：①开口向下；②当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小.这样的二次函数的表达式可以是_________________________. y=-x2+6x-7（答案不唯一）　 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 17 14. （新趋势　动点探究题）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点B（0，3）和点A（3，0）. （1）求该抛物线和直线AB的函数表达式； 解：∵抛物线y=-x2+bx+c经过点B（0，3）和点A（3，0）， ∴解得∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3. 设直线AB的函数表达式为y=kx+m， 依题意得解得∴直线AB的函数表达式为y=-x+3. 练素养 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 18 （2）若直线l⊥x轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，求点M与点N之间的距离的最大值或最小值，以及此时点M，N的坐标. 解：设点M的坐标为（a，-a2+2a+3），则点N的坐标为（a，-a+3）. ∵点M，N在第一象限， ∴MN=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+2a+3+a-3=-a2+3a=-（a-）2+（0<a<3）， ∴当a=时，点M与点N之间的距离最大，最大值为，此时点M的坐标为（ , ），点N的坐标为（ , ）. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 19 微专题3　设交点式求二次函数的表达式 【方法指导】如果给出的条件涉及二次函数的图像与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0），可以将其表达式设为y=a（x-x1）（x-x2）的形式，即交点式. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 20 【针对训练】 1. （唐山丰润期末）如果抛物线经过点A（2，0）和B（-1，0），且与y轴交于点C（0，2），那么这条抛物线的表达式为 （　　） A. y=x2-x-2 B. y=-x2+x+2 C. y=x2-x+2 D. y=x2+x-2 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 21 2. 如图是一个二次函数的图像，则这个二次函数的表达式为 （　　） A. y=x2-2x+3 B. y=x2-2x-3 C. y=x2+2x+3 D. y=x2+2x-3 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 22 3. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过A（-1，0），B（2，0），C（0，-2）三点，则此二次函数的表达式为______________. y=x2-x-2 【解析】∵A（-1，0），B（2，0）是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴的交点，∴设二次函数的表达式为y=a（x+1）（x-2）. 把C（0，-2）代入，得-2=a（0+1）（0-2），解得a=1，∴二次函数的表达式为y=（x+1）（x-2）=x2-x-2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 23 4. 已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表： 则二次函数的表达式为______________. y=x2-2x-8 【解析】由表格可知，（-2，0），（4，0）是二次函数的图像与x轴的交点， ∴设二次函数的表达式为y=a（x+2）（x-4）（a≠0）. 把（0，-8）代入，得-8=a（0+2）（0-4），解得a=1，∴二次函数的表达式为y=（x+2）（x-4）=x2-2x-8. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 微专题 24 25 $$