山东省威海市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

2024-2025学年上学期期末检测 高三数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知复数z=1+2i,则(z-z= A.4+8i B.4-8i C.4i-8 D.4i+8 2. 已知集合A=,2,3,4,8),B={xx3eA,则C,(A∩B)= A{1,2,3 B.{2,3,4 C.3,4,8} D.{2,4,83 3. 为了得到函数y=血3x的图象,只需把函数y=s如Bx-孕图象上的所有点 A向左平移交个单位 d B向右平移晋个单位 C向左平移登个单位 D.向右平移 个单位 12 4. 下列散点图中,线性相关系数最小的是 0 O A 8 3: C D 高三数学第1页(共4页) 5.。生物丰富度指数d-品是河流水质的一个浮价指标,其中5,N分别表示河流中的 生物种类数与生物个体总数,生物丰富度指数d越大,水质款好.如果基河流治理前 后的生物种类数S没有变化,牛物个体总数由N变为N2,生物丰富度指数由d,变为 4,若N=N,则 d A.log,2 B号 C.log23 D 6.设直线1:x=-4,点F(-2,0),F(2,0),已知点P到1的距离与它到F的距离之比为 2,则 A.IIPFI-IPFII=16 B.IIPFI-IPFII=8V2 C.IPF+PF=16 D.IPFI+IPF4V2 7. 已知函数)=21+x,若对%,名∈1,3),且x≠5,都有)-<1,则 一 Aa≤时 B.a≤0 C.a≥-3 D.a≥1 8.已知b是a与c的等比中项,直线￥byc=0与圆x2+y2-6x=0交于A,B两点, 则|AB的最大值为 A.1 B.2 C.4 D.6 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.设向量a=(x+4,x),b=(x,2),则 A.x=0是a⊥b的充分条件 B.x=-6是a⊥b的必要条件 C.a∥b是x=4的必要条件 D.a∥b是x=-2的充分条件 10.设a,B,y为三个平面,且a∩B=m,则 A若a∥Y,nY=n,则m∥n B.若any=a,ny=b,m∥y,则a∥b C若a⊥Y,B⊥Y,则m⊥Y D若y与a,B所成的角相等,则m⊥Y -x-1,x<-a, 11.设a>0,已知函数f)={-√a2-x2,a≤x≤a,则 Vx+2,x>a. A.f(x)在(-∞,0)上单调递减 B当≥时,J存在最小值 C.设M(:,f(:):≤a),N(x2f()x2>a),则IMN>2 D.设P(sf)<-a),x,fx,x,≥-a)),若1P21存在最小值,则ae0, 高三数学第2页(共4页)》 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12,已知甲、乙两人投篮命中率分别为行方,并且他们投篮互不影响现每人投篮2次。 则甲比乙进球数多的概率为 13.已知双曲线E:千卡-0>0>0)的半焦距为r,直线1过点0且与E的一条海近 线平行,若原点到1的距离为,则E的离心事为 14.已知函数f(x)=(x+a)(e-b)b>0),若f(x)≥0,则a+b的最小值为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+S_siA+si血B a-b sinC (1)求A: (2)已知M是边BC上的点,AM⊥AB,AM=√5,求2b+c的最小值. 16.(15分) 现有4种类别的图书共7本,其中有2本数理科学类,3本中外文学类,政治法律类、 医药卫生类各1本, (1)把7本图书随机摆成一排,求数理科学类的图书相邻,中外文学类的图书互不 相邻的概率: (2)从7本图书中随机抽取4本,设4本图书所属的类别数为X,求X的分布列及 期望。 17.(15分) 如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中,平面ABCD⊥平面AEFB,AD⊥AB, AB∥CD∥EF,AB=4,AD=CD=EF=AE=BF=2,M为AD的中点 (1)证明:AF∥平面EMC: D (2)在棱BF上是否存在一点P,使得直线CP与 平面BMC所成角的大小为于,若存在,求即的值: BE 若不存在,请说明理由, 高三数学第3页(共4页) 18.(17分) 已知函数f)=(-a)h(2x+)。 (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点1,f)处的切线方程: (2)是否存在a,b,使得曲线y=f宁关于直线x=b对称.若存在,求a,b的值: 若不存在,请说明理由: (3)当x>0时,f(x)>2,求a的取值范围. 19.(17分) 已知抛物线C:y=2x(p>0),点(5)在C上,k为常数,k>0,按如下方式依 次构造点P.(n=2,3,4,),过点P作x轴的垂线交C于点2,过2且斜率为k的直线 与C的另一个交点为P,记P的坐标为(x,y) (1)当k=2时,求,: (2)设a,=x1-x,证明:数列a,}是等差数列: (3)设Sn为 PP1P,的面积,证明:Sn为定值. 高三数学第4页(共4页) 高三数学参考答案 一、选择题:每小题5分,共40分。 题号 2 45 6 78 答案 B C A D DAB 二、选择题:每小题6分,共18分。全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC ABC BCD 三、填空题:每小题5分,共15分。 题号 12 13 14 答案 36 5 1 四、解答题: 15.(13分) 解:(1)因为b+c=sinA+sinB a-b sinC 所以b+c=a+b -2分 a-b c 即b2+c2-a2=-bc, 可得co8A-52+c2-a2-c1 -= -5分 2be 2bc 2 因为0<4<,所以A=2 6分 3 -7分 即bc=2c+b,,- ,8分 可得2+=1, -9分 b c 所以2b+cb+@后+月=4+片++1≥9 -11分 6 当且仅当b=c=3时等号成立, 12分 所以2b+c的最小值为9. 13分 16.(15分) 解:(1)记事件A:数理科学类的图书相邻,中外文学类的图书互不相邻, 则P()= AAAAC2 AC:35 4分 高三数学答案第1页(共8页) (2)X的取值范围是2,3,4, 6分 X-CCC 8分 Px-Sce+Ce2ciC+G-号 -10分 x-0=答 35 -12分 因此X的分布列为 X 2 2 7 P 1-5 3 -13分 1 22 所以E(X)=2 亏+3 5+4 6104 3535 -15分 17.(15分) (1)证明:连接DF交CE于点N,连接MN, -1分 因为CD∥EF,CD=EF,所以四边形CDEF为平行四边形, -2分 所以N为DF的中点, -3分 又因为M为AD的中点, 所以MN∥AF, -5分 因为MNc平面EMC,AF平面EMC, 所以AF∥平面EMC.一 -7分 (也可建系证明) (2)解:因为平面ABCD⊥平面AEFB,AD⊥AB,平面ABCD∩平面AEFB=AB, 所以AD⊥平面AEFB, -8分 以A为坐标原点,在平面AEFB内,以过点A垂直于AB的方向为x轴正方向,以A正,AD 的方向分别为y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,一9分 则C0,2,2),E(5,1,0),F(5,3,0),M(0,0,),D 所以CM=(0,-2,-1),C2=(5,-1,-2), 设平面EMC的一个法向量为n=(x,y,z), 则何=0,可得 -2y-z=0 B.y CE.n=0 5x-y-2z=0 高三数学答案第2页(共8页) 0.(15分1 令x=5,则n=(5,-1,2), -11分 假设在棱BF上存在一点P,使得直线CP与平面MC所成角的大小为君, 设B驴=ABF,0≤A≤1, 因为F=(5,-1,0),则丽=(W5元,-,0),一 -12分 又因为C丽=(0,2,-2),所以C=CB+BP=(5,2-1,-2), 4-6一1 则s血Hos<丽光E.-7 14分 化简得22-101+5=0,解得A-5生压 2 因为0≤≤1,所以1-5- 2 所以在棱BF上存在一点P,使得直线CP与平面EMC所成角的大小为”, 此时P=5-5 = 15分 BE 2 18.(17分) 解:(1)当a=1时,f=h(2x+, 则rw=2++(0*z2 ,2分 所以f'0)=-n3. 3分 可得曲线y=f(x)在点1,f)处的切线方程为y=(-l血3)x-1), 即(n3)x+y-ln3=0. 4分 (2)令g闭=f9=g-oh坐, 所以g(x)的定义域为(-o,-2)U(0,+ ), 5分 由曲线y=g(x)关于直线x=b对称, 所以g()的定义域关于x=b对称,即b=2+0。-L, -6分 2 且有g(x)=g(-2-x), -7分 高三数学答案第3页(共8页) 所以g-oh+2=(-2-x-oh2本 即x-ah+2=(2+x+on+2, x 整理得(2a+2n+2-0, 所以a=-l,- 一9分 故存在a=-1,b=-1,使曲线y=宁关于直线x=b对称。 10分 (3)【法一】 因为x>0,所以-aln(2x+>2即-)in(2x+0-2x>0,-11分 当a≤0时,1-ar>0, 所以0-a四h2r+0-2x>0即nRx+0-品>0, -12分 令-b2x+0- 则国=222at 2x -13分 (1+2x)0-ax)2 若a=0,M倒=十经<0,所以<M0)=0,所以a=0不满足题意 若-1<a<0, 220,当e0,22的时.c0 a 所以在0,2名马上单调递减可得树c0=0, 所以-1<a<0不满足题意:- 14分 若a≤-1, 2a+2≤0,当x∈0,+o)时,>0, 所以h(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以h(x)>h(0)=0,所以a≤-1满足题意: -15分 当a>0时,xe(0,},可得1-x>0, 所以-alh(2x+-2x>0即1h(2x+0->0, 2x 令=h2x+切-盈,则-222a+ 0+2x)1-a) 高三数学答案第4页(共8页) 高三数学答案第8页(共8页) 由。<22,所以当xe0,白时,0, a 所以h()在(0,日上单调递减,所以()<h(0)=0, 所以a>0不满足题意,- -16分 综上所述,a的取值范围为(-0,-].一 -17分 【法二】因为x>0,所以(-a)h(2x+0>2即(0-alh(2x+)-2x>0,-11分 设=0-amh(2x+-2x,则0树=2-a四)-ah(2x+)-2,-12分 2x+1 i设m-2-2-ah2x+)-2,则m'=4-a 2x+1 -13分 (2x+1)2 当a≥0时,m'(x)<0,所以h'(x)在(0,+o)上单调递减, 可得'(x)<h'(O)=0,所以h(x)在(0,+o)上单调递减,可得h(x)<h(O)=0, 所以a≥0不满足题意,- -14分 当a<0时,由m'x)=0得x=-a+l a 若-1a<0,则-2,0, 当xe0,-时,m)<0,所以在0,-当上单调造减, 可得)<州0=0,所以在(0,-上单调递减。 所以h(x)<h(0)=0,所以-1<a<0不满足题意, -15分 若a≤-小,-a+≤0,则m')>0,所以()在(0,+∞)上单调递增, a 可得h'(x)>h'(O)=0,所以h(x)在(0,+m)上单调递增, 可得h(x)>h(O)=0,所以a≤-1满足题意, 16分 综上所述,a的取值范围为(-0,一刂.- 17分 19.(17分) 解:(1)因为点P(2)在C上,所以1=2p 解得p=1, -2分 高三数学答案第5页(共8页) 由题意知g的坐标为(兮-), 由4+1=263, 整理得 2=2x3-2 4分 片=2x3 y=2x 解得x3=2,为=2. 一5分 (2)【法一】由题意知2的坐标为(x-y), 所以y=2x, …6分 又y2=2x, 两式相减得-=2化,一x),即上+= 2 -7分 X-x-1 y-yu- 2 由题意知t=k,可得-y如 无。一xn同 所以数列6y)是以1为首项, 是为公差的等差数列, -8分 所以%=1+-x是202,可得x-2m2少 -9分 k 2k2 所以a,=4-x=②m+-2n+k-224n+2k-2 …10分 2k2 2 4 可得a,4-a,=存,所以数列a,}是等差数列. -11分 【法二】由题意知2的坐标为(x一y), 所以直线QP的方程为y+y=k(x-x), -6分 [y+y=k(x-x) 由 y2=2x 可得y2-2y-2y-2an=0, -7分 由题意知2,Pn是直线2P与C的公共点, 2 所以y一y=k 所以数列y}是以1为首项, 爱为公差的等差数列, -8分 高三数学答案第6页(共8页)