1.2 第3课时 勾股定理的逆定理-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学习题课件(湘教版)

第1章　直角三角形 1.2 　直角三角形的性质和判定（Ⅱ） 第3课时　勾股定理的逆定理 1 练基础 练提升 练素养 2 练基础 知识点1 勾股定理的逆定理 1. （教材P15例3改编）将下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 1， ， C. 1，1，2 D. 5，12，15 B 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 3 2. 如图，在△ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB 边上的中线，则CD=___________. 6.5 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 4 3. （易错题）某直角三角形的两边长分别为2，7，则这个三角形的第三条边的长是____________. 或3 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 5 4.（教材P16 练习第1 题改编）在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，试判断满足下列条件时，△ABC 是否为直角三角形，并判断哪一个角是直角. （1）a∶b∶c=1∶2∶3； （2）a=7，b=24，c=25； 【解】∵a∶b∶c=1∶2∶3，∴可设a=x，b=2x，c=3x（x>0）. ∵a2+b2=5x2≠9x2=c2，∴△ABC不是直角三角形. 【解】∵a=7，b=24，c=25，∴a2+b2=72+242=625=252=c2，∴△ABC是直角三角形，∠C是直角. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 6 （3）a=，b=，c=2. 【解】∵a=，b=，c= 2，∴b2+c2=（ ）2+22=（）2=a2， ∴△ABC是直角三角形，∠A是直角. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 5. 若a，b，c 为△ABC 三边的长，且a（a+2b）=（c+b）（c-b）+2ab，试判断△ABC 的形状. 【解】∵a（a+2b）=（c+b）（c-b）+2ab， ∴a2+2ab=c2-b2+2ab， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 8 6. （人教八下教材P34第6题改编）如图，E，F分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB=4，BE=3EC，F 为CD 的中点，连接AF，AE，EF.　 问△AEF是什么形状的三角形？ 【解】∵AB=4，BE=3EC，∴EC=1，BE=3. ∵F为CD的中点，∴DF=FC=2. ∴EF== ，AF==2，AE==5. ∴AE2=EF2+AF2. ∴△AEF是直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 9 7. 下列四组数中，是勾股数的是（　　） A. 2.5，6，6.5 B. 3，4，6 C. 1，2， D. 5，12，13 D 知识点2 勾股数 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 10 8. （教材P15例4改编）如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点D，BC=15，CD=12，AD=16. （1）求BD 的长； （2）求△ABC 的面积； （3）判断△ABC 的形状. 知识点3 勾股定理及其逆定理的综合运用 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 11 【解】（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°. ∵BC=15，CD=12，∴BD===9，∴BD的长为9. （2）∵AD=16，BD=9，∴AB=AD+BD=16+9=25. ∵CD⊥AB，CD=12，∴△ABC的面积=AB·CD=×25×12=150，∴△ABC的面积为150. （3）△ABC是直角三角形. 理由：在Rt△ACD中，AD=16，CD=12， ∴AC===20. ∵AC2+BC2=202+152=625，AB2=252=625，∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 9. （湖南常德安乡期中）在△ABC 中，BC=13，AC=5，AB=12，则下列判断正确的是（　　） A. ∠A=90° B. ∠B=90° C. ∠C=90° D. △ABC 是锐角三角形 练提升 A 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 10. 已知 ++（c−）2=0，则以a，b，c为边的三角形是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 B 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 11. （湖南益阳赫山期中）如图，分别以△ABC 的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4，5，9，则△ABC______直角三角形（填“是”或“不是”）. 是 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 12. （新情境 环境保护）为响应“绿水青山就是金山银山”的理念，社区准备对一块如图的空地铺设草皮，量得∠ADC=90°，AD=8 m，CD=6 m，BC=24 m，AB=26 m. 已知草皮每平方米售价为m 元，则购买铺设这块空地用的草皮需__________元. 96m 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 13. （新趋势 规律探究题）观察下列勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c. 根据你发现的规律，回答下列问题. （1）当a=17时，b=________，c=________. （2）当a=2n+1时，求b，c 的值. 144 145 【解】（2）通过观察知c-b=1. ∵（2n+1）2+b2=c2，∴c2-b2=（2n+1）2，（b+c）（c-b）=（2n+ 1）2， ∴b+c=（2n+1）2. ∵c=b+ 1，∴2b+1=（2n+1）2，∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 17 14. 如图，四边形ABCD 中，AB=BC=1，CD= ，AD=1，且∠B=90°. 求： （1）四边形ABCD 的面积（结果保留根号）；（2）∠BAD 的度数. 【解】（1）连接AC，如图. ∵AB=BC=1，∠B=90°，∴AC== 2 . 又∵AD= 1，CD=，（）2=12+（）2，∴CD2=AD2+AC2， ∴∠DAC=90°，∴S 四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=×1×1+×1× =+. （2）∵AB=BC=1，∠B=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°，∴∠BAD=45°+90°=135°. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 15. （新趋势 探究性问题）如图，P是等边三角形ABC 内的一点，连接PA，PB，PC，以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ. （1）观察并猜想AP 与CQ 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连接PQ，试判断△PQC 的形状，并说明理由. 练素养 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 【解】（1）猜想：AP=CQ. 证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠CBQ+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠CBQ. 在△ABP和△CBQ中，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ. （2）△PQC是直角三角形. 理由如下：由PA∶PB∶PC=3∶4∶5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a（a≠0）. 如图，连接PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a， 且∠PBQ=60°，∴△PBQ为等边三角形. ∴PQ=4a. 在△PQC中，∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2，∴△PQC是直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 绿卡图书—走向成功的通行证 21 $$