精品解析：四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

绵阳南山中学2024年秋季高2023级12月月考 数学试题 命题人：黄菊，审题人：刘国松 本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上； 2、选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑； 3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔； 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 研究下列问题，一般通过试验获取数据的是（ ） A. 某城市元旦前后的气温 B. 某种新型电路元件使用寿命的测定 C. 电视台想知道某一个节目的收视率 D. 高中生日平均上网时间 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与直线平行，则（ ） A. ±2 B. 2 C. -2 D. 5. 抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A、B和C两两互斥 B. C. 事件A与事件是对立事件 D. 事件与相互独立 6. 如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与'轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分． 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卷中的横线上． 12. 抛物线的焦点坐标为_____________． 13. 已知正方体的棱长为1，为棱的中点，为侧面的中心，点分别为直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为________． 14. 在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲､乙､丙､丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜､平､负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. （1）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （2）请用甲、乙获胜的概率说明这种游戏规则是否公平. 16. 已知圆，圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 17. 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数； （2）用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）； （3）若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 19. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比． （1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程． （2）已知椭圆，椭圆与椭圆的相似比为． ①若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求的取值范围； ②过点作斜率不为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（在的上方）．是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学2024年秋季高2023级12月月考 数学试题 命题人：黄菊，审题人：刘国松 本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟． 注意事项： 1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上； 2、选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑； 3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔； 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 研究下列问题，一般通过试验获取数据的是（ ） A. 某城市元旦前后的气温 B. 某种新型电路元件使用寿命的测定 C. 电视台想知道某一个节目的收视率 D. 高中生日平均上网时间 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据获取途径的特征判断即可. 【详解】对于A：某城市元旦前后的气温，一般通过观察获取数据，故A错误； 对于B：某种新型电路元件使用寿命的测定，一般通过试验获取数据，故B正确； 对于C：电视台想知道某一个节目的收视率，一般通过调查获取数据，故C错误； 对于D：高中生日平均上网时间，一般通过调查获取数据，故D错误. 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，故该直线的倾斜角为. 故选：B 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程求得，代入渐近线方程即可. 【详解】由双曲线的方程可知，，，焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为：. 故选：B 4. 已知直线与直线平行，则（ ） A. ±2 B. 2 C. -2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式计算即得. 【详解】直线与直线平行，时不合题意， 不等于0时，则，所以. 故选：A 5. 抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A、B和C两两互斥 B. C. 事件A与事件是对立事件 D. 事件与相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义判断A，；利用互斥事件概率加法公式求解判断B；利用对立事件的定义判断C；利用相互独立事件判断D. 【详解】抛掷三枚硬币，样本空间(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正), (正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)，共8个样本点， 事件(正,正,正)，(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)，(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正)， 对于A，事件中任何两个事件都不能同时发生，事件两两互斥，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，事件与可以同时不发生，事件A与事件不是对立事件，C错误； 对于D，，， ，则事件，相互独立，D正确. 故选：C 6. 如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得，即可根据模长公式求解. 【详解】设，由题意得， 则, 设， 则,故. 由得， 得， 所以， 故选：D 7. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与'轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，由抛物线定义，，结合相似图形性质可得， 然后再由抛物线定义及相似图形性质可得与关系，即可得答案. 【详解】由题及图，设准线与x轴交点为D，过A，B向准线做垂线， 与y轴，准线分别交于G，C，H ，E. 则，设， 由抛物线定于可得. 因，则. 又O为DF中点，准线与y轴平行，则S为FT中点，. 又，结合抛物线定义可得： ， 则. 故选：B 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的值，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求出的值，即可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】在圆锥中，，，易知， 由圆锥的几何性质可知，平面，因为平面，则， 所以，，则， 圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 因为是母线上一点，，则，,， 设平面的法向量为，则， 取，可得，且， 所以，， 所以，， 故该圆锥曲线的离心率为， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分． 9. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义即可判断选项. 【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲 7.0 8.3 8.9 8.9 9.2 9.3 乙 8.1 8.5 8.6 8.6 8.7 9.1 故可得如下表格： 甲 乙 中位数 A正确 极差 B正确 第75百分位数 ，故第75百分位数是第5个数 C错误 9.2 8.7 方差 由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差 D正确 故选：ABD 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，当直线过原点时，直线也满足条件，故可判断A错误； 对于B，判断两圆的位置关系即可； 对于C，可判断点的轨迹是圆心为，半径为的圆，又点在直线上，故直线与该圆有公共点，易求出的取值范围； 对于D，弦中点的轨迹是以为直径的圆，求出的最值，即可求出的取值范围. 【详解】对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，A错误； 对于B，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则圆心距，又， 由，可知， 两圆相离，圆与圆共有条公切线，故B正确； 对于C，连接，，，如图， 则易知四边形为正方形， ，点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 又点在直线上，故直线与该圆有公共点， 圆心到直线的距离，， 实数的取值范围为，故C正确； 对于D，取中点，连接，如图所示： 则， 点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径， ， ，即， ， 的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：由的面积不变，点到平面的距离不变，求出体积即可；对B：以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，结合向量的夹角公式，可判定B正确；对C：设，求得平面的一个法向量为，得到，可判定C错误.对D：由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹，可判定D正确. 【详解】对于A：的面积不变，点到平面的距离为正方体棱长， 所以三棱锥的体积不变， 且，所以A正确； 对于B：以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 可得，，， 设，，则，， 设直线与所成角为， 则， 因为，当时， 可得，所以； 当时，， 由，所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B正确； 对于C，由，，，， 设，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则 取，可得，，所以， 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，所以C错误. 对于D：因为直线与平面所成的角为45°， 由平面，得直线与所成的角为45°， 若点在平面和平面内， 因为，，故不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹的长度为， 综上，点的轨迹的总长度为，所以D错误； 故选：AB. 【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卷中的横线上． 12. 抛物线的焦点坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】 将抛物线的方程变为标准形式，由抛物线的几何性质可求得答案． 【详解】将抛物线的方程整理为标准形式，得， 则该抛物线的焦点在y轴正半轴，坐标为． 故答案为：． 13. 已知正方体的棱长为1，为棱的中点，为侧面的中心，点分别为直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据，得到，从而得到，再由向量模的坐标表示求出的最小值及此时、的值，求出平面的法向量以及的坐标，最后利用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，设，， 所以，， 因为，所以，即，所以， 又，所以，当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以， 令可得,取， 所以当取得最小值时，点Q到平面的距离. 故答案为：. 14. 在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲､乙､丙､丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜､平､负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁，（2）甲胜乙丁，平或负丙，（3）甲胜丙丁，三种情况分别分析，由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可. 【详解】（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁： ① 乙胜丙，且乙平或负丁，概率为； ② 乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为． 因此，（1）概率为． （2）甲胜乙丁，平或负丙，同（1），概率为． （3）甲胜丙丁： ① 甲平乙，乙胜丙，且乙平或负丁，此时概率为； ② 甲平乙，乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为； ③ 甲负乙，乙平或负丙、丁，此时概率为， 因此，（3）概率为． 综上：甲胜两场且乙胜一场的概率为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题意，甲队胜两场且乙队胜一场，可分为甲胜乙丙，且甲平或负丁；甲胜乙丁，平或负丙；甲胜丙丁三种情况分析，分别由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢. （1）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （2）请用甲、乙获胜的概率说明这种游戏规则是否公平. 【答案】（1） （2）这种游戏规则不公平 【解析】 【分析】（1）由古典概率计算即可； （2）列出甲胜的情况，再有古典概率求出甲胜的概率，然后根据概率之和为1求出乙胜的概率，再判断即可； 【小问1详解】 设“甲胜且编号的和为6”为事件． 甲编号为，乙编号为，表示一个基本事件， 则两人摸球结果包括共25个基本事件； 包括的基本事件有共5个． ∴．甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为． 【小问2详解】 这种游戏不公平． 设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件．甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数为以下13个：． 所以甲胜的概率为， 乙胜的概率为， ∵，∴这种游戏规则不公平． 16. 已知圆，圆经过点，且与圆相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的圆心坐标，半径，由题意列关于，，的方程组，求出圆的方程； （2）由弦长求出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和斜率不存在两种情况求出直线方程. 【小问1详解】 圆的圆心，半径为3， 设圆的圆心坐标为，半径， ∴，解得， ∴圆的的方程为. 【小问2详解】 若直线斜率不存在，此时：， 由，解得， 此时弦长为，符合题意， 若直线的斜率存在，设：， ∵直线被圆截得的弦长为， ∴圆心到直线的距离， 因为：，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上：直线的方程为或. 17. 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数； （2）用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）； （3）若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 【答案】（1）；12人中成绩不低于90分的人数为1； （2）平均数约为分，中位数约为分； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1可求的值，再根据分层随机抽样可得12人中成绩不低于90分的人数； （2）根据频率分布直方图及平均数与中位数的定义计算即可； （3）根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得. 的频率为，的频率为， 的频率为，按分层抽样方法抽取12人的成绩， 则12人中成绩不低于90分的人数为. 【小问2详解】 该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为： . 的频率为， 的频率为， 设中位数为,则，则，解得， 故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分，中位数约为分. 【小问3详解】 设“至少有一位同学复赛获一等奖”， 则， 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为. 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 【答案】（1） 取BD中点，连接PO， 是BM的中点，，且， 在线段CD上取点，使，连接OF，QF， ，，且， ，四边形POFQ为平行四边形，， 又平面平面，平面. （2） （3）点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处 【解析】 【分析】（1）利用中位线定与与平行线的传递性，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用勾股定理与线面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，再分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法求面面角的方法即可得解； （3）先利用线面平行的性质定理分析得在上，假设，再利用线面角的空间向量法分析得与平面所成的角时的值，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则，， 取BD中点，则，又平面，平面BCD， 以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 则，，， ，所以， 故， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM， ， 点为内动点且平面QGM， 又平面ABD，平面平面， ，故点在OM上， 设，又，，， 则， ， 易知平面的一个法向量为， 设QG与平面所成角为，则最大时，最大， ， 所以当时，最大，此时最大， 即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 19. 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比． （1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程． （2）已知椭圆，椭圆与椭圆的相似比为． ①若直线与椭圆相切，且与椭圆交于两点，求的取值范围； ②过点作斜率不为的直线与椭圆交于两点（在的上方），直线与椭圆交于两点（在的上方）．是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）利用相似性质，可知两椭圆离心率相等，即可求解； （2）①利用直线与椭圆联立方程组来求解弦长，通过讨论斜率是否存在来补全取值范围；②根据斜率是否存在分类讨论，通过联立直线与椭圆方程说明的中点也是的中点，然后将转化为的数量关系，借助弦长公式完成计算. 【小问1详解】 由题意可知，“特征三角形”是等腰三角形，且腰长为，底边长为， 那么相似比就是两个“特征三角形”的长半轴长之比或者是焦距之比， 从而特征三角形相似的两椭圆的离心率是相等的. 由椭圆的离心率为， 可知过点，且与椭圆相似的椭圆方程的离心率也为， 可设所求椭圆为，代点得：， 再由，所以， 联立上两式解得：， 所以所求椭圆方程为：. 【小问2详解】 ①由椭圆与椭圆的相似比为，可知两椭圆的长半轴之比也为，短半轴之比也为， 再由椭圆，所以椭圆， 当直线的斜率不存在时，又与椭圆相切，则切线方程为， 取直线，可得与椭圆的交点坐标为 此时有， 再当直线的斜率存在时，可设直线的方程为， 则与椭圆联立消得：， 整理得：， 由直线与椭圆相切，可得：，整理得， 再由直线的方程为，与椭圆联立消得：， 整理得， 由， 再把代入得：， 可设交点，则有， 所以 再把代入得： ， 由于，所以，即， 综上可得：； ②假设直线存在； 当的斜率不存在时，， 由解得，由解得， 所以， 所以， 所以， 显然； 当的斜率存在时，，设， 联立，可得， 所以， 联立，可得， 所以， 所以，即中点的横坐标相同， 又因为四点共线，所以的中点即为的中点， 因为，所以， 所以， 因为 ， ， 所以， 所以，解得，符合条件， 所以存在直线满足条件. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的第二小问的关键点有两个，一方面是说明中点相同，借助这一条件可对向量关系式进行转化；另一方面是弦长计算，计算量较大，通过联立以及弦长公式表示出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $