17.1 勾股定理课件 2024--2025学年人教版八年级数学下册

17.1 勾股定理 第十七章 勾股定理 第1课时 勾股定理 人教版八年级（下） 《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”. 数学文化 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”. 按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五. 你知道为什么吗？ 问题1： 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？ 相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了等腰直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系？ A B C 导学润思 知识点1：勾股定理认识及验证 A B C 问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？ 问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？ 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 问题3　在网格中是一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)： 这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 4 9 右图 16 9 互学润情 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 分析表中数据，你发现了什么？ A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 检学润智 两直角边的平方和等于斜边的平方. 图中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、的面积,看看能得出什么结论. 等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？ 补全图形：以斜边为边长的正方形的面积,等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积. 分割图形：以斜边为边长的正方形的面积,等于某个小正方形的面积加上4个直角三角形的面积. 合作探究 动手实践：利用准备好的四个全等的直角三角形，a、b表示两条直角边， c表示斜边。这四个全等的直角三角形可以拼成一个正方形吗？有些什么不同的方法？ 思考：拼出的正方形面积用含a、b、c的式子可以怎么表示？能得到我们要证明的结论吗？ a b c 方法一 验证猜想：学生动手操作 a2 + b2 = c2 大正方形的面积可以如何表示？ a b c a b c a b c a b c a b c 证明： 大正方形的面积为： 也可以表示为： a b c a b c a b c a b c 方 法 二 a a2 + b2 = c2 大正方形的面积可以如何表示？ a b c c c c c b－a 大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 a c c c c b－a 这个图案公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时就已经给出，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形 （黄色）． 赵爽弦图 a c c c c b－a a b b c a b c a 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧. 拼图验证 我国古代的证明方法——赵爽弦图 教师利用数学画板动态演示赵爽弦图 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． a b c 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 a2+b2=c2 变形公式： 几何语言： 勾股定理: a2+b2=c2 在Rt△ABC中，∠C=90° （1）、在Rt△ABC中，∠C=90°， ①若a=5，b=12，则c=____； ②若a=15，c=25，则b=_____； ③若c=61，b=60，则a=_____； ④若a∶b=3∶4，c=10则S△ABC=__ （2）、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，求第三边长的平方。 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB、AC都为直角边时， 当AC、AB一边为斜边一边为直角边时， 为什么AC不能为 斜边？？ 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解. A C B B A C C A B 3cm 4cm 3cm 4cm 命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 让我们跟着以前的数学家们进一步用多种方法来证明这一命题. 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧。 检学润智 a b c b- a ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 证明： 背景资料 “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！2002 年在北京召开了第 24 届国际数学家大会，国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 证法2 毕达哥拉斯证法. 用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图.然后分析其面积关系. 检学润智 a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2. 证明： ∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， a a b b c c ∴ a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 检学润智 名满天下的数学家 名不见经传的门外汉 学生 总统 为什么这么多人都对勾股定理感兴趣？ a、b、c 为正数 a b c 归纳总结 勾股定理 变形公式 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 例1 如图，在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. (1) 若 a = b = 5，求 c； (2) 若 a = 1，c = 2，求 b. 解： (1) 据勾股定理得 (2) 据勾股定理得 C A B 知识点2：利用勾股定理进行计算 用学润行 【变式题1】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当 AB 为斜边时，如图①， 当 BC 为斜边时，如图②， 4 3 A C B 4 3 C A B 图① 图② 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解. 总结 (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a； (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c. 【变式题2】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. 设 a = x，c = 2x， (2x)2 - x2 = 152， 解：(1) 设 a = x，b = 2x x2 + (2x)2 = 52， (2) 解得 C A B 1.下列说法中，正确的是 （ ） A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2 B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2 D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2 C 2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm². 8 cm 10 cm 36 用学润智 3. 在 △ABC 中，∠C = 90°. (1) 若 a = 15，b = 8，则 c = . (2) 若 c = 13，b = 12，则 a = . 4. 若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三边 长的平方为_________. 17 5 74 或 24 用学润智 课后小结 勾股定理 内容 符号语言： 在Rt△ABC 中， ∠C = 90°， ______________ 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 a2 + b2 = c2. a b c 1.借助于网络选一个自己喜欢的方法并写出喜欢的理由。 2.书中24页练习题2. 作业： $$