集合、常用逻辑用语、不等式专项练-2025届高三数学一轮复习

集合，常用逻辑用语、不等式专项练 第一节　集 合 集合的基本概念 【例1】　（1）已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的个数为（　　） A.2　 B.4 C.6　 D.8 （2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝（　　） A.0　 B.1 C.2　 D.4 集合间的基本关系 【例2】　（必修第一册第9页5（2）题改编）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B⫋A，则实数a的取值范围为（　　） A.[1，＋∞）　 B.（－∞，1] C.（1，＋∞）　 D.（－∞，1） 集合的基本运算 考向1　集合的运算 【例3】　（1）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（　　） A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z} C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.⌀ （2）（2024·广东联考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A.[－1，3]　 B.（3，＋∞） C.（－∞，3]　 D.[－1，3） 考向2　利用集合的运算求参数 【例4】　（2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为　　. 考向3　集合的新定义问题 【例5】　（2024·长沙模拟）给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（　　） A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B.正整数集是闭集合 C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合 D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 第二节　常用逻辑用语 全称量词命题与存在量词命题 考向1　含量词命题的否定及真假判定 【例1】　（1）已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则（　　） A.􀱑p：∀x∉R，x≠－1或x≠2 B.􀱑p：∀x∈R，x≠－1且x≠2 C.􀱑p：∀x∈R，x＝－1且x＝2 D.􀱑p：∃x∉R，x＝－1或x＝2 （2）下列命题为真命题的是（　　） A.∃x∈R，ln（x2＋1）＜0 B.∀x＞2，2x＞x2 C.∃α，β∈R，sin（α－β）＝sin α－sin β D.∀x∈（0，π），sin x＞cos x 考向2　含量词的命题的应用 【例2】　已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（－，0）　 B.（0，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞） 充分条件、必要条件的判定 【例3】　（1）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （2）（2023·全国甲卷7题）设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则（　　） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 充分、必要条件的探究与应用 【例4】　已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为　 　. 第三节　等式性质与不等式性质 比较两个数（式）的大小 【例1】　（1）已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　　） A.M＞N　 B.M＜N C.M＝N　 D.不能确定 （2）若a＝，b＝，则a　　b（填“＞”或“＜”）. 不等式的基本性质 【例2】　（多选）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（　　） A.ad＞bc　 B.＋＜0 C.a－c＞b－d　 D.a（d－c）＞b（d－c） 不等式性质的应用 【例3】　（必修第一册第43页5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是　 　，ab的取值范围是　 　. 第四节　基本不等式 利用基本不等式求最值 技法1　配凑法 【例1】　（1）设0＜x＜4，则y＝3x（8－2x）的最大值为　 　； （2）函数f（x）＝的最小值为　　 . 技法2　常数代换法 【例2】　（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为　 　； （2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为　 . 技法3　消元法 【例3】　（必修第一册第58页5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为　 　. 基本不等式的综合应用 【例4】　（2024·绍兴质检）若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是（　　） A.（－1，4） B.（－4，1） C.（－∞，－1）∪（4，＋∞） D.（－∞，0）∪（3，＋∞） 利用基本不等式解决实际问题 【例5】　单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速（m/s）.当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　） A.135　 B.149 C.165　 D.195 第五节　一元二次不等式及其解法 不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】　解下列不等式 （1）－3x2－2x＋8≥0； （2）≤1. 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】　解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）. 三个“二次”间的关系 【例3】　已知函数y＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x｜m＜x＜m＋4}，则实数c的值为（　　） A.9　 B.8 C.6　 D.4 判别式法解决恒成立问题 【例1】　若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 数形结合法解决恒成立问题 【例2】　已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.当x＞2时，不等式f（x）≥－1恒成立，求m的取值范围. 分离参数法解决恒成立问题 【例3】　∀x∈{x｜2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，求m的取值范围. 主参换位法解决恒成立问题 【例4】　已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为　 　. 转化为函数（式子）的最值解决能成立问题 【例5】　已知f（x）＝2x2－12x＋10，若对于任意的x∈[1，3]，不等式f（x）≤2＋t能成立，则实数t的取值范围是　 　. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集合，常用逻辑用语、不等式专项练 第一节　集 合 集合的基本概念 【例1】　（1）已知集合A＝{1，2，3}，则B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的个数为（　　） A.2　 B.4 C.6　 D.8 （2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则a2 024＋b2 025＝（　　） A.0　 B.1 C.2　 D.4 答案：（1）C　（2）C 解析：（1）因为A＝{1，2，3}，所以B＝{（2，1），（3，1），（3，2），（1，2），（1，3），（2，3）}，共6个元素.故选C. （2）由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝{0，，b}.所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 024＋b2 025＝2. 集合间的基本关系 【例2】　（必修第一册第9页5（2）题改编）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B⫋A，则实数a的取值范围为（　　） A.[1，＋∞）　 B.（－∞，1] C.（1，＋∞）　 D.（－∞，1） 解析：B　因为A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且B⫋A.用数轴表示其关系如图.所以实数a的取值范围为a≤1.故选B. 集合的基本运算 考向1　集合的运算 【例3】　（1）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（　　） A.{x｜x＝3k，k∈Z} B.{x｜x＝3k－1，k∈Z} C.{x｜x＝3k－2，k∈Z} D.⌀ （2）（2024·广东联考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A.[－1，3]　 B.（3，＋∞） C.（－∞，3]　 D.[－1，3） 答案：（1）A　（2）D 解析：（1）法一（列举法）　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A. 法二（描述法）　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A. （2）集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以题图中阴影部分表示的集合为（∁UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}＝{x｜－1≤x＜3}.故选D. 考向2　利用集合的运算求参数 【例4】　（2024·九省联考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，则m的最小值为　5　. 解析：B＝{x｜｜x－3｜≤m}＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，又A∩B＝A，则A⊆B，所以所以m≥5，故m的最小值为5. 考向3　集合的新定义问题 【例5】　（2024·长沙模拟）给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是（　　） A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合 B.正整数集是闭集合 C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}为闭集合 D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合 解析：C　选项A：当集合M＝{－4，－2，0，2，4}时，2，4∈M，而2＋4＝6∉M，所以集合M不为闭集合，A选项错误；选项B：设a，b是任意的两个正整数，则a＋b∈M，当a＜b时，a－b是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；选项C：当M＝{n｜n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是闭集合，C选项正确；选项D：设A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3）∉（A1∪A2），故A1∪A2不为闭集合，D选项错误. 第二节　常用逻辑用语 全称量词命题与存在量词命题 考向1　含量词命题的否定及真假判定 【例1】　（1）已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则（　　） A.􀱑p：∀x∉R，x≠－1或x≠2 B.􀱑p：∀x∈R，x≠－1且x≠2 C.􀱑p：∀x∈R，x＝－1且x＝2 D.􀱑p：∃x∉R，x＝－1或x＝2 （2）下列命题为真命题的是（　　） A.∃x∈R，ln（x2＋1）＜0 B.∀x＞2，2x＞x2 C.∃α，β∈R，sin（α－β）＝sin α－sin β D.∀x∈（0，π），sin x＞cos x 答案：（1）B　（2）C 解析：（1）注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“∀x∈R，x≠－1且x≠2”. （2）∵x2＋1≥1，∴ln（x2＋1）≥0，故A是假命题；当x＝3时，23＜32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin（α－β）＝sin α－sin β，故C是真命题；当x＝∈（0，π）时，sin x＝，cos x＝，sin x＜cos x，故D是假命题.故选C. 考向2　含量词的命题的应用 【例2】　已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（－，0）　 B.（0，） C.（，＋∞）　 D.（1，＋∞） 解析：C　因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞. 充分条件、必要条件的判定 【例3】　（1）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 （2）（2023·全国甲卷7题）设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则（　　） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：（1）B　（2）B 解析：（1）不等式x2－5x＜0的解集A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B. （2）甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件.综上，选B. 充分、必要条件的探究与应用 【例4】　已知P＝{x｜x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为　[0，3]　. 解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x｜－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴ 第三节　等式性质与不等式性质 比较两个数（式）的大小 【例1】　（1）已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　A　） A.M＞N　 B.M＜N C.M＝N　 D.不能确定 （2）若a＝，b＝，则a　＜　b（填“＞”或“＜”）. 解析：（1）∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A. （2）易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a. 不等式的基本性质 【例2】　（多选）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（　　） A.ad＞bc　 B.＋＜0 C.a－c＞b－d　 D.a（d－c）＞b（d－c） 解析：BCD　因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误；因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）（－d），所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＝＋＜0，故B正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正确；因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c），故D正确. 不等式性质的应用 【例3】　（必修第一册第43页5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是　（0，13）　，ab的取值范围是　（－3，15）　. 解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13，当－1＜b＜0时，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，则－3＜ab＜0，当0＜b＜5时，0＜ab＜15，当b＝0时，ab＝0，综上，－3＜ab＜15. 第四节　基本不等式 利用基本不等式求最值 技法1　配凑法 【例1】　（1）设0＜x＜4，则y＝3x（8－2x）的最大值为　24　； （2）函数f（x）＝的最小值为　2　. 解析：（1）y＝6x（4－x）≤6（）2＝24，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，y＝3x（8－2x）有最大值24. （2）函数f（x）＝的定义域为（－1，＋∞），f（x）＝＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时取等号，故当x＝1时，f（x）取得最小值2. 技法2　常数代换法 【例2】　（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为　4　； （2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为　9　. 解析：（1）因为a＋b＝1，所以＋＝（＋）·（a＋b）＝2＋（＋）≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等号. （2）因为4a＋b＝ab，所以＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）（＋）＝5＋＋.因为a＞0，b＞0，所以＋≥2＝4（当且仅当＝，即b＝2a，此时a＝3，b＝6时取等号），所以a＋b≥9. 技法3　消元法 【例3】　（必修第一册第58页5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为　6　. 解析：法一　∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝且b－1＞0，∴a＋b＝＋b＝1＋＋b＝＋b－1＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝b－1，即a＝b＝3时取得最小值. 法二　由ab＝a＋b＋3，可得（a－1）（b－1）＝4，又a＞0，b＞0，所以a＞1，b＞1，所以a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋2≥2＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取得最小值. 法三　因为ab＝a＋b＋3≤（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又因为a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）. 基本不等式的综合应用 【例4】　（2024·绍兴质检）若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是（　　） A.（－1，4） B.（－4，1） C.（－∞，－1）∪（4，＋∞） D.（－∞，0）∪（3，＋∞） 解析：C　因为两个正实数x，y满足＋＝1，所以x＋＝（x＋）（＋）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，因为不等式x＋＜m2－3m有解，所以m2－3m大于x＋的最小值，即m2－3m＞4，解得m＜－1或m＞4，即实数m的取值范围是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选C. 利用基本不等式解决实际问题 【例5】　单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0为安全距离，v为车速（m/s）.当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（　　） A.135　 B.149 C.165　 D.195 解析：B　由题意得，N＝＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B. 第五节　一元二次不等式及其解法 不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】　解下列不等式： （1）－3x2－2x＋8≥0； （2）≤1. 解：（1）原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即（3x－4）（x＋2）≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. （2）因为≤1，所以－1≤0，所以≤0，即≥0，此不等式等价于（x－4）（x－）≥0且x－≠0，解得x＜或x≥4，故原不等式的解集为{x｜x＜或x≥4}. 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】　解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）. 解：原不等式可化为（ax－1）（x－1）＜0， 因为a＞0，所以a（x－）（x－1）＜0. 所以当a＞1时，解为＜x＜1； 当a＝1时，解集为⌀； 当0＜a＜1时，解为1＜x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a＞1时，不等式的解集为. 三个“二次”间的关系 【例3】　已知函数y＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x｜m＜x＜m＋4}，则实数c的值为（　　） A.9　 B.8 C.6　 D.4 解析：D　由题意得＝0，∴b＝，又不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x｜m＜x＜m＋4}，∴方程x2＋ax＋－c＝0的根为m，m＋4，即m＋m＋4＝－a，解得m＝，∴m＋＝－2，又m2＋am＋－c＝0，∴c＝m2＋am＋＝（m＋）2＝4.故选D. 判别式法解决恒成立问题 【例1】　若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 解：原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a≥4}. 数形结合法解决恒成立问题 【例2】　已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.当x＞2时，不等式f（x）≥－1恒成立，求m的取值范围. 解：f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立， 令g（x）＝x2－mx＋2m－3， ①若≤2，即m≤4，如图（ⅰ）， 只需g（2）≥0， 即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立， ∴m≤4满足题意； ②若＞2，即m＞4，如图（ⅱ）， 只需Δ＝m2－4（2m－3）≤0， 则（m－2）（m－6）≤0，∴4＜m≤6. 综上所述，m的取值范围为{m｜m≤6}. 分离参数法解决恒成立问题 【例3】　∀x∈{x｜2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，求m的取值范围. 解：由不等式mx2－mx－1＜0，得m（x2－x）＜1， 因为x∈{x｜2≤x≤3}，所以x2－x＞0， 所以m（x2－x）＜1可化为m＜恒成立. 因为x2－x＝（x－）2－≤6， 所以≥，所以m＜. 故m的取值范围是{m｜m＜}. 主参换位法解决恒成立问题 【例4】　已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为　（－∞，1）∪（3，＋∞）　. 解析：把不等式的左端看成关于a的函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－4x＋4，则由f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2－5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组得x＜1或x＞3. 转化为函数（式子）的最值解决能成立问题 【例5】　已知f（x）＝2x2－12x＋10，若对于任意的x∈[1，3]，不等式f（x）≤2＋t能成立，则实数t的取值范围是　[－10，＋∞）　. 解析：不等式f（x）≤2＋t在x∈[1，3]上能成立，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥（2x2－12x＋8）min即可，不妨设g（x）＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g（x）在[1，3]上单调递减，所以g（x）≥g（3）＝－10，所以t≥－10. 学科网（北京）股份有限公司 $$