三角函数的图像与性质（1）学案-2025届高三数学二轮复习

专题三 三角函数与解三角形 三角函数的图像与性质（1） 学案 【复习目标】 应用三角函数的性质解决相关问题. 【重要考点、易错易混点的注释】 1.正弦、余弦、正切函数的单调性及对称性 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象的对称性 对称中心 （kπ，0），k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 直线x＝kπ＋，k∈Z 直线x＝kπ，k∈Z 无对称轴 单调性 单调递增区间： ［2kπ－，2kπ＋］，k∈Z； 单调递减区间： ［2kπ＋，2kπ＋］，k∈Z 单调递增区间： [2kπ－π，2kπ]，k∈Z； 单调递减区间： [2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 单调递增区间： （kπ－，kπ＋）， k∈Z； 无单调递减区间 最值 当x＝2kπ－，k∈Z时，y取最小值－1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，y取最大值1 当x＝2kπ＋π，k∈Z时， y取最小值－1；当x＝2kπ， k∈Z时，y取最大值1 无最值 2.三角函数图象的两种常见变换 （1）y＝sin xy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）； （2） y＝sin xy＝sin ωx y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）. 3.与三角函数的奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）； （2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）； （3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）. 易错易混点归纳 （1） y＝tan x在整个定义域内不单调； （2） 求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增、减区间的混淆； （3）三角函数图象变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化. 【典例探究】 考点一 三角函数的图象与解析式 学法指导：　求函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）解析式的方法： （1） 最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B， m＝－A＋B，解得B＝，A＝； （2）T定ω：由周期的求解公式T＝，可得｜ω｜＝； （3）点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”. 【例1】（1）（2023·全国甲卷）函数y＝f（x）的图象由函数y＝cos（2x＋）的图象向左平移 个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x－的交点个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 （2）如图，函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象与x轴交于点 R（，0），与y轴交于点P，其最高点为Q（，A）.若PQ⊥PR，则A＝（　　） A. B. C. D.2 考点二 三角函数的性质及应用 学法指导：此类问题的解题步骤可以归纳为：（1）分析奇偶性，周期性；（2）去绝对值，写成分段函数；（3）画出草图，结合图象和对称性的定义判断（包括代入必要的特殊值）；（4）应用复合函数的性质判断单调性、最值. 【例2】（1）若函数f（x）＝cos 2x－2cos x在区间上的最大值是－1，则a的取值范围是　　. （2）（多选）已知函数f（x）＝2（sin x＋｜sin x｜）cos x，则下列结论中正确的是（　　） A.f（x）的最小正周期为π B.f（x）的图象关于点（，0）中心对称 C.f（x）在［－，］上单调递增 D.f（x）的值域为[－2，2] （3）（多选）已知函数f（x）＝｜sin｜＋｜cos｜，则下列结论中正确的是（　　） A.函数f（x）的图象关于原点对称 B.函数f（x）的最小正周期为π C.函数f（x）的值域为[1，] D.设函数g（x）＝sin（x＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）与函数f（x）的奇偶性相同，且函数g（x）在（0，3）上单调递减，则ω的最小值为2 【训练检测】 1.将函数y＝sin（2x＋φ）（｜φ｜＜）图象上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度得到曲线C.若曲线C关于y轴对称，则φ＝（　　） A.－ B.－ C.－ D. 2.（2023·新高考Ⅱ卷）（三角函数的图象和性质）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f（x）的两个交点，若｜AB｜＝，则f（π）＝　　. 3.(2023·潮州模拟)若f(x)＝sin在区间[－t，t]上单调递增，则实数t的取值范围为(　　) A. B. C. D. 4.（多选）已知函数f（x）＝sin ωx＋cos ωx（ω＞0）满足：f（）＝2，f（）＝0，则（　　） A.曲线y＝f（x）关于直线x＝对称 B.函数y＝f（x－）是奇函数 C.函数y＝f（x）在（，）上单调递减 D.函数y＝f（x）的值域为[－2，2] 5.已知函数f（x）＝sin（2ωx－）（0＜ω＜1）的图象关于点（，0）对称，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）的一个单调递增区间是（　　） A.［－，］ B.[－π，π] C.［－，］ D.[0，2π] 6.函数f（x）＝2｜sin x｜＋cos 2x在［－，］上的单调递减区间为（　　） A.［－，－］和［0，］ B.［－，0］和［，］ C.［－，－］和［，］ D.［－，］ 7.（多选）已知函数f（x）＝sin｜x｜＋｜cos x｜，则下列叙述正确的有（　　） A.2π是函数y＝f（x）的一个周期 B.函数y＝f（x）是偶函数 C.函数y＝f（x）在区间［，］上单调递减 D.∀x1，x2∈R，｜f（x1）－f（x2）｜≤ 8.已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，φ∈）的部分图象如图，其中f（0）＝1，MN＝，则点M的坐标为　　. 阅读材料： 1.y＝｜sin x｜的图象与性质 y＝｜sin x｜的图象是将y＝sin x图象中x轴下方的图象沿x轴对折上去得到的（x轴上方图象保持不变），如图（1），因此可从图象上看出它的性质：①定义域为R；②值域为[0，1]；③图象关于y轴对称，偶函数；④在［kπ，kπ＋］（k∈Z）上单调递增，在［kπ－，kπ］（k∈Z）上单调递减；⑤周期为π. 2.y＝sin｜x｜的图象与性质 y＝sin｜x｜的图象是将y＝sin x图象中y轴左边部分除掉，再将y轴右边的部分对折到左边得到的（y轴右边图象保持不变），如图（2），因此可从图象上看出它的性质：①定义域为R；②值域为[－1，1]；③图象关于y轴对称，偶函数；④函数不是周期函数（由图象可知：x∈[－π，π]这部分图象永远不会重复出现，故不是周期函数）. 3.y＝｜sin x｜＋｜cos x｜的图象与性质 令f（x）＝｜sin x｜＋｜cos x｜，由f（x＋）＝｜sin（x＋）｜＋｜cos（x＋）｜＝｜cos x｜＋｜－sin x｜＝｜sin x｜＋｜cos x｜＝f（x），知f（x）是周期函数，最小正周期T＝. 先作x∈［0，］部分的函数图象，然后沿x轴向左、向右平移（每次平移个单位长度）可得到 y＝｜sin x｜＋｜cos x｜（x∈R）的图象，如图（3）. 因此从图象可以得到它的性质：①定义域为R；②值域为[1，]；③图象关于y轴对称，为偶函数；④在［－，］（k∈Z）上单调递减，在［，＋］（k∈Z）上单调递增；⑤周期为. 高三数学 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$