2.7 导数及其应用 学习任务单-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

《导数及其应用》学习任务单 一、学习目标 1、 回顾导数的概念，能用自己的话准确地描述导数的定义，像给小伙伴讲故事一样，让大家都能听懂。 2、 熟练掌握导数的基本公式，就像记住自己的小秘密一样熟练，能够快速准确地运用这些公式进行计算。 3、 理解导数在函数单调性、极值和最值方面的应用，并且能够像小侦探一样，通过导数这个线索，分析出函数的这些特性。 二、学习重难点 （一）重点 1、 导数概念的深入理解 咱们要像剥洋葱一样，一层一层深入理解导数的概念。不仅仅是记住定义的文字，更要理解它背后的意义。比如说，导数反映的是函数在某一点的变化率，这就好比是汽车在某一时刻的瞬时速度一样。 2、 导数公式的记忆与运用 这就像是我们在游戏中要记住各种技能的快捷键一样重要。这些导数公式是我们解决导数相关问题的基础工具，一定要熟练掌握。 3、 利用导数分析函数的性质 函数就像是一个神秘的宝藏，导数就是我们寻找宝藏的地图。通过导数，我们要能准确地找到函数的单调性、极值和最值这些宝藏。 （二）难点 1、 导数概念的抽象性理解 导数这个概念有点像天上的云朵，看起来有点抽象。尤其是对于导数的极限定义，要理解当自变量的增量趋近于0时，函数增量与自变量增量之比的极限这个概念，需要我们花费一些时间和精力去思考。 2、 导数在复杂函数中的应用 当函数变得像一个复杂的迷宫一样时，如何巧妙地运用导数去找到它的规律就变得很困难了。比如一些含有分式、根式或者多个函数复合的函数，要准确地求出导数并且分析其性质就不是那么容易啦。 三、学习过程 （一）导数概念复习（2天） 1、 阅读教材中导数概念的部分，然后试着用自己的话给同桌解释什么是导数。可以从我们生活中的例子出发，比如汽车行驶的速度变化、物体的温度变化等。 2、 做一些简单的关于导数概念的判断题，比如“导数就是函数的斜率”（这是错误的哦，要准确地指出错误原因）。 3、 思考这样一个问题：如果一个函数在某一点的导数不存在，那这个函数在这一点会有什么特殊的表现呢？ （二）导数公式学习（3天） 1、 制作导数公式的小卡片，一面写公式，另一面写一个简单的例子。每天抽10分钟来复习这些卡片，像背单词一样把导数公式牢记于心。 2、 进行导数公式的默写比赛，和小组的小伙伴们比一比谁写得又快又准。 3、 做一些基础的导数计算练习，例如求函数y = x^2 + 3x + 1的导数，在练习过程中加深对导数公式的理解和运用。 （三）导数在函数性质分析中的应用（5天） 1、 函数单调性 重新学习教材中关于导数与函数单调性关系的内容，总结出利用导数判断函数单调性的步骤，就像总结游戏攻略一样。 分析函数y = \sin x - x在区间[0, 2\pi]上的单调性。首先求出函数的导数y' = \cos x - 1，然后根据导数的正负性来判断函数在这个区间上的单调性。 自己找一些简单的函数，画出它们的图象，然后通过求导数来验证函数图象所反映出来的单调性是否与通过导数分析得到的结果一致。 2、 函数极值 理解函数极值的概念，就像理解山顶和山谷一样。极值是函数在某一局部范围内的最大值或者最小值。 对于函数y = x^3 - 3x^2 + 2，求其极值。先求导数y' = 3x^2 - 6x，然后令导数等于0，求出可能的极值点，再通过判断导数在这些点两侧的正负性来确定是否为极值点以及是极大值还是极小值。 思考这样一个问题：一个函数的极值点一定是导数为0的点吗？如果不是，能举个例子吗？ 3、 函数最值 明白函数最值与极值的区别和联系。最值是函数在整个定义域内的最大或者最小值，而极值只是局部的。 求函数y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1在区间[-2, 3]上的最值。先求出函数在这个区间内的极值，再比较极值和区间端点处的函数值，从而确定最值。 尝试改变函数的定义域，看看函数的最值会发生怎样的变化。 （四）综合练习与拓展（5天） 1、 做一些综合性的练习题，这些题目会涉及到导数概念、公式以及在函数性质分析中的应用。例如：已知函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d在x = -1处取得极值，且在x = 1处的切线方程为y = 3x + 1，求函数f(x)的表达式。 2、 小组讨论一些关于导数应用的拓展性问题，比如导数在物理学、经济学中的应用。每个小组选择一个应用领域，然后进行深入的研究，最后向全班同学汇报。 3、 尝试自己创造一些与导数相关的题目，然后和同学们互相交换解答，看看谁出的题目更有挑战性。 四、学习评估 1、 概念理解 能够准确地阐述导数的概念（20分）。 能正确地解释导数与函数单调性、极值、最值之间的关系（30分）。 2、 公式运用 导数公式的记忆准确无误，能够快速准确地进行导数计算（30分）。 3、 综合应用 能熟练地运用导数解决综合性的函数问题（20分）。 五、答案 1、 概念理解部分 导数的概念：导数是函数在某一点的瞬时变化率，它是通过极限的方法来定义的，即函数增量与自变量增量之比在自变量增量趋近于0时的极限。 导数与函数单调性：当函数的导数大于0时，函数在相应区间上单调递增；当导数小于0时，函数在相应区间上单调递减。导数与函数极值：在函数的极值点处，导数为0或者导数不存在。导数与函数最值：函数的最值可能在极值点或者区间端点处取得。 2、 公式运用部分 例如对于函数y = x^n，其导数公式为y' = nx^{n - 1}；对于函数y = \sin x，其导数为y' = \cos x；对于函数y = \cos x，其导数为y' = -\sin x等。根据这些公式可以准确地计算出各种函数的导数。 3、 综合应用部分 对于已知函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d在x = -1处取得极值，且在x = 1处的切线方程为y = 3x + 1的题目。 首先求f(x)的导数f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。 因为函数在x = -1处取得极值，所以f'(-1) = 3a - 2b + c = 0。 又因为在x = 1处的切线方程为y = 3x + 1，所以f(1) = a + b + c + d，f'(1) = 3a + 2b + c = 3。 联立这些方程可以解得a = 1，b = 0，c = - 3，d = 3，所以函数f(x) = x^3 - 3x + 3。 学科网（北京）股份有限公司 $$