利用导数研究不等式学案（2） -2025届高三数学一轮复习

专题二 函数与导数 利用导数研究不等式（2） 学案 【复习目标】 1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大． 1、考点归纳 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 2、 易错易混点归纳 解决压轴题中方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，否则偏离方向. 【重要考点、易错易混点的注释】 利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式. 若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)<g(x)，x∈(a，b). (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题. ①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I). ②∃x∈I，使f(x)>g(x)成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I). ③对∀x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. ④对∀x1∈I，∃x2∈I使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min. 【典例探究】 考点三 隐零点问题 学法指导：处理隐零点的基本方法是“虚设及代换”：在确定零点存在的条件下虚设零点x0，再借助零点的表达式进行合理的代换（常见形式就是“指对转幂”），进而求解. 【例3】已知函数f（x）＝aex－bx.当a≥1时，f（x）≥ln x＋，求整数b的最大值. 　 考点四 极值点偏移问题 学法指导：解决极值点偏移问题的方法 （1）对称构造法：设f（x）的极值点为x0，构造函数g（x）＝f（x）－f（2x0－x）或构造函数g（x）＝f（x0＋x）－f（x0－x）证明不等式； （2）比（差）值换元法：对不等式进行变形，换元t＝（或t＝x2－x1），把不等式转化为单变量不等式进行证明. 【例4】已知函数f（x）＝xe－x（x∈R）.若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），求证：x1＋x2＞2.： 　 【训练检测】 1、已知x＝为函数f（x）＝ln x－ax＋a的极值点. （1）求a； （2）证明：当0＜x＜时，xf（x）＋（x－）2＞0. 2．已知函数f（x）＝x－aex有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），求证：x1＋x2＞2. 高三理科数学第二轮复习 第 2 页 共 4 页 高三理科数学第二轮复习 学科网（北京）股份有限公司 $$