利用导数研究不等式学案（1）-2025届高三数学一轮复习

专题二 函数与导数 利用导数研究不等式（1） 学案 【复习目标】 1.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大． 1、考点归纳 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 2、 易错易混点归纳 解决压轴题中方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，否则偏离方向. 【重要考点、易错易混点的注释】 利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式. 若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)<g(x)，x∈(a，b). (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题. ①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔I是f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I). ②∃x∈I，使f(x)>g(x)成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I). ③对∀x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. ④对∀x1∈I，∃x2∈I使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min. 【典例探究】 考点一 恒成立问题 学法指导：利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 【例1】已知函数f（x）＝2ax3＋x.若x∈（1，＋∞）时，恒有f（x）＞x3－a，求a的取值范围. 考点二 双变量问题 学法指导：双变量极值点或零点模型是指已知含有参数的函数解析式，配以一定的条件（函数的极值点或零点），证明双变量不等式成立的一种模型.解决此类问题的关键点如下： 【例2】　已知函数f（x）＝aex－x－a（a∈R）. （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：对任意a∈（0，1），存在正数b使得aeb＝a＋b，且2ln a＋b＜0. 【训练检测】 1、已知函数f（x）＝（x＋1）ln x－a（x－1），若当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围. 2、已知f（x）＝ln x－mx（m＞0），g（x）＝x－（a＞0）. （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若m＝，∀x1，x2∈[2，2e2]，g（x1）≥f（x2），求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$