导数的简单应用学案（1）-2025届高三数学一轮复习

专题二 函数与导数 导数的简单应用（1） 【复习目标】 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题． 1、考点归纳 1．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 2．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x. 3、利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)求f(x)的导数f′(x)； (3)求出f′(x)的零点，划分单调区间； (4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号． 2、易错易混点归纳 利用导数研究函数的极值、最值的注意事项 (1)不能忽略函数f(x)的定义域； (2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件； (3)函数的极小值不一定比极大值小； (4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 【典例探究】 考点一 导数的几何意义与计算 学法指导：求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点． 【例1】　 (1)若曲线在点处的切线方程为，则（  ） A．3 B． C．2 D． （2）若，则的切线的倾斜角满足（ ） A．一定为锐角 B．一定为钝角 C．可能为直角 D．可能为0° (3)已知，若过一点可以作出该函 数的两条切线，则下列选项一定成立的是（ ）    A． B． C． D． 考点二 利用导数研究函数的单调性 学法指导：函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现.常见的题型及其解法.如由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围. 【例2】（1）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． (2)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞) 考点三 利用导数研究函数极值与最值的方法 学法指导：（1）若求极值，则先求方程f'（x）＝0的根，再检查f'（x）在方程根的左右函数值的符号； （2）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f'（x）＝0根的大小或存在情况来求解； （3）求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较，从而得到函数的最值. 【例3】　（1）已知aln a＝beb，b＞0，则 的最大值为（　　） A.e2 B. C. D.－ （2）（多选）（2023·新高考Ⅱ卷）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 　 【训练检测】 1、（多选）若直线y＝x＋b是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（　） A.f（x）＝ B.f（x）＝x4 C.f（x）＝sin x D.f（x）＝ex 2．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf'（x）的图象可能是（　　） 3．已知函数f(x)＝x2－aln x＋1在(1，3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，18) B．[2，18] C．(－∞，2)∪[18，＋∞) D．[2，18) 4.已知函数f（x）＝xex－，则（　　） A.f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上单调递减 B.f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上先递减再递增 C.f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递减 D.f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上先递减再递增 5、若x＝2是函数f（x）＝ax2－x－2ln x的极值点，则函数f（x）（　） A.有最小值－2ln 2，无最大值 B.有最大值－2ln 2，无最小值 C.有最小值－2ln 2，最大值2ln 2 D.无最大值，无最小值 6、已知函数f(x)＝＋mln x－2x，x∈(0，＋∞)有两个极值点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(0，1) 7、已知函数f（x）＝x3＋x2－2x＋1，若函数f（x）在（2a－2，2a＋3）上存在最小值，则实数a的取值范围是　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$