函数图像与性质学案（2）-2025届高三数学一轮复习

函数的图像与性质（2） 学案 【复习目标】 考点归纳 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上. 2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题． 2、重要考点 1．函数的周期性 (1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)； (2)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)； (3)若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)； (4)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a(a≠0)． 2.函数的周期性与对称性的关系 （1）若函数有两个对称中心（a,0）、（b,0），则函数的一个周期是T=2|a-b|； （2）若函数有两条对称轴x=a，x=b，则函数的一个周期是T=2|a-b|； （3）若函数有一个对称中心（a,0），一条对称轴x=b，则函数的一个周期是T=4|a-b|. 反之，以上结论也成立。 【易错易混点的注释】 1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则． 2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围． 3．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化． 4. 注意函数的自对称和互对称的区别. 【典例探究】 考点一 利用周期性和对称性解决函数问题 学法指导：熟练应用函数的对称性与周期性之间的转化解决相关问题，在选择填空题当中，正确记忆相关结论可以帮助我们更快的解决相关问题。奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。 【例1】（1）（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． （2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（    ） A． B． C． D． 考点二 类周期函数 学法指导：类周期函数，主要是其函数图象在相邻周期内，函数的值域呈现倍数关系，解题过程中注意分辨值域是如何变化的。 【例2】（2023·四川·高三阶段练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 考点三 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 学法指导：对于抽象函数的解题应用，要注意赋值法在其中的应用。 【例3】（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在区间上单调递减 C．是上的偶函数 D．函数有6个零点 【训练检测】 1.（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足对任意实数有，若的图象关于直线对称，，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2.（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数及其导函数定义域均为，为奇函数，，，则正确的有（    ） ①；②；③；④. A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 3.（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为的函数满足，当时，.若时，恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4.（多选题）（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，为奇函数，，则（    ） A． B． C． D． 5.（2023·四川泸州·高三校考阶段练习）给出下列命题：对于定义在上的函数，下述结论正确的是 ． ①若，则的图象关于直线对称； ②若是奇函数，则的图象关于点对称； ③若函数满足，则； ④若关于的方程有解，则实数的取值范围是． 【真题回顾】 1．（2021•甲卷）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　 A． B． C． D． 2．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则　　 A． B． C．（2） D．（4） 3．（2020•新课标Ⅱ）若，则　　 A． B． C． D． 4．（2023•甲卷）若为偶函数，则　　． 5．（2023•全国）为上奇函数，，（1）（2）（3）（4）（5），　　． 6．（2021•新高考Ⅰ）已知函数是偶函数，则　　． 高三数学 第 1 页（共 2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$