函数图像与性质学案（1）-2025届高三数学一轮复习

函数的图像与性质（1） 学案 【复习目标】 考点归纳 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上. 2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题． 2、重要考点 1.单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 3．函数图象的对称性 （1）函数的“自对称性” ①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； ②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称； ③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称． （2）函数的“互对称性” ①已知函数和，则两函数关于直线对称； ②已知函数和，则两函数关于点中心对称。 【易错易混点的注释】 1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则． 2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围． 3．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化． 【典例探究】 考点一 函数单调性的综合应用 学法指导：正确判断函数的单调性，利用单调性的性质解不等式；分段函数的单调性要注意端点值的大小比较。 【例1】（1）（2023·河南新乡·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点二 函数的奇偶性的综合应用 学法指导：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)。注意函数的定义域要关于原点对称。 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点三 函数对称性的应用 学法指导：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称；(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称． 【例3】（2023·陕西汉中·高三校联考期中）已知函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（    ） A．0 B．m C． D． （2023·全国·高三竞赛）函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（    ） A．3 B． C． D． 【训练检测】 1.（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知是偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2023·江西萍乡·高三统考期中）定义在上的偶函数满足：对任意，有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3.（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）函数满足：对，都有，则a+b为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知函数满足为奇函数，若函数与的图象的交点为，，…，，则等于（    ） A． B． C． D． 5.（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知函数,则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【真题回顾】 1．（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则　　 A． B．0 C． D．1 2．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 3．（2023•乙卷）已知是偶函数，则　　 A． B． C．1 D．2 4．（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则　　 A． B． C． D． 5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为，且，（1），则　　 A． B． C．0 D．1 高三数学 第 1 页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $$