平面向量学案-2025届高三数学一轮复习

平面向量 【复习目标】 学会等和线及应用、极化恒等式和向量中的隐圆问题等在平面向量中的应用 【重要考点】 知识点一 等和线及应用 　　由教材中的向量共线定理可以得出一个重要结论(三点共线向量结论):若A,P,B三点共线,则=λ+μ,且λ+μ=1。 把此结论推广即得等和线定理: 平面内一组基底,及任一向量,=λ+μ(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,且k===,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线。 (1)当直线AB在O点和等和线之间时,k∈(1,+∞); (2)当等和线恰为直线AB时,k=1; (3)当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(0,1); (4)当等和线过O点时,k=0; (5)当O点在等和线和直线AB之间时,k∈(-∞,0)。 知识点二 极化恒等式 极化恒等式:设a,b是两个平面向量,则有a·b=[(a+b)2-(a-b)2]或4a·b=(a+b)2-(a-b)2。 几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的。 三角形模式:如图,在△ABC中,若AM是BC边的中线,则=-=-。 知识点三 向量中的隐圆问题 　向量中的“隐”圆问题即是向量的几何意义,结合圆的定义构造圆,利用圆的性质解题,特别是向量的模的问题、垂直问题常结合向量的线性运算构造“隐”圆解题. 【典例探究】 考点一 等和线及应用 学法指导：若A,P,B三点共线,则=λ+μ,且λ+μ=1。 【例1】（1）（求基底系数的和）如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点。若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于 (　　) A.1 B. C. D. （2）（求基底系数和的最值(范围)　在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,若=λ+μ,求λ+μ的最大值。 考点二 极化恒等式 学法指导：设a,b是两个平面向量,则有a·b=[(a+b)2-(a-b)2]或4a·b=(a+b)2-(a-b)2。 【例2】已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值为 (　　) A.-3 B.-6 C.-2 D.- 考点三 向量中的隐圆问题 学法指导：向量中的“隐”圆问题即是向量的几何意义,结合圆的定义构造圆,利用圆的性质解题,特别是向量的模的问题、垂直问题常结合向量的线性运算构造“隐”圆解题. （三角形的外接圆）已知向量a,b满足|a|=2,且b与b-a的夹角为,则|b|的最大值为　　　　。 【训练检测】 1．已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（    ） A． B． C．2 D． 2.（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，是的中点，、是上的两个三等分点，，，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D． 3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别是边BC,AC上的动点,且EF=1,H为EF的中点,则的最小值等于　　　　。  4.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=,a·b=-1,且向量a-c,b-c的夹角为,则|c|的最大值为　　　　。 5.（2024·河北保定）已知点在棱长为1的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为 ． 6.（2024·广东深圳）青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 ．    7.已知抛物线准线为，焦点为，点，在抛物线上，点在上，满足：，，若，则实数 . 【阅读材料】 奔驰定理：如图,已知P为△ABC内一点,则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0。 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似,我们把它称为“奔驰定理”。 推论:已知P为△ABC内一点,且x+y+z=0(x,y,z∈R,xyz≠0,x+y+z≠0),则有 (1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|。 (2)=,=,=。 (1)已知O是△ABC内部一点,满足+2+m=0,且=,则实数m等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知点A,B,C,P在同一平面内,=,=,=,则S△ABC∶S△PBC等于 (　　) A.14∶3 B.19∶4 C.24∶5 D.29∶6 高三数学 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$