2.1不等式学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

01不等式 学案 姓名：______________班级：______________学号：______________ 【学习目标】 1.会利用基本不等式求最值 【学习重点】 基本不等式的应用 【学习难点】 多项式的变形，转化为基本不等式可以求值的形式，容易忽略取等条件. 【学习流程】 一、知识归纳 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 二、典型例题 考点一：基本不等式二元式 学法指导：如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．不等式可变形为：或，其中． 【典例1】已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点二：和式与积式 学法指导：可以考虑三角换元或多次使用不等式，但是要注意取等条件. 【典例2】（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则　　 A． B． C． D． （2021•天津）已知，，则的最小值为 　　． 考点三：齐次化与不等式最值 学法指导：关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。 【典例3】（2023·陕西咸阳·高二统考期中）已知（），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 三、训练检测 1.（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为 　　． 2.（2023·福建莆田）实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知a，b为正实数，且，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为8 C．的最小值为 D．的最小值为 4.（多选题）（2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知，，则（   ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 5.（多选题）（2023·湖北·高三校联考期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 6.（2023·湖南长沙）已知，，，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 高三数学 第 1 页（共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$