宁夏银川市景博中学2024-2025学年高三上学期质量检测（三）数学试题

第 1页，共 2页 银川市景博中学 2024-2025 学年高三年级第一学期质量检测（三） 高三数学试题 班级：___________姓名：___________考号：___________ 时间： 120 分钟 分值：150 分 Ⅰ卷 一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题列出的选项中，只有一项是符合要 求。） 1．已知集合    22, , log 1A a B x x   ，且 A B 有 2个子集，则实数 a的取值范围为（ ） A． ( ,0) B． ( , 2) C． (0,2) D．[2, ) 2．已知复数 z满足  i 2 3 4iz   ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量    1, 1 , , 2a x b x     ，则（ ） A．“ 2x   ”是“ a b   ∥ ”的充分条件 B．“ 1x  ”是“ a b  ”的充分条件 C．“ 2x   ”是“ a b  ”的必要条件 D．“ 2 3 x  ”是“ a b   ∥ ”的必要条件 4．双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的右焦点为 ( 3,0)F ，且点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1，则双曲线C 的离心率为（ ）. A． 6 2 B． 3 2 4 C．2 3 D． 2 3 3 5．   52x y x y  的展开式中 3 3x y 的系数是（ ） A．﹣10 B．0 C．10 D．30 6．已知函数    sin 3cos 0f x x x     的最小正周期是π，将  f x 的图象向右平移 个单位后得到函数  g x 的 图象，若  g x 为偶函数，则正实数 的最小值是（ ） A． 2π 3 B． π 6 C． π 3 D． π 12 7．如图，为了测量河对岸两点 ,C D间的距离，现在沿岸相距 2km的两点 ,A B处分别测得 105 , 60 , 45 , 60BAC BAD ABC ABD          ，则 ,C D间的距离为（ ） A． 2km B． 3km C． 2km D． 2 2km 8．已知函数   2( 1)exf x x a ax a a      ，当 1x  时，   0f x  恒成立，则a的取值范围是（ ） A．  , e B．[1, ]e C． e,  D．[0,e] 二、多选题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分。） 9．已知抛物线C与抛物线 2 4y x 关于 y 轴对称，则下列说法正确的是（ ） A．抛物线C的焦点坐标是  1,0 B．抛物线C关于 y 轴对称 C．抛物线C的准线方程为 1x  D．抛物线C的焦点到准线的距离为 2 10．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲 正弦函数的解析式为 e esinh 2 x x x   ，双曲余弦函数的解析式为 e ecosh 2 x x x   （其中 e为自然对数的底数），则下列 说法正确的有（ ） A． sinh coshy x x  是奇函数 B．函数 sinh cosh xy x  的值域为  1,1 C． 2 2(sinh ) (cosh ) 1x x  D．双曲正弦函数的反函数为 2ln( 1 )y x x   11.闵可夫斯基距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为  1 2, , , nA a a a  和  1 2, , , nB b b b  ，这两组数据 间的闵氏距离定义为 1 1 ( ) n qq AB k k k d q a b          ，其中 q表示阶数. 则下列说法正确的有（ ） A．若 (1,2,3,4), (0,3,4,5)A B  ，则 (1) 4ABd  ； B．若 ( , 1), ( 1, )A a a B b b    ，其中 ,a bR ，则 (1) 2 (2)AB ABd d ； C．若  , , ( , 1)aA a e B b b   ，其中 ,a bR ，则 (2)ABd 的最小值为 2 . D．若 ( , ), ( , )A a b B c d  ，其中 , , ,a b c dR，则 (1) (2)AB ABd d ； 第 2页，共 2页 Ⅱ卷 三、填空题（本大题共 3小题，每题 5分，共 15 分。） 12．已知四个函数：① exy   ，② lny x  ，③ y x ，④ y x ，从中任选 2 个，则事件“所选 2 个函数的图象有 且仅有一个公共点”的概率为 . 13．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点均在球O上， PB 平面 ,ABC ABC 为等腰直角三角形，A 为直角顶点．若 13PA  ，且 tan 2 3PAB  ，则球O的表面积为 ． 14．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取 10 名同学，数学成绩 x和物理成 绩 y的样本线性相关系数为 4 5 ，物理成绩 y与化学成绩 z的样本线性相关系数为12 13 ，求 ,x z的样本线性相关系数的 最大值为 . 四、解答题（本大题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是直角梯形， 90BAD CDA    ，PA 平面 ABCD，Q是 PB的中点， 1, 2PA AD DC AB    ． (1)证明： //CQ 平面 PAD； (2)求点Q到平面PAC 的距离． 16．（本小题满分 15 分）随着国家以旧换新政策的深入实施与完善，某商场现有更换电视机与洗衣机的活动，经调 查统计居民更换电视机的概率为 0.6，更换洗衣机的概率为 0.4，两种电器都不更换的概率为 0.2. (1)求居民甲至少更换一种电器的概率； 居民甲更换洗衣机且更换电视机的概率； 居民甲在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率； (2)若至少更换一种电器视为参加了以旧换新活动，现有居民甲,乙,丙,丁,戊五人，是否参加活动相互独立，求参加活 动居民人数 X的分布列，并求出期望与方差. 17．（本小题满分 15 分）已知函数     2 1 1 lnax a x x f x x     ． (1)当 0a  时，求  f x 的最大值； (2)若  f x 有且只有 1 个极小值点，求 a的取值范围． 18．（本小题满分 17 分）一动圆C与圆 2 21 1: ( 1) 4 C x y   外切，与圆 2 22 49: ( 1) 4 C x y   内切. 设动圆圆心C的轨 迹为Γ (1)求曲线Γ的方程； (2)直线 l与曲线Γ分别交于A,B两点,以A,B为直径的圆过坐标原点 O，动点M 在 l上，且 , ,MA OM MB 成等比 数列，求动点M 的轨迹方程. 19．（本小题满分 17 分）错位重排是一种数学模型.通常表述为：编号为1,2,3, ,n 的 n封信，装入编号为1,2,3, ,n 的 n个信封，若每封信和所装入的信封的编号不同，问有多少种装法？这种问题就是错位重排问题.上述问题中，设 n封信均被装错有 na 种装法，其中 1 0a  . (1)求 2 3 4, ,a a a ； (2)写出 2 1, ,n n na a a  之间的递推关系（无需证明），并证明：   1 1n na n a   是等比数列； (3)请问 n封信均被装错的概率是否大于 1 e ？并说明理由.（参考公式： 2 3 1 2! 3! ! x nx x xx n       e  ） 参考答案： 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B B A C D A D ACD ABD ABC 2． 填空题 12. 13. 14. 3． 解答题 15．（1）取的中点，连接， 因为，所以，， 因为分别是中点，得出，， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面； （2） 16．（1）设事件“更换电视机”，事件“更换洗衣机”， 因为， 至少更换一种电器的概率 由得更换洗衣机且更换电视机的概率 则在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率 （2）. 17. (1) (2)． （1）当时，，， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取最大值，最大值为． （2），， 则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以无极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 所以当时，取得极小值，且只有一个，符合题意； 当时，，所以单调递增，不存在极小值点，不符合题意； 当时，，在，上，，单调递增； 在上，，单调递减， 此时当时，取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上，的取值范围为． 18.(1) (2) 19．(1) (2)；证明见解析； (3)答案见解析； （1）由题意可得， （2）若有封信时，其装法可分为两个步骤： 第一步：编号为的信，有种装法； 第二步：重装其余的封信，根据第一步装法可分为两类， 第一类，若编号为的信，装入编号为的信封，，但编号为的信装入编号为的信封，这样有种装法； 第二类，若编号为的信，装入编号为的信封，，但编号为的信不装入编号为的信封，这样有种装法； 由分步乘法和分类加法计数原理， 所以， 证明：， 因为， 所以是以首项，公比为的等比数列， （3）由（2）知：， 所以， 所以， 又因为封信全装错的概率为， ，所以， 当为奇数时：， 当为偶数时：， 所以当为奇数时，封信均被装错的概率小于， 当为偶数时，封信均被装错的概率大于. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$答案第 1页，共 1页 参考答案： 一．选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答 案 C B B A C D A D ACD ABD ABC 二．填空题 12. 1 2 13.14 14. 63 65 三．解答题 15．（1）取 PA的中点T，连接 ,DT TQ， 因为 90BAD CDA     ，所以 //AB DC， 2, 1AB AD  ， 因为 ,T Q分别是 ,PA PB中点，得出 // //TQ AB DC， 1 2 TQ AB DC  ， 所以四边形DCQT 是平行四边形，所以 //DT CQ， DT 平面 PAD，CQ 平面 PAD，所以 //CQ 平面 PAD； （2） 2 2 16．（1）设事件 A“更换电视机”，事件B  “更换洗衣机”， 因为   0.2P AB  ， 至少更换一种电器的概率   1 ( ) 0.8P A B P AB   由     ( ) ( )P A B P A P B P AB   得更换洗衣机且更换电视机的概率   0.2P AB  则在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率   ( ) ( ) ( ) 0.4 2( ) 1 ( ) 0.6 3 P AB P A P ABAP B P B P B       （2） ~ (5,0.8)X B . ( ) 4, ( ) (1 ) 0.8E X np D X np p     17. (1) 1 (2)    0,1 1,   ． （1）当 0a  时，   1 ln 1 lnx xf x x x x       ， 0x  ， 则   2 2 1 1 1 xf x x x x     ，当  0,1x 时，   0f x  ，当  1,x  时，   0f x  ， 所以  f x 在  0,1 上单调递增，在  1, 上单调递减， 所以  f x 在 1x  时取最大值，最大值为  1 1f   ． （2）    1 1 lnf x ax a x x     ， 0x  ， 则     2 2 1 11 1 ax xaf x a x x x       ， 当 0a  时， 1 0ax- < ，所以当  0,1x 时，   0f x  ，  f x 单调递增； 当  1,x  时，   0f x  ，  f x 单调递减，所以  f x 无极小值点，不符合题意； 当 0 1a  时， 1 1 a  ，在  0,1 ， 1 , a      上，   0f x  ，  f x 单调递增； 在 11, a       上，   0f x  ，  f x 单调递减， 所以当 1x a  时，  f x 取得极小值，且只有一个，符合题意； 当 1a  时，     2 2 1 0 x f x x     ，所以  f x 单调递增，  f x 不存在极小值点，不 符合题意； 当 1a  时， 10 1 a   ，在 10, a       ，  1, 上，   0f x  ，  f x 单调递增； 在 1 ,1 a       上，   0f x  ，  f x 单调递减， 此时当 1x  时，  f x 取得极小值，且只有一个，符合题意． 综上， a的取值范围为    0,1 1, ． 18.(1) 2 2 1 4 3 x y   (2) 2 2 12 7 x y  19．(1) 2 3 41, 2, 9a a a= = = (2)   2 11n n na n a a    ；证明见解析； (3)答案见解析； （1）由题意可得 2 3 41, 2, 3 3 1 1 9a a a= = = ， （2）若有 2n  封信时，其装法可分为两个步骤： 第一步：编号为 2n  的信，有 1n  种装法； 第二步：重装其余的 1n  封信，根据第一步装法可分为两类， 第一类，若编号为 2n  的信，装入编号为 k的信封， 1, 2, , 1k n  ，但编号为 k 的信装入编号为 2n  的信封，这样有 na 种装法； 第二类，若编号为 2n  的信，装入编号为 k的信封， 1, 2, , 1k n  ，但编号为 k 的信不装入编号为 2n  的信封，这样有 1na  种装法； 由分步乘法和分类加法计数原理， 所以   2 11n n na n a a    ， 证明：                2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n a n a n a a n a a n a a n a a n a a n a                            ， 因为 2 12 1a a  ， 所以   1 1n na n a   是以首项 2 12 1a a  ，公比为 1 的等比数列， （3）由（2）知：     11 1 1 n n na n a       ， 所以           1 1 1 1 1 1 ! ! 1 ! 1 ! n n n na a n n n n           ， 所以              1 21 1 2 2 2 1 1 1 1 ! ! 1 ! 1 ! 2 ! 2! 2! 1! ! 1 ! 2! n n n n n n na a a a a a a a n n n n n n n                         ， 又因为 n封信全装错的概率为 ! na n ， 2 3 1 2! 3! ! x nx x xx n       e  ，所以       2 3 1 1 1 11 e 1 1 e 2! 3! ! n n           ， 当 n为奇数时：             1 1 1 1 1 1 3 0 e ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 2 ! 4 ! na n n n n n n n n n                                  ， 当 n为偶数时：             1 1 1 1 1 1 3 0 e ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 2 ! 4 ! na n n n n n n n n n                                    ， 所以当 n为奇数时， n封信均被装错的概率小于 1 e ， 当 n为偶数时， n封信均被装错的概率大于 1 e . · 银川市景博中学2024-2025学年高三年级第一学期质量检测（三） · 高三数学试题 班级：___________姓名：___________考号：___________ 时间： 120分钟 分值：150分 Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，只有一项是符合要求。） 1．已知集合，且有2个子集，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 4．双曲线的右焦点为，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为（   ）. A． B． C． D． 5．的展开式中的系数是（    ） A．﹣10 B．0 C．10 D．30 6．已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。） 9．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为2 10．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（    ） A．是奇函数 B．函数的值域为 C． D．双曲正弦函数的反函数为 11.闵可夫斯基距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数. 则下列说法正确的有（    ） A．若，则； B．若，其中，则； C．若，其中，则的最小值为. D．若，其中，则； Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分。） 12．已知四个函数：①，②，③，④，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 . 13．已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球的表面积为 ． 14．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 16．（本小题满分15分）随着国家以旧换新政策的深入实施与完善，某商场现有更换电视机与洗衣机的活动，经调查统计居民更换电视机的概率为0.6，更换洗衣机的概率为0.4，两种电器都不更换的概率为0.2. (1)求居民甲至少更换一种电器的概率； 居民甲更换洗衣机且更换电视机的概率； 居民甲在不更换洗衣机的条件下，更换电视机的概率； (2)若至少更换一种电器视为参加了以旧换新活动，现有居民甲,乙,丙,丁,戊五人，是否参加活动相互独立，求参加活动居民人数X的分布列，并求出期望与方差. 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若有且只有1个极小值点，求的取值范围． 18．（本小题满分17分）一动圆与圆外切，与圆内切. 设动圆圆心的轨迹为 (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线分别交于两点,以为直径的圆过坐标原点O，动点在上，且成等比数列，求动点的轨迹方程. 19．（本小题满分17分）错位重排是一种数学模型.通常表述为：编号为的封信，装入编号为的个信封，若每封信和所装入的信封的编号不同，问有多少种装法？这种问题就是错位重排问题.上述问题中，设封信均被装错有种装法，其中. (1)求； (2)写出之间的递推关系（无需证明），并证明：是等比数列； (3)请问封信均被装错的概率是否大于？并说明理由.（参考公式：） 第2页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$