黄金卷02（广东省卷专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广东专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1．（本题3分）-2025的相反数是（     ） A． B． C．-2025 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是是解题的关键． 根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义，的相反数是， 故选：． 2．（本题3分）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（本题3分）年5月3日时分长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器飞向月球，至6月日时7分嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域，嫦娥六号的太空往返之旅历时天，完成往返万公里行程，实现了五星红旗首次在月球背面独立动态展示，填补了月球背面研究的历史空白，为我们理解月球背面与正面地质差异开辟了新的视角．数据用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 4．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可． 【详解】A．，故本选项原说法不符合题意； B．，故本选项原说法不合题意； C．，故本选项原说法不合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（本题3分）现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（　　） A．50cm长的木条 B．15cm长的木条 C．100cm长的木条 D．85cm长的木条 【答案】A 【分析】根据三角形三边不等关系可确定第三边的范围，根据范围即可确定． 【详解】设第三边的长为，则由三角形三边关系得：，即， 四个选项中只有A选项中的木条满足要求． 故选：A． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，确定第三边的范围是关键． 6．（本题3分）如图，四边形内接于，连接，，已知是等边三角形，是的平分线，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据等边三角形的性质、圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解∶是等边三角形， ， 是的平分线， ， ， 四边形内接于， ， ， 故选∶C． 7．（本题3分）六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：如图，过C作点所在的平行横线于，交点B所在的平行横线于，则， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：D． 8．（本题3分）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的符号分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】当时，一次函数经过一、二、三象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的负半轴，B不符合，C符合要求； 当时，一次函数经过一、二、四象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的正半轴，A、D选项均不符合； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象的知识，解题的关键是能够对系数的符号进行分类讨论，难度较小． 9．（本题3分）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据步骤得，是的垂直平分线， 是的角平分线，再根据内角和求得 ，再根据角平分线的性质得，根据内角和求得，即可求得，再根据是的垂直平分线，即可求得结果． 【详解】解：由步骤①可知是的垂直平分线，由步骤②可知是的角平分线 ，， 是的角平分线 ， 是的垂直平分线 故选A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键． 10．（本题3分）如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点A为中心的正方形EFGH边长为x（x＞0），EF∥AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三个时间段求出函数解析式即可判断； 【详解】①当0＜x≤4时，y＝=x2， ②当4＜x≤8时，y＝×4×4−2××（4−x）2＝−x2＋4x−8， ③当x＞8时，y＝8， 故B选项的函数图像符合， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．（本题3分）分解因式： ． 【答案】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b−ab3=ab(a−b2). 故答案为：ab(a−b2). 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 12．（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 13．（本题3分）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查实数的运算，原式先计算绝对值和立方根，然后再进行减法运算即可得到答案． 【详解】解： ． 14．（本题3分）如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为 平方米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据题意可得当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大，则叶片扫过的扇形圆心角度数最少为，据此利用扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解；当A、O、B三点共线时，点A与塔筒底端B距离最大， ∴叶片扫过的扇形圆心角度数最少为， ∴叶片扫过的面积至少为平方米， 故答案为：． 15．（本题3分）一个四位数，且满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：，为“善雅数”．求 ；若是“善雅数”，当最大时， ． 【答案】 138 1289 【分析】本题考查了新定义，理解新定义，掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据“善雅数”的定义直接进行求解即可； （2）根据当最大时，则最大，可以确定出，时，最大，即可求出结果． 【详解】解：根据题意“善雅数”的定义， ， 当最大时，则最大， ∴当，时，最大， 故答案为：，． 三、解答题（一）：本大题共三大题，每题7分，共21分. 16．（本题7分）先化简，再求值：，取你喜欢的整数x代入求值． 【答案】；当时，原式（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值．括号外分式的分子分母先分解因式，括号内通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的除法运算，最后代入使分式有意义的值进行计算即可． 【详解】解： ， 由以上步骤可知，x不等于0，，2，． 当时，原式．（答案不唯一） 17．（本题7分）某校开设了“”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表． 校本课程 　频数 　频率 36 0.45 　 0.25 16 8 　 　合计 1    请您根据图表中提供的信息回答下列问题： (1)统计表中的　 　，　 　； (2)“”对应扇形的圆心角为　 度； (3)根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数； (4)小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“”、“”、“”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率． 【答案】(1)80，0.20 (2)36 (3)500人 (4) 【分析】（1）根据题意列出算式，再求出即可； （2）根据题意列出算式，再求出即可； （3）根据题意列出算式，再求出即可； （4）先列出表格，再根据题意列出算式，再求出即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ， 故答案为：80，0.20； （2）解：“”对应扇形的圆心角的度数为： ， 故答案为：36； （3）解：估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为： （人）； （4）解：列表格如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种， 所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：． 【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率、用样本估计总体、频数分布表、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解答此题的关键． 18．（本题7分）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且． (1)求，的值； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)；6 (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键． （1）)把点B代入正比例函数、反比例函数关系式可求出，的值； （2）过点B作于点H，根据，求出点C的横坐标，求出，代入求出进而求得，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，． 又∵正比例函数的图象经过点， ，解得， ，． （2）解：如解图，过点B作于点H． 由（1）可知，正比例函数的表达式为x， 反比例函数的表达式为． ∵点C在正比例函数的图象上，且轴，， ∴点C的纵坐标为6． 对于，当时，， ∴点C的坐标为， ，点A的横坐标为4． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴点A的坐标为， ， ，， ． 四、解答题（二）：本大题共三大题，每题9分，共27分. 19．（本题9分）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 【答案】(1)见解析 (2)塑像的高约为 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是： （1）连接，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质得出，然后等量代换即可得证； （2）在中，利用正切的定义求出，在中，利用正切的定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 则． ∵， ∴． （2）解：在中，，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为． 20．（本题9分）【项目化学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用. 实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 运动速度 10 9 8 7 6 5 滑行距离 0 19 36 51 64 75 根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象： （1）请在图（b）中画出v与x的函数图象： 任务二：观察分析 （2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离： （4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______． 【答案】 （1）作图见详解 （2）； （3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离 （4） 【分析】（1）利用描点法解答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）令，求得小球停下来的时间，再将代入与的函数关系式解答即可； （4）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：（1）画出与的函数图象如下： （2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系， 设，代入，得： ， 解得：， 与的函数关系为； 设代入，得： ， 所得：， 与的函数关系式为； （3）当时， 解得：． 将代入得： ． 当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离． （4）假定经过秒小球追上小电动车， ， ． 由题意：， ． 若黑球不能撞上小车，则的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 21．（本题9分）为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同． (1)求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元； (2)当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元； (2)剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，根据“用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，根据“购入成本不超过3000元”可得出关于m的一元一次不等式，求得，再根据得到关于m的一次函数，利用二次函数的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元； （2）解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元， 根据题意得， 解得， 则， ∵， ∴随m的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， 答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元． 五、解答题（三）：本大题共2大题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．（本题13分）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】(1) (2)（i）最大距离为  （ii） 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）(i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 23．（本题14分）综合与实践 【问题初探】 (1)数学课上，李老师展示了这样一个问题：“如图，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：．” 如图，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明； 如图，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点作，交的延长线于点，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明． 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 (2)李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图，在中，点在边上，是的中点，连接，，与相交于点，若，求证：． 【学以致用】 (3)如图，在中，，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，若，请直接写出的长度． 【答案】(1)选择解题思路，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）选择解题思路，证明，得到，证明，得到，即可证明结论，再选择解题思路，进行证明即可； （2）延长至点，使得，连接，证明，得到，，证明，得到，即可证明结论； （3）延长至点，使得，连接，证明，得到，，证明，得到，，然后求出，进而可求出的长度． 【详解】（1）证明：选择解题思路， ，，， ， ，， ，即， ， ， ， ， ， ； 或选择解题思路， ， ， 又，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）证明：如答图，延长至点，使得，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ，， ， 又，即， ， ， ， ； （3）解：如答图4，延长至点，使得，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ，， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，平行线的性质与判定，特殊角度的三角函数，解题的关键是针对题目条件作出合适的辅助线，构造全等三角形解题． 试卷第22页，共22页 试卷第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广东省卷专用） 黄金卷 02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1．． 2．． 3．B． 4．D． 5．A． 6．（C． 7．D． 8．C． 9．A． 10．B． 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．ab(a−b2). 12．0（答案不唯一）． 13．1 14．、． 15．138 1289 三、解答题（一）：本大题共三大题，每题7分，共21分. 16．解： ，（5分） 由以上步骤可知，x不等于0，，2，． 当时，原式．（答案不唯一）（7分） 17．（1）解：根据题意可得： ， ， 故答案为：80，0.20；（2分） （2）解：“”对应扇形的圆心角的度数为： ， 故答案为：36；（3分） （3）解：估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为： （人）；（4分） （4）解：列表格如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种， 所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为：．（7分） 18．（1）解：∵反比例函数的图象经过点，． 又∵正比例函数的图象经过点， ，解得， ，． （3分） （2）解：如解图，过点B作于点H． 由（1）可知，正比例函数的表达式为x， 反比例函数的表达式为． ∵点C在正比例函数的图象上，且轴，， ∴点C的纵坐标为6． 对于，当时，， ∴点C的坐标为， ，点A的横坐标为4． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴点A的坐标为， ， ，， ．（7分） 四、解答题（二）：本大题共三大题，每题9分，共27分. 19．（1）证明：如图，连接． 则． ∵， ∴．（3分） （2）解：在中，，． ∵， ∴．（5分） ∵， ∴．（6分） 在中，， ∴． ∴． 答：塑像的高约为．（9分） 20．解：（1）画出与的函数图象如下： （2分） （2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系， 设，代入，得： ， 解得：， 与的函数关系为； 设代入，得： ， 所得：， 与的函数关系式为；（5分） （3）当时， 解得：． 将代入得： ． 当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离．（7分） （4）假定经过秒小球追上小电动车， ， ． 由题意：， ． 若黑球不能撞上小车，则的取值范围为． 故答案为：．（9分） 21．（1）解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；（4分） （2）解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元， 根据题意得， 解得， 则， ∵， ∴随m的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， 答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．（9分） 五、解答题（三）：本大题共2大题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：；（3分） （2）(i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为；（6分） 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为；（10分） (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: .（13分） 23．（1）证明：选择解题思路， ，，， ， ，， ，即， ， ， ， ， ， ；（4分） 或选择解题思路， ， ， 又，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ；（4分） （2）证明：如答图，延长至点，使得，连接， 是的中点， ，（5分） 又，， ， ，，（6分） ，， ，（7分） 又，即， ， ，（8分） ， ；（9分） （3）解：如答图4，延长至点，使得，连接， ，，， ， ，， ， ，（11分） ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ，，（13分） ，，， ， ， ．（14分） 试卷第8页，共9页 试卷第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（广东省卷专用） 黄金卷 02 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1．（本题3分）-2025的相反数是（     ） A． B． C．-2025 D． 2．（本题3分）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）年5月3日时分长征五号遥八运载火箭托举嫦娥六号探测器飞向月球，至6月日时7分嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域，嫦娥六号的太空往返之旅历时天，完成往返万公里行程，实现了五星红旗首次在月球背面独立动态展示，填补了月球背面研究的历史空白，为我们理解月球背面与正面地质差异开辟了新的视角．数据用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（　　） A．50cm长的木条 B．15cm长的木条 C．100cm长的木条 D．85cm长的木条 6．（本题3分）如图，四边形内接于，连接，，已知是等边三角形，是的平分线，则（　　）    A． B． C． D． 7．（本题3分）六线谱是世界上通用的一种专为吉他设计的记谱方法，它是由六根间隔相等的粗线组成的．如图是一个六线谱，A，B，C三点在同一直线上．若，则长为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，连接，分别与，交于点D和E；②以点A为圆心，任意长为半径作弧，交于点G，交于点H；③分别以点G和点H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；④作射线，分别交，于点F，Q．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点A为中心的正方形EFGH边长为x（x＞0），EF∥AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（　　） A．B．C． D． 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．（本题3分）分解因式： ． 12．（本题3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是 ．（写出一个即可） 13．（本题3分）计算： ． 14．（本题3分）如图为风力发电机的示意图，叶片外端A到旋转中心O的距离为20米，叶片当前在塔筒左侧且与塔筒夹角为．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最大时，叶片扫过的面积至少为 平方米．（结果保留） 15．（本题3分）一个四位数，且满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：，为“善雅数”．求 ；若是“善雅数”，当最大时， ． 三、解答题（一）：本大题共三大题，每题7分，共21分. 16．（本题7分）先化简，再求值：，取你喜欢的整数x代入求值． 17．（本题7分）某校开设了“”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表． 校本课程 　频数 　频率 36 0.45 　 0.25 16 8 　 　合计 1    请您根据图表中提供的信息回答下列问题： (1)统计表中的　 　，　 　； (2)“”对应扇形的圆心角为　 度； (3)根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数； (4)小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“”、“”、“”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率． 18．（本题7分）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且． (1)求，的值； (2)连接，求的面积． 四、解答题（二）：本大题共三大题，每题9分，共27分. 19．（本题9分）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角． (1)请仅就图2的情形证明． (2)经测量，最大视角为，在点P处看塑像顶部点A的仰角为，点P到塑像的水平距离为．求塑像的高（结果精确到．参考数据：）． 20．（本题9分）【项目化学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用. 实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 运动速度 10 9 8 7 6 5 滑行距离 0 19 36 51 64 75 根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象： （1）请在图（b）中画出v与x的函数图象： 任务二：观察分析 （2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离： （4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______． 21．（本题9分）为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同． (1)求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元； (2)当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 五、解答题（三）：本大题共2大题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．（本题13分）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 23．（本题14分）综合与实践 【问题初探】 (1)数学课上，李老师展示了这样一个问题：“如图，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：．” 如图，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明； 如图，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点作，交的延长线于点，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明． 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 (2)李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图，在中，点在边上，是的中点，连接，，与相交于点，若，求证：． 【学以致用】 (3)如图，在中，，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，若，请直接写出的长度． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$