上海市宝山区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（一模）

2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 第 1页 共 8页 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共 25题． 2．试卷满分150分．考试时间100分钟． 3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效． 4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共 6题，每题 4分，满分 24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上】 1. 在比例尺为 1∶500的图纸上，量得一座塔的高是 2.2厘米，那么它实际的高度是（ ▲ ） （A）11米； （B）110米； （C）22米； （D）220米． 2. 在 Rt△ABC中，∠C = 90º，如果 sinA = 2 1 ，那么 cosB的值是（ ▲ ） （A） 2 3 ； （B） 2 1 ； （C） 3 3 ； （D） 3． 3. 下列图形，相似的一组是（ ▲ ） （A）两个直角三角形； （B）两个等腰三角形； （C）有一个内角为 80°的两个菱形； （D）边长分别是 2厘米和 3厘米的两个菱形. 4. 在平面直角坐标系 xOy中，如果点( 1 3 ，a)、( 3 2 ，b)、(2，c)都在抛物线 22 3 y x 上， 那么（ ▲ ） （A） a b c  ； （B） c a b  ； （C）b c a  ； （D）b a c  . 5. 如图 1，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AB = CD = AD，∠B = 60°，设 aAB  ， bAD  ， 用向量 a、b的线性组合表示向量DC，结果正确的是（ ▲ ） （A） baDC  ； （B） baDC  ； （C） baDC 2 1  ； （D） baDC 2 1  ． 6. 如图 2，已知△ABC，∠ACB = 90°，BC = 2AC，延长 AC至点 D， 使 AD =AB，以 CD为边作正方形 CDEF，联结 BD、BE，BD交 EF于点 G．某同学得到以下两个结论： 图 2 图 1 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 第 2页 共 8页 ①G是线段 EF的黄金分割点； ② DEG BGF BDE BGE S S S S      ． 关于结论①和②，下列说法正确．．的是（ ▲ ） （A）①正确②错误； （B）①错误②正确； （C）①和②都错误； （D）①和②都正确． 二、填空题（本大题共 12题，每题 4分，满分 48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知 543 cba  ，那么 c ba 2 的值是 ▲ . 8. 计算：  )( 3 1 aba ▲ . 9. 计算：     30sin 30cot 60sin245sin2 ▲ . 10. 如果二次函数 mxmy  2)1( 的图像开口向下，那么 m的取值范围是 ▲ . 11. 如图 3，O是四边形 ABCD内一点，点 E、F、G、H分别在线段 AO、BO、CO、DO上， 如果 EF∥AB，FG∥BC，GH∥CD，且 EF = 2，AB = 5，AD = 6，那么 EH的长是 ▲ . 12. 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 2)1( 2  xy 关于 y轴对称的抛物线的表达式为 ▲ . 13. 在平面直角坐标系 xOy中，将抛物线 kmxay  2)( 先向左平移 3个单位，再向上平 移 4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是 x = -1，那么原抛物线的顶点的横坐标 是 ▲ . 14. 如图 4，在 Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E分别是边 AB、AC的中点，如果 BC = 4， △ADE的面积是 5，那么∠ACD的正切值是 ▲ . 15. 如图 5，在 Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 6， 4 3tan B ，D是斜边 AB上任意一点， 联结 CD，点 E、F分别是△ACD、△BCD的重心，那么四边形 CEDF的面积是 ▲ . 图 3 图 6图 4 图 5 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 第 3页 共 8页 16. 在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图 6，现有三角形纸片 （△ABC），已知∠ACB = 90°，AC = 40cm，BC = 30cm．裁剪出的正方形 CDEF的 一个顶点是直角顶点 C，其余三个顶点 D、E、F分别在边 AC、AB、BC上，那么正方 形的边长是 ▲ cm. 17. 一个二次函数的图像经过点（t，0），则称 t的值是这个函数的“零点”．例如：二次 函数 )0)(2)(3(  axxay ，无论 a取何值，这个函数的图像总经过点（3，0）和 点（-2，0），所以 3和-2是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零 点”-1，那么这个二次函数的解析式可以是 ▲ .（写出一个符合要求的函数解析 式即可） 18. 如图 7，已知△ABC，AB = AC = 4，∠B = 30°，D是边 BC的中点，线段 AB绕点 D顺 时针旋转得到对应线段 A’B’，线段 A’B’与边 AC、BC分别交于点 E、F．如果△EFC 是直角三角形，那么AE的长是 ▲ . 三、解答题（本大题共 7题，满分 78分） 19. （本题满分 10分，第(1)小题满分 3分，第(2)小题满分 7分） 一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含 30°角的直角三角形，另一块是含 45°角的直角三角形. 用这两块三角尺可以拼成一个四边形 ABCD（如图 8），设 AB a ． （1）用含 a的代数式直接表示：AD = ▲ ； （2）求BDC的正切值． 图 8 图 7 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 第 4页 共 8页 20. （本题满分 10分，第(1)小题满分 7分，第(2)小题满分 3分） 为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形 ABCD（如图 9），AB = 4 米，AD = 2米，斜坡 AB的坡角为 30°．计划将斜坡 AB改造成 坡比为 5.21∶ 的斜坡 AE(如图 10所示) ，坡面的宽度 AD不变． （1）求改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度； （2）改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 21. (本题满分 10分，第(1)小题满分 2分，第(2)小题满分 8分） 在平面直角坐标系 xOy中，已知 )5()1( nBnA ，，， 是抛物线 )0()( 2  akmxay 上的两点． （1） m ▲ ； （2）如果该抛物线与 x轴交于点 C、D（点 C在点 D的右侧），且 CD = 4，四边形 ABCD 的面积是 25，求这个抛物线的表达式． 图 9 图 10 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 第 5页 共 8页 22. （本题满分 10分，第(1)小题满分 4分，第(2)小题满分 6分） 如图 11，正方形 ABCD的边长是 3，点 E、F分别在边 AD、CD上，∠EBF = 45°，BE、 BF分别与对角线 AC交于点 G、H． （1）当∠ABE = ▲ °时，AG = CH，先补全条件，再说明理由； （2）如果 2CH ，求 BG的长． 23. （本题满分 12分，每小题满分各 6分） 学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们 的思考，请你和他们一起完成探究过程． 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似． 两个相似四边形的对应边的比，叫做这两个四边形的相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ① 四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ② 四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③ 相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 图 11 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 第 6页 共 8页 已知：如图，四边形 ABCD与四边形 A’B’C’D’相似，点 A、B、C、D分别与点 A’、B’、 C’、D’对应，四边形 ABCD与四边形 A’B’C’D’的相似比为 k． 求证： 2 '''' k S S DCBA ABCD  四边形 四边形 ． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题： 如图 12，已知矩形 ABCD， E、F分别是边 AD、AB上的点， ABAE 2 1  ， ADAF 2 1  ，联结 BE、DF交于点 G，试求 CDGB AEGF S S 四边形 四边形 的值． 图 12 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 第 7页 共 8页 24.（本题满分 12分，第(1)小题满分 4分，第(2)①小题满分 4分，第(2)②小题满分 4分） 如图 13，在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 42  axy 的顶点为 D，点 A、B在 抛物线上，且都在 y轴右侧，横坐标分别是 m、m+1． （1）联结 AD、BD，求 cot∠ODA - cot∠ODB的值（结果用含 a的代数式表示）； （2）如果 y轴上存在点 C，使得 AC⊥BC，且 AC = BC， ① 求抛物线的表达式； ② 若 10AB ，点 E在 y轴上，且△ADE与△ABC相似，求点 E的坐标． 备用图图 13 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 第 8页 共 8页 25.（本题满分 14分，第(1)小题满分 4分，第(2)小题满分 4分，第(3)小题满分 6分） 如图 14，已知△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 2，AC = 3，点 E、F分别在边 AC、AB 上（不与端点重合），BE⊥CF，垂足为点 D． （1）当 CE =1时，求 AF的长； （2）当 BE = CF时，求 tan∠CBE值； （3）联结 EF，如果△AEF是直角三角形，求这时四边形 BCEF的面积． 图 14 备用图 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.A； 2.B； 3.C； 4.A； 5.B； 6.D. 二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 2； 8. ； 9. 0； 10. m<1 ； 11. ； 12. ； 13. 2； 14.； 15. ； 16. 17. 等； 18. . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）E D 19. 解： （1）； …………………………………3分 （2）延长DC，过点B作BE⊥DC,垂足为点E.……………………………1分 ∵ACD = 90，ACB = 45， ∴BCE = 45，……………………………………………………………1分 ∵BE⊥DC，BC = a， ∴BE = BC·sinBCE = . …………………………………………1分 EC = BC·cosBCE = . …………………………………………1分 ∵ACD = 90，DAC = 30，AD =， ∴CD =，……………………………………………………………1分 ∵在Rt△BED中，tan∠BDC = ，…………………………………1分 ∴tan∠BDC = . ………………………………1分 20. 解：（1）延长EB,过点A作AF⊥EB,垂足为点F. ……………………………1分 ∵在Rt△BED中，ABF = 30，AB = 2， ∴， BF = AB·cos30 = ， …………………………………………………2分 ∵在Rt△AEF中，， ∴EF = 2.5AF = 5， …………………………………………………………2分 ∴ ………………………………………………1分 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度 ……1分 （2）混凝土材料: .……………2分 答：改建这条斜坡需要的混凝土材料. ……………1分 21. 解：（1） ； …………………………………2分 （2）由，可知抛物线的对称轴是直线x = 2， 而抛物线与x轴交于点C、D， 可得C（4，0），D（0，0），CD = 4，……………1分 由，可知四边形ABCD是梯形， AB=6， ………………………………………………1分 于是，即，…………………………………1分 解得n = 5，……………………………………………………………………………1分 将D（0，0），B（5，5），分别代入，得 ………1分 解得…………………………………………………………………………2分 所以，抛物线的表达式是．………………………………………1分 22. （1）当∠ABE = 22.5°时，AG = CH；……………………………………………1分 证明：∵在正方形ABCD中， ∴AB = BC，∠BAD =∠BCD = 90°， ∴∠BAG =∠BCH = 45°，……………………………………………………1分 ∵∠ABC = 90°，∠EBF = 45°，∠ABE = 22.5°，∴∠CBH = 22.5°， ∵∠ABG = 22.5°，∴∠ABG =∠CBH，………………………………………1分 ∴△ABG≌△CBH，……………………………………………………1分 ∴AG = CH. （2）解：过点H作HM⊥BC,垂足为点M. 在Rt△HMC中，，， ∵BCH = 45，， ∴， ，…………1分 ∴BM = BC-CM = 3-1 = 2，，………………1分 ∵在Rt△BCF中，∴，∴，…………………………1分 ∵∠BCH =∠EBF = 45°，∠AGE =∠BGH，∴△BGH∽△CFH，…………………1分 ∴，∴，……………………………1分 ∴.……………………………………………1分 23. （1）证明：连接BD、B’D’.…………………………………………………………1分 ∵四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似， ∴，，………………………………………………………1分 ∴， ∴，………………………1分 同理， ∴，…………………………………………………………1分 ∴，……………………………………………………………1分 ∴.…………………………………………………………………1分 （2）解：∵在正方形ABCD中， ∴∠A =∠C = 90°，AD∥BC，AB∥CD，AD = BC，AB = CD，…………………1分 ∴∠AEG =∠CBG，∠AFG =∠CDG，………………………1分 ∵，， ∴，即，∵∠A =∠A， ∴，∴∠AEG =∠AFG，……………………1分 ∴∠AEG =∠CDG，∠AFG =∠CBG， ∵， ∴，………………………………………………1分 ∵∠EGF =∠DGB， ∴四边形AEGF∽四边形CDGB，…………………………………………………1分 ∴.…………………………………………………………1分 24. 解：（1）过点A作AG⊥y轴，垂足为点G. 根据题意可得 …………1分 ∴， 在Rt△AGD中，， ∴cot∠ODA = -am， ………………………………1分 同理cot∠ODB = -a(m+1)， ………………………1分 ∴cot∠ODA -cot∠ODB = a， ……………………1分 （2）①过点A作AM⊥y轴，垂足为点M，过点B作BN⊥y轴，垂足为点N. ∴∠AMC =∠BNC = 90°，∴∠ACM +∠CAM = 90°， ∵AC⊥BC，∴∠ACM +∠BCN = 90°， ∴∠CAM =∠BCN， ∵AC = BC， ∴△AMC≌△BNC，………………1分 ∴AM = CN = m，CM = BN = m+1，∴MN = 2m+1， 由 ， ∴， ∴-a（2m+1）= 2m+1，…………………………………………………1分 ∴a = -1，…………………………………………………………1分 所以，抛物线的表达式是.………………1分 ②由 ， ∴， ∵，∴， 解得m = 1（负值不合题意舍去）， ………………1分 ∴A（1，3），B（2，0），C（1，0），cot∠ODA = 1，……………………1分 ∴，，∠ODA = 45， 由△ADE与△ABC相似 ， 当∠AED = 90°时，，，DE = 1，E（0，3）；…………1分 当∠DAE = 90°时，，，DE = 2，E（0，2）；…………1分 所以，点E的坐标是（0，3）或（0，2）. 25.（1）解：过点F作FG⊥AC轴，垂足为点G. ∴∠1+∠3 = 90°，同理∠1+∠2 = 90°，∴∠1 =∠3， ∵FG⊥AC，∠ACB = 90°，∴∠FGC =∠ECB， ∴△FGC∽△ECB，∴， ∵CE = 1，BC = 2，∴， 设FG＝x，则GC＝2x，AG＝3-2x，…………………………………………1分 在Rt△ABC中，BC = 2，AC = 3，∴， ∵∠A =∠A，∠AGF =∠ACB = 90°， ∴△AFG∽△ACB，∴，……………………………………1分 ∴，解得，……………………1分 ∴.…………………………………………1分 解：（2）由∠1 =∠3，∠FGC =∠ECB，BE = CF，可得△FGC≌△ECB， ∴GC = BC = 2，FG = CE，………………………………1分 由△AFG∽△ACB，∴， ∴，解得，……………………1分 ∴，……………………1分 在Rt△ECB中，， ∴ .………………………………1分 解：（3）△AEF是直角三角形， ①∠AFE = 90°， ∵BE⊥CF，∠ACB = 90°∴∠EDC = ∠ECB = 90°， ∵∠1 =∠1，∴△EDC∽△ECB， ∴，即， 同理可得，∴EF = EC， 同理可得BF = BC =2，……………………1分 设EF＝EC＝x，则AE＝3-x， 在Rt△ABC中，∴，即， 解得，…………………1分 ∴.…………………1分 ②∠AEF = 90°， ∵BE⊥CF，∴∠1+∠2 = 90°， 同理∠2+∠3 = 90°， ∴∠1 =∠3，又∠FEC =∠ECB = 90°， ∴△FEC∽△ECB，……………………1分 ∴， ，，， 由△AFE∽△ACB，可得，即， 解得（正值不合题意舍去） ，……………………1分 ∴.………………………………1分 所以,当△AEF是直角三角形时，四边形BCEF的面积为或. 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考 第 1页 共 7页 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考 一、选择题：（本大题共 6题，每题 4分，满分 24分） 1.A； 2.B； 3.C； 4.A； 5.B； 6.D. 二、填空题:（本大题共 12题，每题 4分，满分 48分） 7. 2； 8. ba 3 1 3 2  ； 9. 0； 10. m<1 ； 11. 12 5 ； 12.   21 2  xy ； 13. 2； 14. 5 2 ； 15. 8； 16. 7 120 17. 2)1(  xy 等； 18. 213 或 . 三、解答题：（本大题共 7题，满分 78分） 19. 解： （1） a 3 62 ； …………………………………3分 （2）延长 DC，过点 B作 BE⊥DC,垂足为点 E.……………………………1分 ∵ACD = 90，ACB = 45， ∴BCE = 45，……………………………………………………………1分 ∵BE⊥DC，BC = a， ∴BE = BC·sinBCE = a 2 2  …………………………………………1分 EC = BC·cosBCE = a 2 2  …………………………………………1分 ∵ACD = 90，DAC = ，AD = a 3 62 ， ∴CD = a 3 6 ，……………………………………………………………1分 ∵在 Rt△BED中，tan∠BDC = DE BE ，…………………………………1分 ∴tan∠BDC = 332 3 6 2 2 2 2   aa a  ………………………………1分 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考 第 2页 共 7页 20. 解：（1）延长 EB,过点 A作 AF⊥EB,垂足为点 F. ……………………………1分 ∵在 Rt△BED中，ABF = ，AB = 2， ∴ 2 2 1  ABAF ， BF = AB·cos = 32 ， …………………………………………………2分 ∵在 Rt△AEF中， 5.2 1  EF AF ， ∴EF = 2.5AF = 5， …………………………………………………………2分 ∴ .325 BFEFBE ………………………………………………1分 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度 .325 ）米（  ……1分 （2）混凝土材料:   341022325 2 1 2 1  ADAFBE .……………2分 答：改建这条斜坡需要 ）立方米（ 3410  的混凝土材料. ……………1分 21. 解：（1） 2m ； …………………………………2分 （2）由 2m ，可知抛物线的对称轴是直线 x = 2， 而抛物线与 x轴交于点 C、D， 可得 C（4，0），D（0，0），CD = 4，……………1分 由 )5()1( nBnA ，，， ，可知四边形 ABCD是梯形， AB=6， ………………………………………………1分 于是   25 2    CDABnS ABCD ，即   25 2 46  n ，…………………………………1分 解得 n = 5，……………………………………………………………………………1分 将 D（0，0），B（5，5），分别代入 kxay  2)2( ，得      ， ， 59 04 ka ka ………1分 解得      ， ， 4 1 k a …………………………………………………………………………2分 所以，抛物线的表达式是   42 2  xy ．………………………………………1分 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考 第 3页 共 7页 22. （1）当∠ABE = 22.5°时，AG = CH；……………………………………………1分 证明：∵在正方形 ABCD中， ∴AB = BC，∠BAD =∠BCD = 90°， ，， BCDBCHBADEAGBAG  2 1 2 1 ∴∠BAG =∠BCH = 45°，……………………………………………………1分 ∵∠ABC = 90°，∠EBF = 45°，∠ABE = 22.5°，∴∠CBH = 22.5°， ∵∠ABG = 22.5°，∴∠ABG =∠CBH，………………………………………1分 ∴△ABG≌△CBH，……………………………………………………1分 ∴AG = CH. （2）解：过点 H作 HM⊥BC,垂足为点 M. 在 Rt△HMC中， CH HMBCH sin ， CH CMBCH cos ， ∵BCH = ， 2CH ， ∴ 145sin  CHHM ， 145cos  CHCM ，…………1分 ∴BM = BC-CM = 3-1 = 2， 2 1sin  BM HMHBM ，………………1分 ∵在 Rt△BCF中，∴ 2 1sin  BC CFFBC ，∴ 2 3 CF ，…………………………1分 ∵∠BCH =∠EBF = 45°，∠AGE =∠BGH，∴△BGH∽△CFH，…………………1分 ∴ CH BH CF BG  ，∴ 2 5 2 3  BG ，……………………………1分 ∴ 4 103 BG .……………………………………………1分 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考 第 4页 共 7页 23. （1）证明：连接 BD、B’D’.…………………………………………………………1分 ∵四边形 ABCD与四边形 A’B’C’D’相似， ∴ 'AA  ， k DA AD BA AB  '''' ，………………………………………………………1分 ∴ ''' DBAABD∽△△ ， ∴ 2 ''' k S S DBA ABD    ，………………………1分 同理 2 ''' k S S DCB BCD    ， ∴ 2 '''''' k S S S S DCB BCD DBA ABD      ，…………………………………………………………1分 ∴ 2 '''''' k SS SS DCBDBA BCDABD      ，……………………………………………………………1分 ∴ 2 '''' k S S DCBA ABCD  四边形 四边形 .…………………………………………………………………1分 （2）解：∵在正方形 ABCD中， ∴∠A =∠C = 90°，AD∥BC，AB∥CD，AD = BC，AB = CD，…………………1分 ∴∠AEG =∠CBG，∠AFG =∠CDG，………………………1分 ∵ ABAE 2 1  ， ADAF 2 1  ， ∴ 2 1  AD AF AB AE ，即 AD AB AF AE  ，∵∠A =∠A， ∴ ADFABE∽△△ ，∴∠AEG =∠AFG，……………………1分 ∴∠AEG =∠CDG，∠AFG =∠CBG， ∵ AD AF AB AE  ， ∴ BC AF CD AE  ，………………………………………………1分 ∵∠EGF =∠DGB， ∴四边形 AEGF∽四边形 CDGB，…………………………………………………1分 ∴ 4 1 2 1 2       CDGB AEGF S S 四边形 四边形 .…………………………………………………………1分 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考 第 5页 共 7页 24. 解：（1）过点 A作 AG⊥y轴，垂足为点 G. 根据题意可得 ），（），，（），，（ 40440 22  amGammAD …………1分 ∴ 2amDGmAG  ， ， 在 Rt△AGD中， AG DGODA cot ， ∴cot∠ODA = am， ………………………………1分 同理 cot∠ODB = a(m+1)， ………………………1分 ∴cot∠ODA cot∠ODB = a， ……………………1分 （2）①过点 A作 AM⊥y轴，垂足为点 M，过点 B作 BN⊥y轴，垂足为点 N. ∴∠AMC =∠BNC = 90°，∴∠ACM +∠CAM = 90°， ∵AC⊥BC，∴∠ACM +∠BCN = 90°， ∴∠CAM =∠BCN， ∵AC = BC， ∴△AMC≌△BNC，………………1分 ∴AM = CN = m，CM = BN = m+1，∴MN = 2m+1， 由   ），（），，（ 4114 22  mamBammA ， ∴   )12(2414 22  maaammaamMN ， ∴a（2m+1）= 2m+1，…………………………………………………1分 ∴a = 1，…………………………………………………………1分 所以，抛物线的表达式是 42  xy .………………1分 ②由   ），（），，（ 4114 22  mmBmmA ， ∴ 22 121 ）（  mAB ， ∵ 10AB ，∴ 10121 22  ）（ m ， 解得 m = 1（负值不合题意舍去）， ………………1分 ∴A（1，3），B（2，0），C（1，0），cot∠ODA = ，……………………1分 ∴ 2AD ， 5AC ，∠ODA = ， 由△ADE与△ABC相似 ， 当∠AED = 90°时， AB AD AC DE  ， 10 2 5  DE ，DE = 1，E（0，3）；…………1分 当∠DAE = 90°时， AC AD AB DE  ， 5 2 10  DE ，DE = 2，E（0，2）；…………1分 所以，点 E的坐标是（0，3）或（0，2）. 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考 第 6页 共 7页 25.（1）解：过点 F作 FG⊥AC轴，垂足为点 G. ∴∠1+∠3 = 90°，同理∠1+∠2 = 90°，∴∠1 =∠3， ∵FG⊥AC，∠ACB = 90°，∴∠FGC =∠ECB， ∴△FGC∽△ECB，∴ BC CE GC FG  ， ∵CE = 1，BC = 2，∴ 2 1  GC FG ， 设 FG＝x，则 GC＝2x，AG＝3-2x，…………………………………………1分 在 Rt△ABC中，BC = 2，AC = 3，∴ 1332 22 AB ， ∵∠A =∠A，∠AGF =∠ACB = 90°， ∴△AFG∽△ACB，∴ AB AF AC AG BC FG  ，……………………………………1分 ∴ 133 23 2 AFxx    ，解得 7 6 x ，……………………1分 ∴ 7 133 AF .…………………………………………1分 解：（2）由∠1 =∠3，∠FGC =∠ECB，BE = CF，可得△FGC≌△ECB， ∴GC = BC = 2，FG = CE，………………………………1分 由△AFG∽△ACB，∴ AC AG BC FG  ， ∴ 3 23 2   FG ，解得 3 2 FG ，……………………1分 ∴ 3 2 CE ，……………………1分 在 Rt△ECB中， BC CECBE cot ， ∴ 3 1cot CBE .………………………………1分 解：（3）△AEF是直角三角形， ①∠AFE = 90°， ∵BE⊥CF，∠ACB = 90°∴∠EDC = ∠ECB = 90°， ∵∠1 =∠1，∴△EDC∽△ECB， ∴ EC DE BE EC  ，即 BEDEEC 2 ， 同理可得 BEDEEF 2 ，∴EF = EC， 同理可得 BF = BC =2，……………………1分 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷评分参考 第 7页 共 7页 设 EF＝EC＝x，则 AE＝3-x， 在 Rt△ABC中，∴ 222 AEAFEF  ，即 222 3213 ）（）（ xx  ， 解得 3 4132  x ，…………………1分 ∴   3 8134 3 2133 2      AFEABCBCEF SSS四边形 .…………………1分 ②∠AEF = 90°， ∵BE⊥CF，∴∠1+∠2 = 90°， 同理∠2+∠3 = 90°， ∴∠1 =∠3，又∠FEC =∠ECB = 90°， ∴△FEC∽△ECB，……………………1分 ∴ EC EF BC EC  ， xEF 设 ， xEC 2则 ， xAE 23 ， 由△AFE∽△ACB，可得 AC AE BC EF  ，即 3 23 2 xx   ， 解得 9 10422  x （正值不合题意舍去） ，……………………1分 ∴   27 801044 27 102113 2      AFEABCBCEF SSS四边形 .………………………………1分 所以,当△AEF是直角三角形时，四边形 BCEF的面积为 3 8134  或 27 801044  . 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 20．解： （1） （2） 21. （1） ； （直接写出答案） （2）解： 2024学年第一学期期末考试 九年级 数学 答题纸 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 22. （1）当∠ABE = °时，AG = CH，先补全条件，再说明理由； 证明： （2） 解： 注 意 事 项 1．答题前，考生务必在答题卡上使用0.5毫米黑色墨水签字笔或钢笔填写清楚自己的姓名、学校、准考证号，并贴好条形码。 2．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．将选择题方框用2B铅笔正确填涂为：▅ ；修改时用橡皮擦净后，重填选择框。 4．使用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔书写非选择题。 5．保持卡面清洁，不折叠，不破损。 姓 名： 学 校： 考 号： （1）用含a的代数式直接表示：AD = ； （2）解： 请在黑色矩形边框请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分） 二、填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 1． A B C D 4． A B C D 2． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 3． A B C D 25. 解： （1） （2） （3） 不许折叠 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 23.【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 证明： 【运用】 证明： 24. 解： （1） （2） ① ② （图8） 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 学科网（北京）股份有限公司 $$一、选择题（共 6题，每题 4分，满分 24分） 二、填空题（共 12题，每题 4分，满分 48分） 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题（本大题共 7题，满分 78分） 19. （1）用含 a 的代数式直接表示：AD = ； （2）解： 请在黑色矩形边框请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 2024学年第一学期期末考试 九年级 数学 答题纸 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 20．解： （1） （2） 21. （1） m ； （直接写出答案） （2）解： 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 22. （1）当∠ABE = °时，AG = CH，先补全条件， 再说明理由； 证明： （2） 解： 1． A B C D 4． A B C D 2． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 3． A B C D 注 意 事 项 1．答题前，考生务必在答题卡上使用 0.5毫米黑色墨水签 字笔或钢笔填写清楚自己的姓名、学校、准考证号，并贴好 条形码。 2．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答 题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．将选择题方框用 2B铅笔正确填涂为：▅ ；修改时用 橡皮擦净后，重填选择框。 4．使用 0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔书写非选择题。 5．保持卡面清洁，不折叠，不破损。 姓 名： 学 校： 考 号： 不 许 折 叠 请 在 黑 色 矩 形 边 框 内 答 题 ， 超 出 黑 色 矩 形 边 框 的 答 题 一 律 无 效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 25. 解： （1） （2） （3） （图 8） 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效 23.【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 证明： 【运用】 证明： 24. 解： （1） （2） ① ② 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．试卷满分150分．考试时间100分钟． 3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在比例尺为1∶500的图纸上，量得一座塔的高是2.2厘米，那么它实际的高度是（ ▲ ） （A）11米； （B）110米； （C）22米； （D）220米． 2. 在Rt△ABC中，∠C = 90º，如果sinA =，那么cosB的值是（ ▲ ） （A）； （B）； （C）； （D）． 3. 下列图形，相似的一组是（ ▲ ） （A）两个直角三角形； （B）两个等腰三角形； （C）有一个内角为80°的两个菱形； （D）边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形. 4. 在平面直角坐标系xOy中，如果点(，a)、(，b)、(2，c)都在抛物线上，那么（ ▲ ） （A）； （B）； （C）； （D）. 5. 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD = AD，∠B = 60°，设，，用向量、的线性组合表示向量，结果正确的是（ ▲ ）图1 （A）； （B）； （C）； （D）．图2 6. 如图2，已知△ABC，∠ACB = 90°，BC = 2AC，延长AC至点D， 使AD =AB，以CD为边作正方形CDEF，联结BD、BE，BD交 EF于点G．某同学得到以下两个结论： ①G是线段EF的黄金分割点； ② ． 关于结论①和②，下列说法正确的是（ ▲ ） （A）①正确②错误； （B）①错误②正确； （C）①和②都错误； （D）①和②都正确． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】图3 7. 已知，那么的值是 ▲ . 8. 计算： ▲ . 9. 计算： ▲ . 10. 如果二次函数的图像开口向下，那么m的取值范围是 ▲ . 11. 如图3，O是四边形ABCD内一点，点E、F、G、H分别在线段AO、BO、CO、DO上， 如果EF∥AB，FG∥BC，GH∥CD，且EF = 2，AB = 5，AD = 6，那么EH的长是 ▲ . 12. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为 ▲ . 13. 在平面直角坐标系xOy中，将抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新抛物线的对称轴方程是x = -1，那么原抛物线的顶点的横坐标是 ▲ . 14. 如图4，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E分别是边AB、AC的中点，如果BC = 4， △ADE的面积是5，那么∠ACD的正切值是 ▲ . 15. 如图5，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 6，，D是斜边AB上任意一点，联结CD，点E、F分别是△ACD、△BCD的重心，那么四边形CEDF的面积是 ▲ . 图6 图4 图5 16. 在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图6，现有三角形纸片 （△ABC），已知∠ACB = 90°，AC = 40cm，BC = 30cm．裁剪出的正方形CDEF的一个顶点是直角顶点C，其余三个顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，那么正方形的边长是 ▲ cm. 17. 一个二次函数的图像经过点（t，0），则称t的值是这个函数的“零点”．例如：二次函数，无论a取何值，这个函数的图像总经过点（3，0）和点（-2，0），所以3和-2是这个函数的“零点”．如果一个二次函数有且只有一个“零点”-1，那么这个二次函数的解析式可以是 ▲ .（写出一个符合要求的函数解析式即可） 18. 如图7，已知△ABC，AB = AC = 4，∠B = 30°，D是边BC的中点，线段AB绕点D顺时针旋转得到对应线段A’B’，线段A’B’与边AC、BC分别交于点E、F．如果△EFC是直角三角形，那么AE的长是 ▲ .图7 三、解答题（本大题共7题，满分78分）E D 19. （本题满分10分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分7分） 一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含30°角的直角三角形，另一块是含45°角的直角三角形. 用这两块三角尺可以拼成一个四边形ABCD（如图8），设． （1）用含a的代数式直接表示：AD = ▲ ； （2）求BDC的正切值． 图8 20. （本题满分10分，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分3分） 为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形ABCD（如图9），AB = 4米，AD = 2米，斜坡AB的坡角为30°．计划将斜坡AB改造成坡比为的斜坡AE(如图10所示) ，坡面的宽度AD不变．图9 图10 （1）求改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度； （2）改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 21. (本题满分10分，第(1)小题满分2分，第(2)小题满分8分） 在平面直角坐标系xOy中，已知是抛物线上的两点． （1） ▲ ； （2）如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且CD = 4，四边形ABCD的面积是25，求这个抛物线的表达式． 22. （本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分） 如图11，正方形ABCD的边长是3，点E、F分别在边AD、CD上，∠EBF = 45°，BE、BF分别与对角线AC交于点G、H． （1）当∠ABE = ▲ °时，AG = CH，先补全条件，再说明理由； （2）如果，求BG的长． 图11 23. （本题满分12分，每小题满分各6分） 学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程． 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似． 两个相似四边形的对应边的比，叫做这两个四边形的相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ① 四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ② 四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③ 相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似，点A、B、C、D分别与点A’、B’、C’、D’对应，四边形ABCD与四边形A’B’C’D’的相似比为k． 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题： 如图12，已知矩形ABCD， E、F分别是边AD、AB上的点，， ，联结BE、DF交于点G，试求的值． 图12 24.（本题满分12分，第(1)小题满分4分，第(2)①小题满分4分，第(2)②小题满分4分） 如图13，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m、m+1． （1）联结AD、BD，求cot∠ODA - cot∠ODB的值（结果用含a的代数式表示）； （2）如果y轴上存在点C，使得AC⊥BC，且AC = BC， ① 求抛物线的表达式； ② 若，点E在y轴上，且△ADE与△ABC相似，求点E的坐标．备用图 图13 25.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分） 如图14，已知△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 2，AC = 3，点E、F分别在边AC、AB上（不与端点重合），BE⊥CF，垂足为点D． （1）当CE =时，求AF的长； （2）当BE = CF时，求tan∠CBE值； （3）联结EF，如果△AEF是直角三角形，求这时四边形BCEF的面积．图14 备用图 2024学年第一学期期末考试九年级数学试卷 第2页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$