24.5相似三角形的性质（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

24.5相似三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、相似三角形的基本性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 · 对应角相等：若△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。 · 对应边成比例：对应边的比等于相似比， 二、相似三角形的周长与面积性质 · 周长比：相似三角形的周长比等于相似比。若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则周长比 = k。 · 面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 三、相似三角形的对应线段性质 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 · 对应高的比：若AD、A'D'分别为△ABC和△A'B'C'的高，则= k。 · 对应中线的比：若BE、B'E'分别为中线，则= k。 · 对应角平分线的比：若CF、C'F'分别为角平分线，则= k。 型 习 练 题 利用相似三角形的性质求解 1．已知与相似，且相似比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知；，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．如图，，若，，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 5．如图，小明利用投影仪将一张长为、宽为的矩形图片放大，放大后的矩形图片的长为，则放大后的矩形图片的面积为（   ） A． B． C． D． 利用相似求坐标 6．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 在网格中画已知三角形相似的三角形 11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点． (1)将向上平移3个单位得到，请在网格图中画出； (2)请画一个格点，使，且相似比不为1； (3)用无刻度直尺在上找出一个三等分点． 12．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点在格点上，且与相似，且相似比为2．（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点，使（保留作图痕迹）． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点．（网格线的交点） (1)在边上找一点，使得； (2)在边上找一点，使得． 15．如图是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画，使点E在格点上，且与相似，且相似比为2；（只需画出一个即可） (2)在图 2 中，线段上找一点P，使（保留作图痕迹）． 相似三角形的实际应用 16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，求树高．    17．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一直线上，求灯泡到地面的高度是多少？ 18．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 19．如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 20．国际会议中心是亚洲最大的单体木制结构建筑．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点B在同一直线上 （如图所示），另一条直角边与会议中心顶点A在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度． 相似三角形的判定与综合 21．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．如图，在中，为上一点，且，，，求的长度． 23．如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 24．如图，在中，． (1)在上求作一点，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的值． 25．如图，，是的高． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.5相似三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、相似三角形的基本性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 · 对应角相等：若△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。 · 对应边成比例：对应边的比等于相似比， 二、相似三角形的周长与面积性质 · 周长比：相似三角形的周长比等于相似比。若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则周长比 = k。 · 面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 三、相似三角形的对应线段性质 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 · 对应高的比：若AD、A'D'分别为△ABC和△A'B'C'的高，则= k。 · 对应中线的比：若BE、B'E'分别为中线，则= k。 · 对应角平分线的比：若CF、C'F'分别为角平分线，则= k。 型 习 练 题 利用相似三角形的性质求解 1．已知与相似，且相似比为，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， 故选：D． 2．两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高的比和周长的比等于相似比，据此求解即可． 【详解】解：∵两相似三角形的周长之比为， ∴两相似三角形的相似比为， ∴它们的对应边上的高的比为． 故选：D． 3．如图，已知；，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，即，解得：． 故选：D． 4．如图，，若，，则与的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形，根据相似比等于对应边的比解答即可求解，掌握相似比的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴相似比， 故选：． 5．如图，小明利用投影仪将一张长为、宽为的矩形图片放大，放大后的矩形图片的长为，则放大后的矩形图片的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质，利用对应边成比例，求出放大后的宽即可求解． 【详解】解：设放大后的宽为， 放大前后的两个矩形相似， ， 解得：， 放大后的宽是， 放大后的矩形图片的面积为， 故选：A． 利用相似求坐标 6．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似的性质、相似三角形的判定与性质，由题意可得，由位似的性质可得，从而可得，由相似三角形的性质可得，即可推出与的相似比为，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点C的横坐标为1，点F的横坐标为3， ∴， ∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点E的坐标是， 故选：A． 7．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 【答案】A 【分析】连接CF，交y轴于点P，根据位似图形的概念得到CD∥GF，根据相似三角形的性质求出GP，进而求出OP，得到答案． 【详解】解：连接CF，交y轴于点P，则点为位似中心， 矩形OEFG与矩形ABCD，（﹣4，4），（2，1）， 由题意得，CD＝4，DG＝3，,， ∵矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形， ∴CD∥GF， ∴△CDP∽△FGP， ∴＝，即＝， 解得，GP＝1， ∴OP＝2， ∴位似中心P的坐标为（0，2） 故选：A． 【点睛】本题考查了位似概念和性质，相似三角形的性质，根据题意作出图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 10．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 在网格中画已知三角形相似的三角形 11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点顶点是网格线的交点． (1)将向上平移3个单位得到，请在网格图中画出； (2)请画一个格点，使，且相似比不为1； (3)用无刻度直尺在上找出一个三等分点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移变换以及相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案． （3）取格点D，E，F，G，连接，则与的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，点即为所求． 12．如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点在格点上，且与相似，且相似比为2．（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2) 取格点，连接与相交，交点即为点，根据相似三角形的判定与性质即可说理． 【详解】（1）解：作图如图，点即为所求作的点， ，， ，且相似比为2． （2）解：作图如图，点P即为所求作的点， ∵， ∴ ∴， 即． 13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格与勾股定理得，则，故，即可作答． （2）运用网格特征，得，则，故，即，得，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：在线段上找一个点，使，如图所示： 14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点．（网格线的交点） (1)在边上找一点，使得； (2)在边上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图、相似三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识， （1）取格点，结合勾股定理可得，进而证明，然后根据“ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明即可； （2）取格点，连接交于点，证明四边形为平行四边形，易得，然后根据“平行线分线段成比例定理”即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴； （2）如图所示，取格点，连接交于点，点即为所求， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 15．如图是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画，使点E在格点上，且与相似，且相似比为2；（只需画出一个即可） (2)在图 2 中，线段上找一点P，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，，连接，，令的交点为F，连接与的交点即为P，即可解答． 【详解】（1）解：作图如图，点即为所求作的点， ，， ，且相似比为2． （2）作图如图，点P即为所求作的点， 由图可知，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， 即． 相似三角形的实际应用 16．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边，，测得，，求树高．    【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用．利用勾股定理求出的长，根据，求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 答：树高的长为． 17．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一直线上，求灯泡到地面的高度是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴ ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得： 18．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【详解】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 19．如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A，B ，再在他们所在的这一侧选点C，D，E，使得点D在线段上，点E在线段上，且．测得，点C到的距离，请你计算出这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度是12米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 延长交于点G．证明得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于点G． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴这条河的宽度是12米． 20．国际会议中心是亚洲最大的单体木制结构建筑．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点B在同一直线上 （如图所示），另一条直角边与会议中心顶点A在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度． 【答案】26米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 根据勾股定理求出，再说明四边形是矩形，可得，然后证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案. 【详解】解：在中，米，米， ∴米. ∵， ∴四边形是矩形， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得米， ∴米. 所以会议中心的高度为26米. 相似三角形的判定与综合 21．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质； （1）根据，，即可证出结论； （2）根据相似三角形性质得到代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴，即， ∴． 22．如图，在中，为上一点，且，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法，会利用相似三角形的性质解决问题是解题关键．易证，然后运用相似三角形的性质可求出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 23．如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再结合，可得，即可求证； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴∽． （2）解：∵，，， ∴． ∵∽， ∴，即， ∴． 24．如图，在中，． (1)在上求作一点，连接，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据在上求作一点，连接，使得，则在点B处，作，结合，故，即可作答； （2）由（1）得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图，点为所求作： （2）解：由（1）得， ， ， ． 25．如图，，是的高． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由垂线定义得，再结合即可得证； （2）结合相似三角形的性质得，再将、、代入即可得解． 【详解】（1）证明：∵，是的高， ∴， 又∵， ； （2）解：， ， ，，， ， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $