第06讲 组合（3大知识点+10大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019选修二）

第06讲 组合 目录 题型归纳 1 题型01 组合意义理解 2 题型02 组合数的计算 3 题型03 利用组合数公式证明 4 题型04 组合数方程和不等式 5 题型05 组合数的性质及应用 6 题型06 实际问题中的组合计数问题 6 题型07 代数中的组合计数问题 7 题型08 几何组合计数问题 8 题型09 分组分配问题 8 题型10 x+y+z=n的整数解的个数 9 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 12 知识点01组合与组合数公式 组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C 公式：C＝＝＝；C＝1；C＝C；C＋C＝C. 知识点02有限制条件的组合问题 有限制条件的组合问题的解法 组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．　　 知识点03分组分配问题 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象． [方法技巧]　　分组分配问题的三种类型及求解策略 类型 求解策略 整体均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数 部分均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 不等分组 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 题型01组合意义理解 【例1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【变式1】（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【变式2】（22-23高二下·黑龙江七台河·期中）已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含正半轴上的整点),其运动规律为或，若该动点从原点出发,经过6步运动到点,则不同的运动轨迹有(　　) A．15种 B．14种 C．103种 D．9种 【变式3】（2024高二下·全国·专题练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题. (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 题型02 组合数的计算 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1】（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知m，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，则 . 【变式3】（23-24高二下·江苏淮安·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3) 题型03 利用组合数公式证明 【例3】（22-23高二·全国·随堂练习）求证：． 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）求证：. 【变式2】（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）（1）计算：； （2）证明：. 【变式3】（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 题型04 组合数方程和不等式 【例4】（21-22高二下·湖北襄阳·期末）已知，则等于（    ） A．1 B．3 C．1或4 D．1或3 【变式1】（23-24高二下·山东济宁·期中）已知，那么（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，则 ． 【变式3】（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 题型05 组合数的性质及应用 【例5】（24-25高二下·全国·课后作业）（    ） A．315 B．330 C．345 D．360 【变式1】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 【变式2】（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）满足等式的所有整数x组成的集合为 . 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）化简：． 题型06 实际问题中的组合计数问题 【例6】（24-25高二下·全国·课后作业）已知四棱锥有5个顶点，则以其中任意3个顶点组成的三角形的个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【变式1】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（    ） A．20 B．30 C．22 D．40 【变式2】（24-25高二上·甘肃白银·期末）小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有 种选择. 【变式3】（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品． (1)试问共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种? (3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种? 题型07 代数中的组合计数问题 【例7】．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（    ）个 A．44 B．45 C．54 D．55 【变式1】（23-24高二下·福建·期中）设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 【变式2】（24-25高二上·上海·假期作业）有 个不同的正约数. 【变式3】（23-24高二上·全国·单元测试）已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 题型08 几何组合计数问题 【例8】（21-22高二上·全国·课后作业）有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（　　） A．70个 B．80个 C．82个 D．84个 【变式1】（22-23高二下·辽宁·阶段练习）正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．以上都不对 【变式2】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 【变式3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. (1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数； (2)求这n个点能确定的直线的条数； (3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 题型09 分组分配问题 【例9】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）4本不同的书分给3人，每人至少1本，共有（    ）种不同的分法. A．36 B．24 C．18 D．72 【变式1】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 【变式2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，比赛期间，某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方法种数为 . 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）某宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，假设该晚会要安排这6名同学参加文艺演出，其中有三个节目，均要求至少一人且至多三人参与，求有多少种不同的安排方法 题型10 x+y+z=n的整数解的个数 【例10】（22-23高二下·山西朔州·阶段练习）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 【变式1】（21-22高二下·上海长宁·期末）的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（    ） A．72项 B．75项 C．78项 D．81项 【变式2】（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）已知集合，则A中的元素的个数为 . 【变式3】（22-23高二下·浙江·期中）（1）求方程的正整数解的个数； （2）求方程的正整数解的个数. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二下·山西运城·阶段练习）从5名学生中选出3名学生值日，则不同的安排有（    ）种 A． B． C． D． 2．（22-23高二下·浙江·期中）若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）若，则（    ） A．30 B．20 C．12 D．6 4．（23-24高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 二、多选题 5．（24-25高二上·全国·单元测试）某城市街道如图，某人要走最短路程从地前往地，则不同走法有（    ）    A．种 B．种 C．种 D．种 6．（23-24高二下·四川眉山·期末）下列说法中正确的有（   ） A．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58； B．5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数有种； C．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成15种币值； D．将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有20种分配方案. 三、填空题 7．（23-24高二下·安徽安庆·期中）某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种． 8．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 四、解答题 9．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 10．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）计算下列各式． (1)； (2)； (3)解方程：. 11．（22-23高二·全国·课后作业）在1，2，3，…，30这30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和为3的倍数，共有多少种不同的取法？ 12．（24-25高二上·江西·阶段练习）按要求完成下列问题： (1)从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论； (2)若，求的值． 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）列式并计算：(写出必要的文字说明) (1)用能组成多少个没有重复数字不同的 3 位奇数？ (2)要从8名男医生和7名女医生中选5人组成医疗小分队，如果医疗小分队至少要2名男医生和2名女医生，求不同的选法种数. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 2．（23-24高二下·河南郑州·期中）若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 3．（2024高二下·全国·专题练习）下列问题不是组合问题的是（　　） A．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B．平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 4．（23-24高二下·江苏镇江·期末）化简结果为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·浙江·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 8．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）6名运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，有一部分队员拿错了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到别人的外衣种数为 ． 四、解答题 9．（24-25高二上·全国·课堂例题）计算：； 10．（23-24高二下·四川自贡·期中）求解下列问题． (1)求值：； (2)解不等式：； 11．（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）（1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 12．（24-25高二上·全国·单元测试）已知，．试问： (1)从集合和中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ (2)从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？ 13．（23-24高二下·浙江·期中）药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中． (1)药房中共有几味药？ (2)药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药． （i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药； （ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 组合 目录 题型归纳 1 题型01 组合意义理解 2 题型02 组合数的计算 5 题型03 利用组合数公式证明 7 题型04 组合数方程和不等式 10 题型05 组合数的性质及应用 12 题型06 实际问题中的组合计数问题 13 题型07 代数中的组合计数问题 15 题型08 几何组合计数问题 18 题型09 分组分配问题 20 题型10 x+y+z=n的整数解的个数 22 分层练习 25 夯实基础 25 能力提升 32 知识点01组合与组合数公式 组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C 公式：C＝＝＝；C＝1；C＝C；C＋C＝C. 知识点02有限制条件的组合问题 有限制条件的组合问题的解法 组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．　　 知识点03分组分配问题 分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象． [方法技巧]　　分组分配问题的三种类型及求解策略 类型 求解策略 整体均分 解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数 部分均分 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数 不等分组 只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 题型01组合意义理解 【例1】（24-25高二上·甘肃武威·期中）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【知识点】组合意义理解、排列的意义理解 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【变式1】（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【知识点】组合意义理解 【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 【变式2】（22-23高二下·黑龙江七台河·期中）已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含正半轴上的整点),其运动规律为或，若该动点从原点出发,经过6步运动到点,则不同的运动轨迹有(　　) A．15种 B．14种 C．103种 D．9种 【答案】D 【知识点】组合意义理解 【分析】根据运动规律，分析各种运动情况，确定运动途径，结合组合数计算即可. 【详解】由运动规律可知，每步的横坐标都增加1，只需考虑纵坐标的变化，    纵坐标每步增加1或减少1，经过6步的运动后，结果由0变到2， 所以这6步中有2步是按照运动，有4步是按照运动， 所以共有种运动轨迹， 又因为此动点只能在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含正半轴上的整点)， 所以当第一步为时不符合要求，有种运动轨迹， 当第一步为，第二、三步为时也不符合要求，有1种运动轨迹， 所以符合条件的轨迹有种， 故选：D 【变式3】（2024高二下·全国·专题练习）判断下列问题是排列问题还是组合问题. (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题 (3)组合问题 (4)排列问题；组合问题 【知识点】组合意义理解、排列的意义理解 【分析】由排列和组合的定义，对题目中的情况进行判断. 【详解】（1）4张票是相同的（都是当日动物园的门票），不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关，是组合问题. （2）选出的2个数分别作为分子和分母，结果是不同的，是排列问题. （3）已知集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题. （4）飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题；票价只与两站的距离有关，故求票价的种数是组合问题 题型02 组合数的计算 【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【知识点】组合数的计算 【分析】根据题意，利用组合数的公式，列出方程求得，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】由，所以，可得，解得， 所以． 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）已知m，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】根据题意，结合排列数与组合数的公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，， 显然，故A错误； 对于B，， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 所以，故D错误. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，则 . 【答案】6 【知识点】组合数的计算 【分析】根据组合数计算即可. 【详解】，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·江苏淮安·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3) 【答案】(1)64 (2)15 (3)或 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数公式计算可得； （3）首先确定的值，再由排列、组合数公式计算可得. 【详解】（1） ； （2）； （3）依题意可得，又，解得或， 当时，； 当时， 题型03 利用组合数公式证明 【例3】（22-23高二·全国·随堂练习）求证：． 【答案】证明见详解 【知识点】利用组合数公式证明 【分析】根据组合数公式推导可得. 【详解】由组合数公式可知， 等式成立. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】利用组合数公式证明 【分析】从个元素里面取个元素可以分为以下两种情形来考虑： 情形一：选取的个元素中包含某一确定的元素；情形二：选取的个元素中不包含某一确定的元素. 由以上两种情形并结合组合数的意义即可得证. 【详解】一方面：从个元素里面取个元素可以分为以下两种情形： 情形一：选取的个元素中包含某一确定的元素，则只需从剩下的个元素里面取个元素即可； 情形二：选取的个元素中不包含某一确定的元素，则需从剩下的个元素里面取个元素. 另一方面：由组合数的意义可知从个元素里面取个元素的选取法数可以用组合数来表示， 同理从个元素里面取个元素以及从个元素里面取个元素的选取法数可以分别用组合数来表示. 结合以上两方面且由分类加法计数原理有 【变式2】（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）（1）计算：； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【知识点】排列数的计算、利用组合数公式证明 【分析】（1）利用排列数公式可求得所求代数式的值； （2）利用组合数公式可证得结论成立. 【详解】（1）； （2）证明：， ， 因此，. 【变式3】（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用组合数公式证明 【分析】（1）由组合数公式计算即可； （2）由组合数公式计算即可. 【详解】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 题型04 组合数方程和不等式 【例4】（21-22高二下·湖北襄阳·期末）已知，则等于（    ） A．1 B．3 C．1或4 D．1或3 【答案】D 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】根据组合数的定义和性质分析求解. 【详解】因为，则或， 解得或，检验可知均符合题意. 故选：D. 【变式1】（23-24高二下·山东济宁·期中）已知，那么（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】根据组合数的性质和计算公式，直接计算即可求解. 【详解】由，得，即， 整理得，解得或（舍去）. 故选：C 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】21或10 【知识点】组合数方程和不等式、组合数的计算 【分析】借助组合数的性质可得或，分类计算出后再计算即可得. 【详解】因为，所以， 则或， 当时，即，解得，此时； 当时，即，解得或（舍去）， 此时． 故答案为：21或10. 【变式3】（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 【答案】（1）10；（2）252；（3）或. 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式 【分析】（1）（2）（3）根据排列数及组合数解方程及不等式，应用组合数性质计算求值. 【详解】（1）因为 所以, 又因为，所以，解得. （2）由 . （3）因为所以      因为，所以，即 ，解得， 所以，又，所以或 题型05 组合数的性质及应用 【例5】（24-25高二下·全国·课后作业）（    ） A．315 B．330 C．345 D．360 【答案】A 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】． 故选：A 【变式1】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 【答案】B 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用组合数性质计算可得答案. 【详解】由，得或， 解得（舍）或， 则 . 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）满足等式的所有整数x组成的集合为 . 【答案】 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】由组合数公式的性质列式求解． 【详解】由， 得，或， 解得：或 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）化简：． 【答案】 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用组合数性质即可求解. 【详解】原式 ． 题型06 实际问题中的组合计数问题 【例6】（24-25高二下·全国·课后作业）已知四棱锥有5个顶点，则以其中任意3个顶点组成的三角形的个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据组合数的知识求解即可. 【详解】因为这5个点中任何3个点都不在一条直线上，并且构成的三角形的点没有顺序区分， 所以所有三角形的个数是． 故选：B. 【变式1】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（    ） A．20 B．30 C．22 D．40 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据给定条件，利用两个基本原理，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】选出的志愿者中，有2个女生2个男生时，选法种数为种， 有3个女生1个男生时，选法种数为种， 所以不同选法有种. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·甘肃白银·期末）小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有 种选择. 【答案】10 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】根据题意可知两瓶香水没有顺序要求所以是组合数. 【详解】根据题意可得小沉的选择种数为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品． (1)试问共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种? (3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种? 【答案】(1)84 (2)24 (3)64 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）（2）根据题意，运用组合数计算即可；（3）运用对立事件求解即可. 【详解】（1）从9件产品中抽取3件产品共有种； （2）从9件产品中抽取3件产品，其中一等品、二等品、三等品各1件有种； （3）“抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等品”， 因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有种 题型07 代数中的组合计数问题 【例7】．（23-24高二下·新疆克拉玛依·期中）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（    ）个 A．44 B．45 C．54 D．55 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、代数中的组合计数问题 【分析】分别讨论个位上的数字是0和个位上的数字不是0两种情况，即可求出结果. 【详解】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字， 十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字， 为使个位上的数字小于十位上的数字， 当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况； 当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字， 较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有. 故满足题意的两位数共有个. 故选：B 【变式1】（23-24高二下·福建·期中）设集合，那么集合中满足的元素的个数为（    ） A．232 B．144 C．184 D．252 【答案】A 【知识点】代数中的组合计数问题 【分析】分的值为、、进行讨论，结合组合数的性质计算即可得. 【详解】若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 即共有种不同排列， 即集合中满足的元素的个数为. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·上海·假期作业）有 个不同的正约数. 【答案】24 【知识点】代数中的组合计数问题 【分析】将写成几个质数的乘积，根据约数个数定理可得. 【详解】因为， 表示：质数的个数加1， 表示：质数的个数加1， 表示：质数的个数加1， 表示：质数的个数加1， 所以不同正约数的个数为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·全国·单元测试）已知集合. (1)从中取出个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ (2)从集合中取出个元素，从集合中取出个元素，可以组成多少个无重复数字且比大的正整数？ 【答案】(1) (2) 【知识点】排列数的计算、代数中的组合计数问题 【分析】（1）先求得以及，然后根据排列数的知识求得正确答案. （2）根据取出的元素是否包含进行分类讨论，结合排列、组合的知识求得正确答案. 【详解】（1）由，得， 所以，所以，所以， 从中取出个不同的元素组成三位数， 可以组成个三位数. （2）由（1）得，而， 若从集合中取元素，则不能作千位上的数字， 有个满足题意的正整数； 若不从集合中取元素，则有个满足题意的自然数. 所以，满足题意的自然数的个数共有 题型08 几何组合计数问题 【例8】（21-22高二上·全国·课后作业）有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（　　） A．70个 B．80个 C．82个 D．84个 【答案】A 【知识点】分类加法计数原理、几何组合计数问题 【分析】分从直线a上任取一个点直线b上任取两个点，和从直线a上任取两个点直线b上任取一个点，两种情况讨论即可. 【详解】第1类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有种方法； 第2类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点，共有种方法， 故满足条件的三角形共有个． 故选：A. 【变式1】（22-23高二下·辽宁·阶段练习）正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】几何组合计数问题 【分析】作出图形，求出任选个点的选法种数以及四个点共面的选法种数，利用间接法可求得结果. 【详解】如下图所示，在正三棱柱中，、、、、、、、、为相应棱的中点，    从上述个点中任选个点，共有种选法， 其中所选的个点在同一侧面上，共种情况； 若所选的个点不在同一侧面上，且构成平行四边形，如、、、，共种情况； 若所选的个点构成梯形，如、、、，共种情况. 综上所述，正三棱柱的各棱中点共个点，在其中取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 【答案】 【知识点】几何组合计数问题 【分析】根据不共线的三点确定一个圆，可得从10个点任选3个点取法有，即可求得答案. 【详解】不共线的三点确定一个圆 从10个点任选3个点取法有， 故一共可画个圆内接三角形 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有n个. (1)求以这n个点中的2个点为端点的线段的条数； (2)求这n个点能确定的直线的条数； (3)若从这n个点中选出3个点分别为三角形的3个顶点，求这样的三角形的个数. 【答案】(1)120 (2)63 (3)518 【知识点】实际问题中的组合计数问题、几何组合计数问题 【分析】利用分步相乘计数原理和分类相乘计数原理结合排列组合的知识计算方法每一小问的方法种类数. 【详解】（1）点的横、纵坐标均有4种可能，则， 所以所求线段的条数为. （2）如图，在这个点中，仅有4点共线的直线有9条， 仅有3点共线的直线有6条， 所以这个点能确定的直线的条数为 （3）从这个点中选出3个点，共有种选法. 在同一条直线上的3个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为 题型09 分组分配问题 【例9】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）4本不同的书分给3人，每人至少1本，共有（    ）种不同的分法. A．36 B．24 C．18 D．72 【答案】A 【知识点】分组分配问题 【分析】选2本捆绑作为一本书与其它2本书一起分给三个人． 【详解】由题意有1人分得2本书，方法数为， 故选：A． 【变式1】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等8名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（   ） A．82 B．100 C．124 D．164 【答案】C 【知识点】分组分配问题 【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余6个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可． 【详解】若小王在甲号路口，小李在乙号路口，则剩余6个人分到两个路口， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 此时共有种方案； 同理若小王在甲号路口，小李在乙号路口，也共有种方案． 所以一共有种不同的安排方案种数． 故选：C． 【变式2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，比赛期间，某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方法种数为 . 【答案】150 【知识点】分组分配问题 【分析】根据题意，把5项工作按照“”和“”两种方式进行分配，按照部分平均分配的方式分别计算结果，最后相加即可. 【详解】若有1人完成3项任务，其余两人各完成1项任务，安排方法种数为: ， 若有1人完成1项任务，其余两人各完成2项任务，安排方法种数为: ， 故不同的安排方法共有种. 故答案为：150. 【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）某宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，假设该晚会要安排这6名同学参加文艺演出，其中有三个节目，均要求至少一人且至多三人参与，求有多少种不同的安排方法． 【答案】450 【知识点】分组分配问题 【分析】按人数1-2-3，或人数2-2-2两种情况讨论即可. 【详解】解：由题知，可分两种情况考虑： 第一种：分人数1-2-3三组，共有种； 第二种：分人数2-2-2三组，共有种； 所以不同的安排方法共有种． 故答案为：450 题型10 x+y+z=n的整数解的个数 【例10】（22-23高二下·山西朔州·阶段练习）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 【答案】B 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可． 【详解】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球， 采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可， 故共有种． 故选：B. 【变式1】（21-22高二下·上海长宁·期末）的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（    ） A．72项 B．75项 C．78项 D．81项 【答案】C 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】由多项式展开式中的项为，即，将问题转化为将2个隔板和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可. 【详解】由题设，多项式展开式各项形式为且， 故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）已知集合，则A中的元素的个数为 . 【答案】 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】问题等价于将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法计算即可. 【详解】 ， 可转化为将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人， 每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为， 所以中的元素的个数为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：问题等价于将102个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法计算即可 【变式3】（22-23高二下·浙江·期中）（1）求方程的正整数解的个数； （2）求方程的正整数解的个数. 【答案】（1）21；（2）34 【知识点】x+y+z=n的整数解的个数 【分析】（1）方法一：分别令，列举得到正整数解个数；方法二：与排列组合问题结合，看成八个物品分成三份，由挡板法可得到答案； （2）分别令，列举得到正整数解的个数. 【详解】（1）方法一： 当时，，则一共有6种；当时，，则一共有5种； 当时，，则一共有4种；当时，，则一共有3种； 当时，，则一共有2种；当时，，则一共有1种. 所以方程的正整数解的个数有种 方法二：利用挡板法可得正整数解的个数为； （2）当时，方程转化为，由（1）知一共有21种； 当时，方程转化为，则一共有10种； 当时，方程转化为，则一共有3种； 当时，不合题意； 综上所述，方程的正整数解的个数为 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二下·山西运城·阶段练习）从5名学生中选出3名学生值日，则不同的安排有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断从5名学生中选出3名学生值日，是一个组合问题，即可得答案. 【详解】由于从5名学生中选出3名学生值日，即选出3人值日即可， 是一个组合问题，故不同的安排有种， 故选：B 2．（22-23高二下·浙江·期中）若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据组合数的公式运算求解. 【详解】因为，整理得，解得：或， 因为，所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）若，则（    ） A．30 B．20 C．12 D．6 【答案】B 【分析】先由组合的运算公式计算出的值，再代入中，由排列公式即可得解. 【详解】因为，则， 所以，解得（负值舍去）， 所以 故选：B. 4．（23-24高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 【答案】D 【分析】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【详解】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 二、多选题 5．（24-25高二上·全国·单元测试）某城市街道如图，某人要走最短路程从地前往地，则不同走法有（    ）    A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】AB 【分析】根据题意可知从A地到B地的最短路程必须走5步，且不能重复，只要确定出向东的三步或向南的两步走法即可得出结果. 【详解】因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法可得出： ①要走的路程最短必须走5步，且不能重复； ②向东的走法定出后，向南的走法随之确定， 所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可， 故不同走法的种数有种． 故选：AB 6．（23-24高二下·四川眉山·期末）下列说法中正确的有（   ） A．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58； B．5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数有种； C．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成15种币值； D．将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有20种分配方案. 【答案】ABC 【分析】A选项利用组合的知识进行求解；B、C选项利用计数原理进行求解，D选项利用分组分配进行求解. 【详解】对于A，首先从8个顶点中选4个，共有 (种)结果， 其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况， 6个对角面有6个四点共面情况， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是， 所以A正确. 对于B，由于5个人中每个人都有3种选择，而且选择的时间对别人没有影响， 不同方法的种数是，所以B正确. 对于C，我们可以选择1张、2张、3张、4张进行组合； 选择1张时，有4种币值； 选择2张时，有种币值； 选择3张时，有种币值； 选择4张时，有1种币值； 所以一共可以组成15种币值，所以C正确. 对于D，先将4名医生分成两组，有(种)方法， 再分配到两家医院，有 (种)方法， 故共有14种分配方案，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高二下·安徽安庆·期中）某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种． 【答案】 【分析】先将教师分成3组，再进行全排列即可得解. 【详解】先将4名教师分成3组的方法有种， 将3组教师分配指导3个运动兴趣小组的方法有种， 所以总的分派方法共有种. 故答案为：. 8．（23-24高二下·河南洛阳·期中）已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱的中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥 个.（用数字作答） 【答案】58 【分析】根据三棱锥的性质，结合三角形中位线定理、确定平面的条件、组合的定义进行求解即可. 【详解】如图所示：在正四棱锥中，分别是侧棱的中点， 于是有， 而是正方形，所以有， 因此有， 因为一对平行线确定唯一的一个平面， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，此时一共确定平面的个数为， 当时，可以确定2个平面， 其中平面均被计算了两次，所以共四点共面的情况共有个， 一共8个点，任取四个点，一共有种情形， 所以可得三棱锥个， 故答案为：    四、解答题 9．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 【答案】（1）495；（2）3或4 【分析】（1）根据组合数性质运算求解； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知： ； （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 10．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）计算下列各式． (1)； (2)； (3)解方程：. 【答案】(1)480 (2)16 (3)或 【分析】（1）利用排列数公式求解； （2）利用排列数公式求解； （3）利用组合数公式求解. 【详解】（1）； （2）； （3）因为，由可得或， 解得或. 11．（22-23高二·全国·课后作业）在1，2，3，…，30这30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和为3的倍数，共有多少种不同的取法？ 【答案】种 【分析】将这30个数按除以3后的余数分为三类，分两种情况进行求解，再相加即可. 【详解】把这30个数按除以3后的余数分为三类：，，， 每个集合各有10个元素．三个数的和为3的倍数的取法分两类： ①在同一个集合中取三个数，有种取法； ②在每个集合中各取一个数，有种取法． 由分类加法计数原理，共有种不同的取法． 12．（24-25高二上·江西·阶段练习）按要求完成下列问题： (1)从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，从个不同的小球中取出个有种方法，试判断与的大小关系，并证明你的结论； (2)若，求的值． 【答案】(1)，证明见解析； (2)或2021. 【分析】（1）利用组合数的计算公式证明即可； （2）利用第一问的结论及组合数的性质计算即可. 【详解】（1）， 证明如下：由题，，， 则 ． （2）原式 ， 所以或2021. 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）列式并计算：(写出必要的文字说明) (1)用能组成多少个没有重复数字不同的 3 位奇数？ (2)要从8名男医生和7名女医生中选5人组成医疗小分队，如果医疗小分队至少要2名男医生和2名女医生，求不同的选法种数. 【答案】(1)36 个 (2)2156 种 【分析】（1）先选一个奇数排在个位，然后百位和十位任意排即可； （2）分两男三女和三男两女两种情况求解可得. 【详解】（1）首先从3个奇数中选择一个放在个位，共有种结果， 其余4个数字选出2个在百位和十位排列共有种结果， 根据分步计数原理知共有种结果. 答：符合条件的三位数有36个. （2）医疗小分队至少要2名男医生和2名女医生，共有2种结果，包括： 三男两女，有种， 两男三女，有种， 共计种， 符合条件的选法有2156种结果. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（    ）． A．220 B．120 C．84 D．24 【答案】A 【分析】将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解. 【详解】依题意，可知为非负整数， 因为， 所以， 从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球， 一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种. 故选：A 2．（23-24高二下·河南郑州·期中）若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】分类讨论数字之和为3的情况，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知数字之和为3有：0，1，1，1或0，0，1，2或0，0，0，3， 若0，1，1，1，这样的四位数共有个； 若0，0，1，2，这样的四位数共有个； 若0，0，0，3，这样的四位数共有1个； 综上所述：共有个. 故选：A. 3．（2024高二下·全国·专题练习）下列问题不是组合问题的是（　　） A．从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？ B．平面上有2016个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合{a1，a2，a3，…，an}含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【分析】 发现选项A、B、C中都与顺序无关，利用组合问题的定义处理即可. 【详解】 易知组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关， 在D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱， 乙参加独舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，与顺序有关， 因此是排列问题，不是组合问题，故D正确． 故选：D 4．（23-24高二下·江苏镇江·期末）化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由排列数、组合数的运算性质计算求解即可. 【详解】 ， ， ， ， ， ， 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用排列数和组合数性质将依次巧妙变形得，然后根据此式依次变形计算即可求解. 二、多选题 5．（23-24高二下·浙江·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析选项: 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD 6．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，故B正确； 对于C，因为，， 又，所以，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 【答案】130 【分析】从条件入手，由于只能取0或1，因此5个数值的有2个0，3个0，或4个0，讨论这三种情况，即可求解. 【详解】因为，，集合中元素满足条件， 由于只能取0或1，因此5个数值中有2个0，3个0或4个0的三种情况， ①中有2个取值为0，另外3个从中取，共有方法数：， ②中有3个取值为0，另外2个从中取，共有方法数：， ③中有4个取值为0，另外1个从中取，共有方法数：， 所以总共方法数为， 即集合中满足条件的元素个数有个. 故答案为：130 8．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）6名运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，有一部分队员拿错了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到别人的外衣种数为 ． 【答案】 【分析】先从6人中选出2人，再把4人看作编号为的人坐到编号为的座位，结合列举法，即可求解. 【详解】先从6人中选出2人拿到自己的外衣，共有种情形， 另外4人拿到别人的外衣的情形，可看作编号为的人坐到编号为的座位， 且人的编号和座位的编号不能相同， 共有，共有9种情形， 由分步计数原理，可得共有种不同的情况. 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高二上·全国·课堂例题）计算：； 【答案】 【分析】根据组合数的性质及组合数公式计算即可. 【详解】 . 10．（23-24高二下·四川自贡·期中）求解下列问题． (1)求值：； (2)解不等式：； 【答案】(1)148 (2) 【分析】（1）根据组合数公式求解； （2）根据排列数公式求解. 【详解】（1）. （2）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. 11．（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）（1）求值: （2）已知，计算：（用数字作答） （3）求不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）986；（3） 【分析】（1）根据排列数的计算公式即可求解， （2）根据组合数的性质即可求解， （3）根据排列的计算公式，代入化简，结合一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）； （2）因为，则，解得，经验证符合， 所以． （3）因为，所以， 化简可得， 解得，所以不等式解集为． 12．（24-25高二上·全国·单元测试）已知，．试问： (1)从集合和中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ (2)从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？ 【答案】(1)34 (2)20 【分析】（1）应用乘法原理计算结合间接法计算； （2）因为顺序固定应用组合数计算求解 【详解】（1）由题意得，． 中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有（个）；中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有（个）． 又两集合中有4个相同元素，故有（个）点重复了， 所以共有（个）不同的点． （2），则这样的三位数共有（个）． 13．（23-24高二下·浙江·期中）药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中． (1)药房中共有几味药？ (2)药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药． （i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药； （ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药． 【答案】(1)12 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意列出方程，即可求解； （2）设共有烈性药r味，1味烈性药味非烈性药称为三药组”，考虑问题的反面，从而列出方程，结合该方程的解的情况，即可证明结论. 【详解】（1）设共有n味药，一共可形成个“三药组”，另一方面，每个“三药组”恰有一副药方包含它， 22副药方中，每副药方可形成个“三药组”，合计220个“三药组”， 所以，所以． （2）设共有烈性药r味，假设每副药方中至多含有3味烈性药， 不妨把1味烈性药味非烈性药称为“三药组”， 共有个“三药组”， 另一方面，因为每3种烈性药恰有一副药方包含它，故有副药方恰含有3种烈性药， 每副这样的药方含有个“三药组”，其余副药方只含有1种或2种烈性药， 它们中每一幅都可形成或个“三药组”， 故22副药方一共可形成个“三药组”， 故有，得， （i）将代入, 即说明假设药房中有7味烈性药，全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药； （ii）两边考虑都除以5，右侧余2， 对于，当r取0，1，2，3，4，5时，均不成立， 即说明假设每副药方中至多含有3味烈性药不成立， 所以全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药． 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于理解透题意，特别是第二问的证明，解答时采用反证思想，从反面说明，推出方程无解，从而证明结论. 从而证明结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$