第06讲 复数的四则运算（6大知识点+8大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第06讲 复数的四则运算 目录 题型归纳 1 题型01 复数加减法的代数运算 3 题型02 复数加减法几何意义的运用 3 题型03 复数代数形式的乘法运算 4 题型04 复数的乘方 5 题型05 复数范围内方程的根 5 题型06 复数的除法运算 6 题型07 根据复数乘法运算结果求参数 7 题型08 共轭复数的概念及计算 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 10 知识点01复数的加法运算法则与运算律 （1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. （2）复数的加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 知识点02复数的减法运算法则 （1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． （2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 知识点03复数的乘法运算法则与运算律 （1）乘法运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． （2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 z1·z2＝z2·z1(交换律)； (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 知识点04复数的乘方与虚数单位的乘方 （1）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． （2）虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 知识点05复数的除法运算 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 知识点06复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 题型01复数加减法的代数运算 【例1】（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·浙江温州·期中）已知，复数，，且，若，则的最小值为 . 【变式3】（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）已知复数，. (1)求， (2)比较与的大小. 题型02 复数加减法几何意义的运用 【例2】（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【变式2】（22-23高一下·浙江台州·期中）已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【变式3】（21-22高一下·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 题型03 复数代数形式的乘法运算 【例3】（23-24高一下·福建龙岩·期中）复数（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·河北邢台·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·青海海东·期中）已知复数，则 ． 【变式3】（23-24高一下·河南郑州·期末）（1）； （2） . 题型04 复数的乘方 【例4】（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一下·北京朝阳·期末）计算（    ） A． B． C． D．4 【变式2】（23-24高一下·辽宁·期末）已知复数，则 . 【变式3】（23-24高一下·湖南邵阳·期末） .（为虚数单位） 题型05 复数范围内方程的根 【例5】（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【变式1】（22-23高一下·安徽马鞍山·期中）在复数范围内方程的解（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·吉林·期中）在复数范围内，方程的解集为 . 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 题型06 复数的除法运算 【例6】（23-24高一下·青海·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·河南新乡·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·天津西青·期末）已知复数z满足 ． 【变式3】（22-23高一下·新疆喀什·期末）计算： (1) (2)． 题型07 根据复数乘法运算结果求参数 【例7】（23-24高一下·天津河北·期末）i是虚数单位，复数 ． 【变式1】（20-21高一下·江苏镇江·期末）复数的虚部为 ． 【变式2】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 . 【变式3】（21-22高一下·辽宁·期末）已知复数满足，虚数满足. (1)求； (2)若，求的值. 题型08 共轭复数的概念及计算 【例8】（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．i D． 【变式1】（23-24高一下·四川凉山·期末）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·河北沧州·期末）已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为 ． 【变式3】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）求下列复数的共轭复数： (1)； (2)； (3). 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·期中）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·北京通州·期中）在复平面内，复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（21-22高一下·江苏扬州·期中）是虚数单位，复数的虚部为（   ） A． B． C．5 D． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 5．（23-24高一下·青海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 三、填空题 7．（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 . 8．（20-21高一下·浙江·期末）已知是关于x的方程的根，则实数 ． 四、解答题 9．（22-23高一下·新疆巴音郭楞·期末）计算 (1)； (2)． 10．（23-24高一下·上海·期末）实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 11．（23-24高一下·广西北海·期末）（1）已知，复数是纯虚数，求的值； （2）已知，设是虚数单位），求. 12．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 13．（23-24高一下·湖北武汉·期中）知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·北京石景山·期末）已知为复数，下列结论错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则或 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．i 3．（23-24高一下·天津红桥·期末）已知 ，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期末）已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 二、多选题 5．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 6．（22-23高一下·甘肃·期末）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（    ） A． B．复数为实数的充要条件是 C．设为复数，，若，则 D．设为复数，若，则 三、填空题 7．（23-24高一下·四川·期末）设的共轭复数是，若，则 . 8．（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知复数满足:，则 . 四、解答题 9．（23-24高一下·吉林·期末）已知复数是一元二次方程（）的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 10．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 11．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 12．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，，其中 (1)若为纯虚数，求b的值； (2)若与互为共轭复数，求的值． 13．（23-24高一下·云南保山·期中）人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式，该公式为：对不完全的一元三次方程的三个根分别为：，，，其中，． (1)求的三个根； (2)求的三个根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 复数的四则运算 目录 题型归纳 1 题型01 复数加减法的代数运算 3 题型02 复数加减法几何意义的运用 4 题型03 复数代数形式的乘法运算 8 题型04 复数的乘方 9 题型05 复数范围内方程的根 10 题型06 复数的除法运算 13 题型07 根据复数乘法运算结果求参数 15 题型08 共轭复数的概念及计算 17 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 25 知识点01复数的加法运算法则与运算律 （1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. （2）复数的加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 知识点02复数的减法运算法则 （1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． （2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 知识点03复数的乘法运算法则与运算律 （1）乘法运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． （2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 z1·z2＝z2·z1(交换律)； (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 知识点04复数的乘方与虚数单位的乘方 （1）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． （2）虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 知识点05复数的除法运算 规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 知识点06复数方程的解 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 题型01复数加减法的代数运算 【例1】（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的减法法则运算即可求解. 【详解】． 故选：C 【变式1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数代数形式的加减运算法则计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 【变式2】（22-23高一下·浙江温州·期中）已知，复数，，且，若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的模 【分析】根据得，再利用配方法可得答案. 【详解】复数，所以， 所以， 因为，所以当时，. 故答案为：. 【变式3】（22-23高一下·黑龙江鸡西·期中）已知复数，. (1)求， (2)比较与的大小. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】复数加减法的代数运算、求复数的模 【分析】（1）根据给定条件，利用复数加减法计算作答. （2）由（1）的结论，利用复数模的定义计算，再比较大小作答. 【详解】（1）复数，， 所以，. （2）由（1）知，，， 而，所以. 题型02 复数加减法几何意义的运用 【例2】（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】复数加减法几何意义的运用、求复数的模 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 【变式2】（22-23高一下·浙江台州·期中）已知复数z满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（21-22高一下·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【答案】(1)-2-i，作图见解析 (2) 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用、复数加减法的代数运算 【分析】（1）利用复数的减法运算和复数的几何意义求解； （2）利用复数的模的运算求解. 【详解】（1）解：复数． 如图，． （2） 题型03 复数代数形式的乘法运算 【例3】（23-24高一下·福建龙岩·期中）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【详解】． 故选：A． 【变式1】（23-24高一下·河北邢台·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数乘法运算化简即可. 【详解】． 故选：A 【变式2】（23-24高一下·青海海东·期中）已知复数，则 ． 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】根据题意，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·河南郑州·期末）（1）； （2）. 【答案】（1）；（5）. 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算 【分析】（1）利用复数加减法的代数运算求解即得. （2）利用复数代数形式的乘法计算即得. 【详解】（1）. （2）. 题型04 复数的乘方 【例4】（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的乘方 【分析】利用和幂的运算性质计算可得结果 【详解】. 故选： 【变式1】（22-23高一下·北京朝阳·期末）计算（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【知识点】复数的乘方 【分析】根据复数的乘方运算即可. 【详解】. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·辽宁·期末）已知复数，则 . 【答案】 【知识点】复数的乘方 【分析】根据复数代数形式的乘方运算法则计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·湖南邵阳·期末） .（为虚数单位） 【答案】0 【知识点】复数的乘方 【分析】利用的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值. 【详解】由题意，的周期为4，则. 故答案为：0. 题型05 复数范围内方程的根 【例5】（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据已知条件，复数和是关于x的一元二次方程的两个根，结合方程的根与系数关系即可求解. 【详解】复数是关于x的一元二次方程的一个根， 则方程的另一根为， 故，解得. 故选：A. 【变式1】（22-23高一下·安徽马鞍山·期中）在复数范围内方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】将方程转化成即可得解. 【详解】方程，所以即， 所以即，解得， 所以在复数范围内方程的解为. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·吉林·期中）在复数范围内，方程的解集为 . 【答案】 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】依题意得，或，即可求解． 【详解】由，得或，即或， 在复数范围内，方程的解集为. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. (1)若，求与的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】（1）由，及，得，即可求解； （2）当时，则是关于的方程的两根，则，进行分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由，得， 而，得， 因为是关于的方程的两根， 所以， 得，由，得， 得，则； （2）当时，则是关于的方程的两根， 则， 当时，则，不满足， 当时，得 得， 由得， 得， 得， 得， 当时，不成立，当时，得， 当时，得， 不妨记， 由得， 得， 故的值为：或 题型06 复数的除法运算 【例6】（23-24高一下·青海·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】． 故选：B 【变式1】（23-24高一下·河南新乡·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算 【分析】由复数除法运算法则可得答案. 【详解】. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·天津西青·期末）已知复数z满足 ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可. 【详解】由， 故答案为：. 【变式3】（22-23高一下·新疆喀什·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】（1）应用复数加法和乘法法则即可；（2）应用复数除法法则即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 题型07 根据复数乘法运算结果求参数 【例7】（23-24高一下·天津河北·期末）i是虚数单位，复数 ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、根据复数乘法运算结果求复数的特征 【分析】根据复数的除法运算即可. 【详解】. 故答案为： 【变式1】（20-21高一下·江苏镇江·期末）复数的虚部为 ． 【答案】2 【知识点】根据复数乘法运算结果求复数的特征 【分析】利用复数乘法计算公式化简后，即得复数的虚部. 【详解】， 所以复数的虚部为2. 故答案为：2 【变式2】（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 . 【答案】21 【知识点】复数的相等、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 【变式3】（21-22高一下·辽宁·期末）已知复数满足，虚数满足. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据相等条件求参数、求复数的模、根据复数乘法运算结果求参数 【分析】（1）解方程即可求解； （2）先化简，再根据可求解. 【详解】（1）易解得，所以； （2）由（1）可知，， 所以， 又，所以. 题型08 共轭复数的概念及计算 【例8】（23-24高一下·甘肃定西·期末）已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C．i D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据条件，利用复数的运算及共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以，得到， 所以． 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·四川凉山·期末）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据给定条件，利用复数除法及共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，复数， 所以复数的共轭复数是. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·河北沧州·期末）已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为 ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念，求结果. 【详解】由题意可得，，所以复数的共轭复数为． 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）求下列复数的共轭复数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】（1）（2）（3）根据共轭复数的定义直接求解即可 【详解】（1）由，得 （2）由，得 （3）由，得 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·期中）在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算及几何意义直接可得解. 【详解】因为， 所以复数对应的点是，在第三象限， 故选：C. 2．（23-24高一下·北京通州·期中）在复平面内，复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的乘法求出即可得解. 【详解】依题意，，所以复数在复平面内对应点在第一象限. 故选：A 3．（21-22高一下·江苏扬州·期中）是虚数单位，复数的虚部为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】由复数的乘法运算复数的虚部定义即可得解.. 【详解】，所以复数的虚部为. 故选：A 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共轭复数，最后求出对应点的坐标即可得解. 【详解】由题意，所以， 则复数在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一下·青海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABC 【分析】先化简，再结合复数的概念，共轭复数，复数的模，复数在复平面内对应的点分别判断各个选项即可. 【详解】因为， 则，，的虚部是， 在复平面内对应的点为，位于第三象限 故ABC正确，D错误． 故选：ABC. 6．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 设， 对于B，由，得，则， 因此，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BCD 三、填空题 7．（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 . 【答案】1 【分析】设，由得，由可得计算并检验求得，即得 【详解】设，由可得， 由可得，即， 则解得或， 显然不满足，应舍去，故 故答案为：1. 8．（20-21高一下·浙江·期末）已知是关于x的方程的根，则实数 ． 【答案】 【分析】由是也是方程的根，再由韦达定理即可得实数的值． 【详解】因为是关于x的方程的根，其中， 所以也是关于x的方程的根， 所以，即． 故答案为： 四、解答题 9．（22-23高一下·新疆巴音郭楞·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）根据复数加减运算法则进行计算；（2）根据复数的乘法运算法则计算答案. 【详解】（1）． （2）． 10．（23-24高一下·上海·期末）实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程中得，即，根据复数相等可得解得答案； （2）由（1）利用一元二次方程韦达定理求解．利用复数代数形式的乘除运算化简得到答案； 【详解】（1）根据题意得，化简， 根据复数相等可得，解得. （2）由（1）可知， 11．（23-24高一下·广西北海·期末）（1）已知，复数是纯虚数，求的值； （2）已知，设是虚数单位），求. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由纯虚数的概念列出方程组，求解即可； （2）根据复数相等求出的值，再求模. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以 ， 解得 ； （2） 因为 ， 所以 ， 所以 ，解得 ， 所以 . 12．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件得是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解. （2）先设，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知是方程的另一复数根， 所以， 所以. （2）设， 则由题意且， 所以， 所以， 解得. 13．（23-24高一下·湖北武汉·期中）知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. （2）， . 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·北京石景山·期末）已知为复数，下列结论错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则或 【答案】C 【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断ABD；举例说明判断C. 【详解】设复数， 对于A，，A正确； 对于B，，， ，，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，即， 则，即， 因此或，即或，D正确. 故选：C 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D．i 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方化简复数，从而得到其虚部. 【详解】因为，又，，， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：C. 3．（23-24高一下·天津红桥·期末）已知 ，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，又，求解即可. 【详解】由于， 因为，则，解得. 故选：C. 4．（23-24高一下·上海·期末）已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】A 【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知的虚数根成对出现，且互为共轭复数，即可判断②. 【详解】因为是的根，所以， 所以， 于是， 即， 所以是的根，，故①正确; 由①可知，若虚数满足，则也满足， 所以的虚数根成对出现，且互为共轭复数， 所以可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：由根据复数的运算及共轭复数的概念可得是解题的关键. 二、多选题 5．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BCD 【分析】利用复数的除法运算化简可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得， 对于A，，故A错误， 对于B，的虚部为，故B正确， 对于C, ，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，它在第一象限，故D正确， 故选：BCD. 6．（22-23高一下·甘肃·期末）下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（    ） A． B．复数为实数的充要条件是 C．设为复数，，若，则 D．设为复数，若，则 【答案】ABC 【分析】利用复数的四则运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义一一判定选项即可. 【详解】对于A：易知，故A正确； 对于B：先判定充分性：若复数为实数，则， 再判定必要性：设， 若，则，即，则复数为实数， 故复数为实数的充要条件是，B正确； 对于C：为复数，， 设，，， 若，则， 即， 所以， 因为且，所以， 则，故且，所以，故C正确； 对于D：满足， 但是，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题 7．（23-24高一下·四川·期末）设的共轭复数是，若，则 . 【答案】 【分析】设，根据复数相等求解即可. 【详解】设，则，由， 得， . 故答案为： 8．（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知复数满足:，则 . 【答案】3 【分析】借助复数的乘方运算与四则运算法则计算后，结合复数模长公式计算即可得. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：3. 四、解答题 9．（23-24高一下·吉林·期末）已知复数是一元二次方程（）的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【答案】(1) (2) 【分析】根据是一元二次方程的根得到也是一元二次方程的根，代入列方程组求解即可； （2）求出，根据复数为纯虚数求出即可求出. 【详解】（1）因为是一元二次方程的根， 所以也是一元二次方程的根， 故，解得； （2）因为复数为纯虚数， 所以，且， 即，所以复数， 故. 10．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 11．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 12．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，，其中 (1)若为纯虚数，求b的值； (2)若与互为共轭复数，求的值． 【答案】(1)3 (2)5 【分析】（1）根据纯虚数的定义列式求解即可； （2）整理可得，结合共轭复数的定义列式求解即可. 【详解】（1）若为纯虚数，则，解得， 所以b的值为3. （2）因为，， 若与互为共轭复数，则，解得， 所以. 13．（23-24高一下·云南保山·期中）人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式，该公式为：对不完全的一元三次方程的三个根分别为：，，，其中，． (1)求的三个根； (2)求的三个根． 【答案】(1)， ， ． (2)， ， ． 【分析】（1）根据题意，代入公式直接求解； （2）根据已知可得，令，则， 代入公式求解即可. 【详解】（1）一元三次方程， 可得，， ， ， ． （2），, 令，则， 此时，， ， ， ． 【点睛】关键点点睛：求解方程，关键是化为，即可解决. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$