精品解析：江苏省华罗庚中学2024-2025学年高三上学期第四次阶段检测数学试卷

江苏省华罗庚中学2025届高三秋学期数学测试四 一、单选题 1. 已知数列与均为等差数列，且，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知集合，，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 4 C. D. 32 4. 在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数在复平面内对应的点关于实轴对称，若（其中是虚数单位），则复数的虚部等于 A. B. C. D. 6. 位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm，塔顶宽10cm，侧面面积为，据此计算该观音塔模型体积为（ ）． A. 31500 B. 30000 C. 10500 D. 10000 7. 数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若，则为递增数列 C. 若，则当且仅当时取得最小值 D. “”是“数列为递增数列”的充要条件 11. 如图，四棱锥的底面是梯形，，，，，平面平面，，分别为线段，的中点，点是底面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥外接球的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 三、填空题 12. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_______ 13. 某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为______. 14. 中，，则的最小值为___________． 四、解答题 15. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据： 3 4 5 6 标准煤 3.5 4 5 5.5 （1）求关于的经验回归方程； （2）已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的经验回经验回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少标准煤. 参考公式： 16. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． （1）求； （2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值． 17. 记正项数列的前n项和为，满足1，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）设集合，求集合A． 18. 如图，三棱锥中，，平面平面，，，为棱的中点，为棱上的点. （1）证明：平面； （2）若二面角的正弦值为，求点到平面的距离. 19. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省华罗庚中学2025届高三秋学期数学测试四 一、单选题 1. 已知数列与均为等差数列，且，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即 ， 根据等差数列的性质可知， 所以. 故选:B. 2. 已知集合，，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的包含关系得不等式组，解不等式组即可． 【详解】由题意，因为，则. 故选：C． 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 4 C. D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】写出的展开式的通项，求出常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为 故选：C 4. 在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，可利用公式求出的值，再利用等比数列的通项公式可求得的值. 【详解】由已知条件可得，解得或. 设等比数列的公比为. ①当，时，由，解得， ，解得； ②当，时，由，解得， ，解得. 综上所述，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：已知、、求等比数列的基本量，利用公式计算较为方便，但需要注意分和两种情况讨论. 5. 已知复数在复平面内对应的点关于实轴对称，若（其中是虚数单位），则复数的虚部等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合的周期性及复数的运算性质可得，进而结合题意求出，再根据虚部的定义求解即可. 【详解】因为（）的取值呈现周期性，周期为4，， 所以， 所以， 所以，所以的虚部等于. 故选：A. 6. 位于如皋市定慧寺内的观音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七层、八角彩绘的外观．观音塔除去塔尖部分可近似视为一个正四棱台，现有一个除去塔尖的观音塔模型，塔底宽20cm，塔顶宽10cm，侧面面积为，据此计算该观音塔模型体积为（ ）． A. 31500 B. 30000 C. 10500 D. 10000 【答案】C 【解析】 【分析】先根据侧面积求出斜高，然后求出侧棱长和棱台的高，最后由棱台的体积公式求解即可. 【详解】每个侧面面积，侧面的高，则 侧棱长，正四棱台的高， 故选：C． 7. 数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案 【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以， 所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故. 故选:D. 8. 已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合单调性和偶函数性质解不等式即可. 【详解】因为，则， 又因为，即， 且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题 9. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式可判断AB；由基本不等式结合指数幂运算可判断C；利用“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为，且，故， 当且仅当，结合，即时取等号，A错误； 对于B，， 当且仅当，结合，即时取等号，B正确； 对于C，由题意得，故， 当且仅当，结合，即时取等号，C错误； 对于D，因为，且，故， 故 ， 当且仅当，结合，即时取等号，D正确； 故选：BD 10. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则为等差数列 B. 若，则为递增数列 C. 若，则当且仅当时取得最小值 D. “”是“数列为递增数列”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出，当时，，再逐项判断选项. 【详解】由，当时，， 当时，， 若，则，符合，故为等差数列，A正确； 若，则，，所以不是递增数列，B错误； 若，则，当时，，为公差为2的等差数列， 且，所以当且仅当时取得最小值，C正确； 当时，，故数列为递增数列等价于， 即，可得，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，四棱锥的底面是梯形，，，，，平面平面，，分别为线段，的中点，点是底面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥外接球的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面平面，得到平面,可判断A，B选项；异面直线与所成角的余弦值在中由余弦定理，可判断C选项；若直线与平面所成的角为，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆可判断D选项. 【详解】 易证四边形为菱形，所以， 连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，所以平面又平面，所以，故A正确； 易证为等腰直角三角形，为等边三角形，且平面平面， 所以三棱锥外接球的球心为等边三角形的中心，所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的体积为，故B错误； 因为，所以为异面直线与所成的角或其补角， 因为，所以， 在中，由余弦定理，得，故C正确； 因为平面，所以为在平面内的射影， 若直线与平面所成的角为，则， 因为，所以，故点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 所以点的轨迹长度为，故D错误． 故选：． 三、填空题 12. 已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的前项和与的关系求出数列的通项； 【详解】 当时，， 当时，也满足， 所以数列的通项公式为． 故答案为：. 13. 某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为，标准差为4.则样本中所有员工的体重的标准差为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求平均数，再结合分层抽样方差公式计算方差，从而得出标准差. 【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为， 则样本中所有员工的体重的方差， 所以样本中所有员工的体重的方差为120，标准差为. 故答案为： 14. 中，，则的最小值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先将题干条件利用正弦的和差角公式展开化简，得到，代入正切的和角公式展开中，将也用表示，最后代入原式，讨论的正负，当为正时，利用基本不等式求得原式的最小值. 【详解】 且 ∴原式 若A为钝角，则为钝角，∴与条件矛盾，舍 故A为锐角，∴，，当且仅当时取“=” 故答案为：2 四、解答题 15. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据： 3 4 5 6 标准煤 3.5 4 5 5.5 （1）求关于的经验回归方程； （2）已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的经验回经验回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少标准煤. 参考公式： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】直接利用公式求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 ，即改造后预测生产能耗为 . 预测该厂改造后100t产品的生产能耗比技术改造前降低了标准煤. 16. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． （1）求； （2）记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求； （2）利用余弦定理得到，结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以且，所以，可知， 又由，可知，所以，故， 由，可得，即． 【小问2详解】 ， 化简得， 因为，所以， 所以， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以，故长的最大值为． 17. 记正项数列的前n项和为，满足1，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）设集合，求集合A． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）首先根据条件和等差数列的定义，得是以1为首项，以2为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可得； （2）由（1）得，，根据为正奇数，得到为正整数即可解出. 【小问1详解】 成等差数列，①， ②， ， ， 因为，所以，且， 所以是以1为首项，以2为公差的等差数列， ． 【小问2详解】 由（1）得， 为正奇数，又为正奇数，为正整数． 所以，或， 当时，时，， ． 18. 如图，三棱锥中，，平面平面，，，为棱的中点，为棱上的点. （1）证明：平面； （2）若二面角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以, 又，所以，所以， 因为平面，，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用已知二面角的正弦值，结合空间向量法求得平面的法向量，进而可得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 由（1）知，平面，又平面，所以， 在直角中，，则， 又，所以， 所以， 则， 设，则，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，所以， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，，所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 此时为的中点，，平面的法向量， 所以点到平面距离为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 19. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以当时，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性分析证明； （2）求导，令，利用导数分析可知在内单调递增，分类讨论的符号，进而分析的极值，即可得结果； （3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 当，即时，则对任意恒成立，即， 可知在内单调递增，无极值，不合题意； 当，即时，则在内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知存在极小值，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 令， 则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，则，解得， 若，因为，则， 则， 可知在内单调递增，则，即符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $